等比数列的前n项和教案Word下载.docx
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”数学家笑着恳求道:
“陛下还是叫管理国家粮仓的大臣算一算吧!
”第二天,管理粮仓的大臣满面愁容地向国王报告了一个数字,国王大吃一惊:
“我的天!
我哪来这么多的麦子?
”这个玩具也随着这个故事传遍全世界,这就是今日的国际象棋.假定千粒麦子的质量为40g,那么,数学家要求的麦粒的总质量究竟是多少呢?
由此传说向学生发问:
怎样算出小麦的总质量呢?
思路2.(问题导入)买24枚钉子,第一枚14分钱,第二枚12分钱,第三枚1分钱,以此类推,每一枚钉子的钱是前一枚的2倍,共要多少钱?
请学生想一想,多数学生认为大概没有多少钱,结果一算吓一跳,大约要4万2千元.事实上,这是等比数列的求和问题,即S=14+12+1+2+…+221=?
那么怎样求等比数列的前n项和呢?
在学生急于揭开谜底的强烈欲望下展开新课的探究.
推进新课
新知探究
提出问题
(1)回忆等差数列前n项和公式的推导过程,是用什么方法推导的?
(2)对任意数列{an},前n项和与通项an的关系是什么?
(3)对首项为1的等比数列{an},你能探究它的前n项和吗?
(4)对任意等比数列{an},怎样推导它的前n项和公式呢?
你能联想到哪些推导思路?
(5)对于思路1中麦粒问题,国王应发给数学家多少麦粒?
对于Sn=1+2+22+…+2n-1的两边为什么要乘以2而不是乘以3或4呢?
活动:
教师引导学生回忆前面学过的等差数列前n项和问题,我们用倒序相加法推得了它的前n项和公式,并且得到了求等差数列通项公式的一个方法:
an=a1,Sn-Sn-1, n=1,n≥2,还知道这个由数列Sn来确定an的方法适用于任何数列,且a1不一定满足由Sn-Sn-1=an求出的通项表达式.
类比联想以上方法,怎样探究等比数列的前n项和呢?
我们先来探究象棋格里填麦粒的问题,也就是求S=1+2+…+263=?
让学生充分观察这个式子的特点,发现每一项乘以2后都得它的后一项,点拨学生找到解决问题的关键是等式左右同乘以2,再相减得和.通过这个问题的解决,先让学生有一个感觉,就是等比数列的前n项和可化为一个比较简单的形式,关键的问题是如何简化.再让学生探究首项为1的等比数列的前n项和,即1,q,q2,…,qn-1的前n项和.观察这个数列,由于各项指数不同,显然不能倒序相加减.但可发现一个规律,就是次数是依次增加的,教师引导学生模仿等差数列写出两个求和式子,给学生以足够的时间让其观察、思考、合作交流、自主探究.
经过教师的点拨,学生的充分活动,学生会发现把两个Sn=1+q+q2+…+qn-1错一个位,两边再同乘以公比q,那么相同的指数就对齐了.这一发现是突破性的智慧发现,是石破惊天的发现.这样将Sn=1+q+q2+…+qn-1与qSn=q+q2+q3+…+qn两式相减就有(1-q)Sn=1-qn,以下只需讨论q的取值就可得到Sn了.
在上面的特殊简单情形解决过程中,蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法,那就是“错位相减,消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法”.在解决等比数列的一般情形时,我们还可以使用“错位相减法”.
如果记Sn=a1+a2+a3+…+an,
那么qSn=a1q+a2q+a3q+…+anq,
要想得到Sn,只要将两式相减,就立即有(1-q)Sn=a1-anq.
这里要提醒学生注意q的取值.
如果q≠1,则有Sn=a1-anq1-q.
上述过程我们略加变化一下,还可以得到如下的过程:
如果记Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,
那么qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn,
要想得到Sn,只要将两式相减,就立即有(1-q)Sn=a1-a1qn.
如果q≠1,则有Sn=a1&
#61480;
1-qn&
#61481;
1-q.
上述推导过程,只是形式上的不同,其本质没有什么差别,都是用的“错位相减法”.
形式上,前一个出现的是等比数列的五个基本量:
a1,q,an,Sn,n中a1,q,an,Sn四个;
后者出现的是a1,q,Sn,n四个,这将为我们今后运用公式求等比数列的前n项的和提供了选择的余地.
值得重视的是:
上述结论都是在“如果q≠1”的前提下得到的.言下之意,就是只有当等比数列的公比q≠1时,我们才能用上述公式.
对于等比数列的一般情形,如果q=1会是什么样呢?
学生很快会看出,若q=1,则原数列是常数列,它的前n项和等于它的任一项的n倍,即Sn=na1.由此我们得到等比数列{an}的前n项和的公式:
Sn=na1,q=1,a1&
1-q,q≠1或Sn=na1,q=1,a1-anq1-q,q≠1.
教师进一步启发学生根据等比数列的特征和我们所学知识,还能探究其他的方法吗?
经过学生合作探究,联想初中比例的性质等,我们会有以下推导方法:
思路一:
根据等比数列的定义,我们有a2a1=a3a2=a4a3=…=anan-1=q,
再由合比定理,则得a2+a3+a4+…+ana1+a2+a3+…+an-1=q,
即Sn-a1Sn-an=q,
从而就有(1-q)Sn=a1-anq.
当q=1时,Sn=na1,当q≠1时,Sn=a1-anq1-q.
思路二:
由Sn=a1+a2+a3+…+an,得
Sn=a1+a1q+a2q+…+an-1q=a1+q(a1+a2+…+an-1)=a1+q(Sn-an),
从而得(1-q)Sn=a1-anq.
(以下从略)
在思路二中,我们巧妙地利用了Sn-Sn-1=an这个关系式,教师再次向学生强调这是一个非常重要的关系式,应引起足够的重视,几乎在历年的高考中都有它的影子.但要注意这里n≥2,也就是n的取值应使这个关系式有意义,若写Sn-1-Sn-2=an-1,则这里n≥3,以此类推.
教师引导学生对比等差数列的前n项和公式,并结合等比数列的通项公式,从方程角度认识这个公式,以便正确灵活地运用它.
(1)在等比数列的通项公式及前n项和公式中共有a1,an,n,q,Sn五个量,只要知道其中任意三个量,都可以通过建立方程(组)等手段求出其余两个量;
(2)在应用公式求和时,应注意到公式的使用条件q≠1,当q=1时,应按常数列求和,即Sn=na1.在解含字母参数的等比数列求和问题时,常应分类讨论q=1与q≠1两种情况.
讨论结果:
(1)倒序相加法;
(2)an=Sn-Sn-1(n≥2);
(3)利用错位相减法;
(4)利用an=Sn-Sn-1(n≥2);
(5)乘以2的目的是为了错位相减,共有麦粒264-1(颗),每千粒麦子按40g计算,共约7000亿吨.
应用示例
例1求下列等比数列的前8项的和:
(1)12,14,18,…;
(2)a1=27,a9=1243,q<0.
本例目的是让学生熟悉公式,第
(1)小题是对等比数列的前n项和公式的直接应用;
第
(2)小题已知a1=27,n=8,还缺少一个已知条件,由题意显然可以通过解方程求得公比q.题目中要求q<0,一方面是为了简化计算,另一方面是想提醒学生q既可为正数,又可为负数.本题中由条件可得q8=a9a1=1243×
27,再由q<0可得q=-13.将所得的值代入公式就可以了.本例可由学生自己探究解答.
解:
(1)因为a1=12,q=12,所以当n=8时,S8=12[1-&
12&
8]1-12=2552
(2)由a1=27,a9=1243,可得q8=a9a1=1243×
27,
又由q<0,可得q=-13,
于是当n=8时,S8=27&
1-1243×
27&
1-&
-13&
=1640点评:
通过本例要让学生熟悉方程思想,再次让学生明确,等比数列的通项公式与前n项和公式中共五个量:
a1,an,q,n,Sn,五个量中已知任意三个就可以求出其余的两个,其中a1,q为最基本的两个量.同时提醒学生注意,由于等比数列涉及到指数问题,有时解题计算会很烦琐,要注意计算化简中的技巧,灵活运用性质.
例2(教材本节例2)
本例是等比数列求和公式的直接运用,引导学生结合方程思想,按算法的思路来解答.本例可由学生自己完成.
点评:
通过本例让学生明确,等比数列的通项公式和求和公式共涉及5个量:
a1,q,an,n,Sn,已知其中3个量就可以求出另外的2个量.
变式训练
设{an}是公比为正数的等比数列,若a1=1,a5=16,则数列{an}前7项的和为( )
A.63B.64C.127D.128
答案:
C
解析:
∵a5=a1q4,∴16=q4.
又∵q>0,∴q=2.∴S7=a1&
1-q7&
1-q=127.
例3(教材本节例3)
本例仍属等比数列求和公式的直接应用.虽然原数列不是等比数列,不能用公式求和,但可这样转化:
9=10-1,99=100-1,999=1000-1,…,这样就容易解决了.
让学生体会本例中的转化思想.
求和:
2+22+222+…+.
原式=29(10-1)+29(102-1)+…+29(10n-1)
=29(10+102+…+10n-n)
=29[10&
1-10n&
1-10-n]
=2081(10n-1)-29n.
例4求数列1,3a,5a2,7a3,…,(2n-1)an-1的前n项的和.
教师引导学生观察数列特点,其形式是{anbn}型数列,且{an}是等差数列,{bn}是等比数列.根据本节等比数列求和公式的推导方法,可采用错位相减法进行求和.教学时可让学生自己独立探究,教师适时地点拨,要注意学生规范书写.
当a=1时,数列变为1,3,5,7,…,(2n-1),
则Sn=n[1+&
2n-1&
]2=n2.
当a≠1时,有
Sn=1+3a+5a2+7a3+…+(2n-1)an-1,①
aSn=a+3a2+5a3+7a4+…+(2n-1)an,②
①-②,得Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+…+2an-1-(2n-1)an,
(1-a)Sn=1-(2n-1)an+2(a+a2+a3+…+an-1)
=1-(2n-1)an+2a&
1-an-1&
1-a
=1-(2n-1)an+2&
a-an&
1-a.
又1-a≠0,
∴Sn=1-&
an1-a-2&
&
1-a&
2.
通过本例,让学生反思解题时要善于识别题目类型,善于分类讨论.在应用错位相减时,写出的“Sn”与“qSn”的表达式应特别注意将两式“同项对齐”,以便于下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.
等差数列{an}中,a2=8,S6=
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{Cn}的通项为Cn=2n,求数列{anCn}的前n项和An.
(1)由已知,得a1+d=8,&
a1+a6&
62=66,解得a1=6,d=2.
∴an=2n+4.
(2)由题意,知anCn=(2n+4)2n,
∴An=621+822+1023+…+(2n+4)2n.①
在上式中两边同乘以2,得
2An=622+823+1024+…+(2n+4)2n+1.②
①-②,得-An=621+222+223+…+22n-(2n+4)2n+1=4-(2n+2)2n+1,
∴An=(n+1)2n+2-例5已知数列{an}中,a1,a2,a3,…,an,…构成一个新数列:
a1,(a2-a1),…,(an-an-1),…,此数列是首项为1,公比为13的等比数列.
(1)求数列{an}的通项;
(2)求数列{an}的前n项和活动:
教师引导学生观察新数列的各项,不难发现这样一个事实:
新数列的前n项和恰为an,这样即可将问题转化为首项为1,公比为13的等比数列的前n项和,数列{an}的通项公式求出后,计算其前n项和Sn就容易多了.
(1)an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)
=1+13+(13)2+…+(13)n-1=32[1-(13)n].
(2)Sn=a1+a2+a3+…+an
=32(1-13)+32[1-(13)2]+…+32[1-(13)n]
=32{n-[13+(13)2+…+(13)n]}
=32n-34[1-(13)n]
=34(2n-1)+14(13)n-1.
本例思路新颖,方法独特,解完本例后教师引导学生反思本例解法,注意平时学习中培养思路的灵活性.
知能训练
1.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S6∶S3=1∶2,则S9∶S3等于( )
A.1∶2B.2∶3C.3∶4D.1∶3
2.在等比数列{an}中,
(1)已知a2=18,a4=8,求a1与q;
(2)已知a5-a1=15,a4-a2=6,求a3.
1.C 解析:
∵S6∶S3=1∶2,
由a1&
1-q6&
1-q+a1&
1-q3&
1-q=12,得q3=-12.
∴S9S3=1-q91-q3=2.解:
(1)由已知得a1q=18,a1q3=8.
解这个方程组,得a1=27,q=23或a1=-27,q=-23.
(2)根据题意,有a1q4-a1=15,a1q3-a1q=6.
方程两边分别相除,得a1q4-a1a1q3-a1q=整理,得2q2-5q+2=0.
解这个方程,得q=2或q=12.
当q=2时,a1=1;
当q=12时,a1=-所以a3=4或a3=-堂小结
1.由学生总结本节学习的内容:
等比数列前n项和公式的推导,特别是在推导过程中,学到了错位相减法;
在运用等比数列求和时,注意q的取值范围是很重要的一点,需要放在第一位来思考.
2.等比数列求和公式有两种形式,在应用中应根据题目所给的条件灵活选用,注意从方程的角度来观察公式,并结合等比数列的通项公式共5个量,知三可求二,并注意解题中的化简技巧.
作业
课本习题2—3B组2、3.[
设计感想
“探索是教学的生命线”,本教案设计体现以学生为本的思想.为了让学生较好掌握本课内容,本节课主要采用观察法、归纳法等教学方法,同时采用设计变式题的教学手段进行教学.通过具体问题的引入,使学生体会数学源于生活.
本教案设计加强数学思想方法的训练.因为数列内容几乎渗透了中学数学所有的数学思想方法,而数列模型运用中更是蕴含着丰富的数学思想方法,这些思想方法对培养学生的阅读理解能力、运算能力和逻辑思维能力等有着不可替代的作用.教学中应充分让学生体会这些思想方法的运用.
“问题是数学的心脏”,本教案设计注重了情境教学.通过生动具体的现实问题,激发学生探究的兴趣和欲望,树立学生求真的勇气和自信心,增强学生学好数学的心理体验,产生热爱数学的情感,体验在学习中获得的成功.
(设计者:
张晓君)
第2课时
思路1.(情境导入)一个人为了积累养老金,他每个月按时到银行存100元,银行的年利率为4%,假设可以任意分段按复利计算,试问此人在5年后共积累了多少养老金?
如果存款和复利按日计算,则他又有多少养老金?
如果复利和存款连续计算呢?
银行复利计息的计算方法正是我们今天要探究的内容,由此展开新课.
思路2.(习题导入)在等比数列{an}中,已知a1+a2+a3=8,a4+a5+a6=-4,则数列前15项的和S15为( )
A.112B.312C.5D.15
本题如果运用方程的思想,求数列{an}的首项a1和公比q之后再求S15,是一种常规思路,但运算量较大.可将原数列按一定规律重新组合成一个新的等比数列,S15又刚好是新数列前5项的和,新数列的首项和公比又容易求得,使得小题巧解.具体解法如下:
设b1=a1+a2+a3=8;
b2=a4+a5+a6=-4;
…;
b5=a13+a14+a15,
则b1,b2,b3,b4,b5构成一个等比数列,其首项为8,公比为-12.
故S15=S5′=b1+b2+b3+b4+b5=112.选A.
由此展开本课的进一步探究.
A
&
1&
回忆等比数列前n项和公式的推导过程,是用什么方法推导的?
需要注意什么问题?
2&
比较等差、等比数列的前n项和公式,从推导方法到应用有什么不同?
怎样从方程的角度理解等比数列的求和公式?
3&
利用等比数列求和的关键是什么?
4&
你能对等差、等比数列求和问题作一归纳总结吗?
5&
应用等比数列可解决哪些类型的实际问题?
教师引导学生回忆上节课所学的等比数列的求和公式,通过“错位相减”的思路方法很巧妙地将等式Sn=a1+a1q+…+a1qn-1的两边同乘以该数列的公比q,使得等式右边各项都向右错了一位;
然后通过求Sn-qSn把相同项消去,达到简化的目的,最后解出Sn.这种求和方法具有普通性,教师再次引导学生回顾这种求和方法的精髓,注意的问题是必须注意q是否等于1,如果不确定,就应分q=1与q≠1两种情况或更多的情况进行讨论.
等比数列求和的关键与等差数列求和一样,在于数列通项公式的表达形式,由通项公式的形式特点确定相应的求和方法.为了达到求和时的简化运算,应充分利用等比数列的前n项和的性质.
(1)若某数列的前n项和公式为Sn=an-1(a≠0,1),则{an}成等比数列.
(2)若数列{an}是公比为q的等比数列,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列;
若项数为2n(n∈N*),则S偶S奇=q.
应用等比数列可解决的实际问题有:
产量增减、价格升降、细胞繁殖、贷款利率、增长率等方面的问题.解决方法是建立数列模型,应用数列知识解决问题,要让学生明了数列的实际应用一直是全国各地市高考的热点、重点,考题的形式多种多样,难度为中、高档.
等比数列求和问题作为数列的重要内容之一,蕴含着丰富的数学思想方法,教学时可与等差数列对比,归纳、总结.
(1)求和问题可以利用等差、等比数列的前n项和公式解决,在具体问题中,既要善于从数列的通项入手观察数列的特点与变化规律,又要注意项数.
(2)非等差(比)的特殊数列求和题通常的解题思路是:
①设法转化为等差数列或等比数列,这一思考方法往往通过通项分解或错位相减来完成.
②不能转化为等差(比)的特殊数列,往往通过裂项相消法、错位相减法和倒序相加法求和.一般地,如果数列能转化为等差数列或等比数列就用公式法;
如果数列项的次数及系数有规律,一般可用错位相减法;
如果每项可写成两项之差一般可用拆项法;
如果能求出通项,可用拆项分组法.
(3)数列求和的关键在于数列通项公式的表达形式,根据通项公式的形式特点,观察采用哪种方法是这类题的解题诀窍.
(4)通项公式中含有(-1)n的一类数列,在求Sn时要注意需分项数n的奇偶性讨论.
(1)
(2)(3)(5)略.
(4)数列求和的常用方法有:
公式法、倒序相加法、错位相减法和裂项相消法,这也是高考常考的几种求和方法.
例1某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今年起,大