高中数学第二章随机变量及其分布232离散型随机变量的方差习题新人教A版选修231015449Word格式文档下载.docx

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C．D．

[解析]　∵E（η）＝E（10ξ＋2）＝10E（ξ）＋2＝20，

∴E（ξ）＝1.8

即：

1×

＋2m＋3n＋4×

＝1.8，

∴2m＋3n＝①

又m＋n＝1－－＝②

由①②得，m＝．

4．（2018·

浙江卷，7）设0<

p<

1，随机变量ξ的分布列是

则当p在（0,1）内增大时，（　D　）

A．D（ξ）减小B．D（ξ）增大

C．D（ξ）先减小后增大D．D（ξ）先增大后减小

[解析]　由题意知E（ξ）＝0×

＋1×

＋2×

＝p＋，

D（ξ）＝2×

＝2×

＝2＋2－2＋2

＝－

＝p2＋－p（2p－1）

＝－p2＋p＋＝－2＋，

∴D（ξ）在上递增，在上递减，即当p在（0,1）内增大时，D（ξ）先增大后减小．

故选D．

5．随机变量X～B（100,0.2），那么D（4X＋3）的值为（　B　）

A．64B．256

C．259D．320

[解析]　由X～B（100,0.2）知随机变量X服从二项分布，且n＝100，p＝0.2，由公式得D（X）＝np（1－p）＝100×

0.2×

0.8＝16，因此D（4X＋3）＝42D（X）＝16×

16＝256，故选B．

6．（2018·

湘潭四模）若X～N（5，），则（　A　）

A．E（X）＝1且D（x）＝B．E（x）＝且D（X）＝1

C．E（X）＝1且D（x）＝D．E（X）＝且D（X）＝1

[解析]　∵X～N（5，），

∴E（X）＝5×

＝1，D（X）＝5×

（1－）＝．

故选A．

二、填空题

7．已知随机变量X～B（4，p），若E（X）＝2，则D（X）＝__1__．

[解析]　随机变量X服从二项分布X～B（4，p），E（X）＝2，

∴4p＝2，∴p＝，

∴D（X）＝4p（1－p）＝1，故答案为1．

8．（2018·

宁波二模）已知随机变量X的分布列如表：

X

a

b

若EX＝2，则a＝__0__；

DX＝____．

[解析]　由随机变量X的分布列及EX＝2，得：

，

解得a＝0，b＝，

∴DX＝（0－2）2×

＋（2－2）2×

＋（3－2）2×

＋（4－2）2×

＝．

故答案为0，．

9．（2018·

枣庄市高二检测）抛掷一枚均匀硬币n（3≤n≤8）次，正面向上的次数ξ服从二项分布B（n，），若P（ξ＝1）＝，则方差D（ξ）＝____．

[解析]　∵3≤n≤8，ξ服从二项分布B（n，），且P（ξ＝1）＝，∴C·

（）n－1·

（1－）＝，

即n·

（）n＝，解得n＝6，

∴方差D（ξ）＝np（1－p）＝6×

×

三、解答题

10．甲、乙两名射手各打了10发子弹，其中甲击中环数与次数如下表：

环数

5

6

7

8

9

10

次数

乙射击的概率分布如下表：

概率

0.2

0.3

p

0.1

（1）若甲、乙各打一枪，求击中环数之和为18的概率及p的值；

（2）比较甲、乙射击水平的优劣．

[解析]　

（1）由0.2＋0.3＋p＋0.1＝1得p＝0.4．

设甲、乙击中的环数分别为X1、X2，则

P（X1＝8）＝＝0.1，P（X1＝9）＝＝0.2，

P（X1＝10）＝＝0.4，

P（X2＝8）＝0.3，P（X2＝9）＝0.4，P（X2＝10）＝0.1，

所以甲、乙各打一枪击中环数之和为18的概率为：

P＝0.1×

0.1＋0.3×

0.4＋0.2×

0.4＝0.21．

（2）甲的均值为E（X1）＝5×

0.1＋6×

0.1＋7×

0.1＋8×

0.1＋9×

0.2＋10×

0.4＝8.4，

乙的均值为E（X2）＝7×

0.2＋8×

0.3＋9×

0.4＋10×

0.1＝8.4，

甲的方差为D（X1）＝（5－8.4）2×

0.1＋（6－8.4）2×

0.1＋（7－8.4）2×

0.1＋（8－8.4）2×

0.1＋（9－8.4）2×

0.2＋（10－8.4）2×

0.4＝3.04，

乙的方差为D（X2）＝（7－8.4）2×

0.2＋（8－8.4）2×

0.3＋（9－8.4）2×

0.4＋（10－8.4）2×

0.1＝0.84．

因为D（X1）>

D（X2），所以乙比甲技术稳定．

B级　素养提升

1．（2018·

全国卷Ⅲ理，8）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX＝2.4，P（X＝4）＜P（X＝6），则p＝（　B　）

A．0.7B．0.6

C．0.4D．0.3

[解析]　由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布，即X～B（10，p），所以DX＝10p（1－p）＝2.4，所以p＝0.4或0.6．

又因为P（X＝4）＜P（X＝6），

所以Cp4（1－p）6＜Cp6（1－p）4，所以p＞0.5，所以p＝0.6．

故选B．

2．（2018·

杭州二模）已知0＜a＜，随机变量ξ的分布列如下：

－1

－a

当a增大时，（　A　）

A．E（ξ）增大，D（ξ）增大B．E（ξ）减小，D（ξ）增大

C．E（ξ）增大，D（ξ）减小D．E（ξ）减小，D（ξ）减小

[解析]　0＜a＜，由随机变量ξ的分布列，得：

E（ξ）＝a－，∴当a增大时，E（ξ）增大；

D（ξ）＝（－1－a＋）2×

＋（0－a＋）2×

（－a）＋（1－a＋）2×

a＝－a2＋a＋a＋＝－（a－）2＋，

∵0<

a<

，∴当a增大时，D（ξ）增大．

3．已知随机变量ξ的概率分布列如下：

0.5

已知E（ξ）＝6.3，随机变量η～B（a，b），则D（η）＝__1.68__．

[解析]　由分布列的性质知b＝1－0.5－0.1＝0.4，

∵E（ξ）＝4×

0.5＋0.1×

a＋9×

0.4＝0.1a＋5.6＝6.3，∴a＝7，

∵η～B（a，b），即η～B（7,0.4），

∴D（η）＝7×

0.4×

（1－0.4）＝1.68．

4．已知总体的各个体的值由小到大依次为2、3、3、7、a、b、12、13.7、18.3、20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是__10.5、10.5__．

[解析]　由题意得＝10.5，∴a＋b＝21，

＝＝10，

∴s2＝[（10－2）2＋（10－3）2＋（10－3）2＋（10－7）2＋（10－a）2＋（10－b）2＋（10－12）2＋（10－13.7）2＋（10－18.3）2＋（10－20）2]

＝[82＋72＋72＋32＋（10－a）2＋（10－b）2＋4＋3.72＋8.32＋102]

＝[（10－a）2＋（10－21＋a）2＋…]

＝[2（a－10.5）2＋…]

当a＝10.5时，方差s最小，b＝10.5．

5．现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．

（1）求张同学至少取到1道乙类题的概率；

（2）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．

[解析]　

（1）设事件A＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，

则有＝“张同学所取的3道题都是甲类题”．

因为P（）＝＝，所以P（A）＝1－P（）＝．

（2）X所有的可能取值为0、1、2、3．

P（X＝0）＝C·

（）0·

（）2·

＝；

P（X＝1）＝C·

（）1·

＋C（）0·

P（X＝2）＝C·

＋C（）1·

P（X＝3）＝C·

所以X的分布列为：

所以E（X）＝0×

＋3×

＝2．

6．现对某高校16名篮球运动员在多次训练比赛中的得分进行统计，将每位运动员的平均成绩所得数据用频率分布直方图表示如下．（如：

落在区间[10,15）内的频率/组距为0.0125）规定分数在[10,20）、[20,30）、[30,40）上的运动员分别为三级篮球运动员、二级篮球运动员、一级篮球运动员，现从这批篮球运动员中利用分层抽样的方法选出16名运动员作为该高校的篮球运动员代表．

（1）求a的值和选出篮球运动员代表中一级运动员的人数；

（2）若从篮球运动员代表中选出三人，求其中含有一级运动员人数X的分布列；

（3）若从该校篮球运动员中有放回地选三人，求其中含有一级运动员人数Y的期望．

[解析]　

（1）由频率分布直方图知：

（0.0625＋0.0500＋0.0375＋a＋2×

0.0125）×

5＝1，∴a＝0.0250．

其中为一级运动员的概率为（0.0125＋0.0375）×

5＝0.25，

∴选出篮球运动员代表中一级运动员为0.25×

16＝4人．

（2）由已知可得X的可能取值分别为0、1、2、3，

P（X＝0）＝＝，

P（X＝1）＝＝，

P（X＝2）＝＝，

P（X＝3）＝＝，

∴X的分布列为：

（3）由已知得Y～B（3，），

∴E（Y）＝np＝3×

＝，

∴含有一级运动员人数Y的期望为．

C级　能力拔高

下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．

（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；

（2）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；

（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？

（结论不要求证明）

[解析]　设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”（i＝1,2，…，13），

根据题意，P（Ai）＝，且Ai∩Aj＝∅（i≠j）．

（1）设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8，

所以P（B）＝P（A5∪A8）＝P（A5）＋P（A8）＝．

（2）由题意可知，X的所有可能取值为0、1、2，且

P（X＝1）＝P（A3∪A6∪A7∪A11）

＝P（A3）＋P（A6）＋P（A7）＋P（A11）＝，

P（X＝2）＝P（A1∪A2∪A12∪A13）

＝P（A1）＋P（A2）＋P（A12）＋P（A13）＝，

P（X＝0）＝1－P（X＝1）－P（X＝2）＝．

故X的期望E（X）＝0×

（3）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．

精美句子

1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；

读太阳，读出了它普照万物的无私；

读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；

幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 

幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；

幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；

幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：

从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；

从归雁的行列中，我读出了集体的力量；

从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；

从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；

从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！

当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！

当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！

当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！

当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！

你燃烧自己后，贡献就大了

6、朋友是什么？

朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；

朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；

朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；

青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血；

青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；

青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。