精品高考数学二轮复习第一篇微型专题微专题17直线方程与圆的方程练习理Word下载.docx
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2,故选A.
4.已知AB为圆C:
x2+y2-2y=0的直径,点P为直线y=x-1上任意一点,则|PA|2+|PB|2的最小值为.
解析▶圆心C(0,1),设∠PCA=α,|PC|=m,则|PA|2=m2+1-2mcosα,|PB|2=m2+1-2mcos(π-α)=m2+1+2mcosα,∴|PA|2+|PB|2=2m2+2.
又点C到直线y=x-1的距离d==,即m的最小值为,∴|PA|2+|PB|2的最小值为2()2+2=6.
答案▶6
能力1
▶会用直线方程判断两条直线的位置关系
【例1】已知直线l1:
(3+m)x+4y=5-3m与l2:
2x+(m+5)y=8,则“l1∥l2”是“m<
-1”的().
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析▶若l1∥l2,则(3+m)(5+m)=4×
2,解得m=-1或m=-7,经检验,当m=-1时,l1与l2重合,∴m=-7,故“l1∥l2”是“m<
-1”的充分不必要条件,故选A.
(1)当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.
(2)在判断两条直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
设a∈R,则“a=1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行”的().
解析▶若两条直线平行,则=≠,解得a2=1,且a≠-1,所以a=1,即“a=1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行”的充要条件,故选C.
答案▶C
能力2
▶会结合平面几何知识求圆的方程
【例2】若圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切,则该圆的方程是().
A.x2+y2+10y=0B.x2+y2-10y=0
C.x2+y2+10x=0D.x2+y2-10x=0
解析▶设圆心为(0,b),半径为r,则r=|b|,故圆的方程为x2+(y-b)2=b2.
∵点(3,1)在圆上,∴9+(1-b)2=b2,解得b=5.
∴圆的方程为x2+y2-10y=0,故选B.
答案▶B
确定圆心位置的方法:
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上;
(2)圆心在任一弦的中垂线上;
(3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.
点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是().
A.(x-2)2+(y+1)2=1
B.(x-2)2+(y+1)2=4
C.(x+4)2+(y-2)2=4
D.(x+2)2+(y-1)2=1
解析▶设圆上任一点为Q(x0,y0),PQ的中点为M(x,y),则解得
因为点Q在圆x2+y2=4上,所以+=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1,故选A.
能力3
▶会用几何法求直线与圆中的弦长问题
【例3】若直线l:
y=kx+1被圆C:
x2+y2-2x-3=0截得的弦最短,则直线l的方程是().
A.x=0
B.y=1
C.x+y-1=0
D.x-y+1=0
解析▶依题意,直线l:
y=kx+1过定点P(0,1),圆C:
x2+y2-2x-3=0化为标准方程为(x-1)2+y2=4,故圆心为C(1,0),半径r=2,则易知定点P(0,1)在圆内,由圆的性质可知当PC⊥l时,此时直线l:
x2+y2-2x-3=0截得的弦长最短.因为kPC==-1,所以直线l的斜率k=1,即直线l的方程是x-y+1=0,故选D.
有关弦长问题的两种求法:
如图所示,
设直线l被圆C截得的弦为AB,圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则有关系式:
|AB|=2
若斜率为k的直线与圆相交于A(xA,yA),B(xB,yB)两点,则|AB|=·
=·
其中k≠0.特别地,当k=0时,|AB|=|xA-xB|;
当斜率不存在时,|AB|=|yA-yB|
过点(2,0)引直线l与圆x2+y2=2相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB面积取最大值时,直线l的斜率为.
解析▶由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,则直线方程为y=k(x-2),即kx-y-2k=0,当△AOB面积取最大值时,OA⊥OB,此时圆心O到直线l的距离d=1,由点到直线的距离公式得d==1,∴k=±
.
答案▶ ±
能力4
▶会用数形结合解决直线和圆中的最值问题
【例4】已知P是直线l:
3x-4y+11=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,A,B为切点,C是圆心,则四边形PACB面积的最小值是().
A.B.2C.D.2
解析▶圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心为C(1,1),半径r=1.根据对称性可知,四边形PACB的面积为2S△APC=2×
×
|PA|×
r=|PA|=,要使四边形PACB的面积最小,则只需|PC|最小,当|PC|最小时,圆心到直线l:
3x-4y+11=0的距离d===2,所以四边形PACB面积的最小值为==,故选C.
解决有关圆的最值问题一般要“数”与“形”结合,根据圆的知识探求最值时的位置关系.解析几何中数形结合思想主要表现在以下两方面:
(1)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题.
(2)研究图形的形状、位置关系、性质等.
已知两点A(0,-3),B(4,0),若点P是圆C:
x2+y2-2y=0上的动点,则△ABP面积的最小值为().
A.6B.C.8D.
解析▶如图,过圆心C向直线AB作垂线交圆C于点P,此时△ABP的面积最小.
直线AB的方程为+=1,
即3x-4y-12=0,圆心C(0,1)到直线AB的距离d==,|AB|=5,
所以△ABP面积的最小值为×
5×
=,故选B.
一、选择题
1.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率k的取值范围是().
A.-1<
k<
B.-1<
C.k<
-1或k>
D.k<
解析▶设直线l的斜率为k,则直线方程为y-2=k(x-1),令y=0,得直线l在x轴上的截距为1-.
由-3<
1-<
3,得k<
故选D.
2.已知圆C:
(x-a)2+y2=1与抛物线y2=-4x的准线相切,则a的值是().
A.0B.2C.0或1D.0或2
解析▶圆心坐标为(a,0),准线方程为x=1,所以|a-1|=1,解得a=0或a=2,故选D.
3.已知直线3x+4y+3=0与直线6x+my-14=0平行,则它们之间的距离是().
A.2B.8C.D.
解析▶直线方程6x+my-14=0可化为3x+y-7=0,所以两条平行直线之间的距离d==2,故选A.
4.过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是().
A.(x-3)2+(y+1)2=4
B.(x+3)2+(y-1)2=4
C.(x-1)2+(y-1)2=4
D.(x+1)2+(y+1)2=4
解析▶ AB的垂直平分线为y=x,直线y=x与x+y-2=0的交点是(1,1),即圆的圆心坐标为(1,1),故半径r==2,故选C.
5.若过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,则该切线的方程为().
A.2x+y-5=0B.2x+y-7=0
C.x-2y-5=0D.x-2y-7=0
解析▶由过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,得点(3,1)在圆上,代入可得r2=5,圆的方程为(x-1)2+y2=5,则得过点(3,1)的切线方程为(x-1)(3-1)+y(1-0)=5,即2x+y-7=0,故选B.
6.已知过原点的直线l与圆C:
x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B,且线段AB的中点D的坐标为(2,),则弦长|AB|为().
A.2B.3C.4D.5
解析▶圆C:
x2+y2-6x+5=0,整理得其标准方程为(x-3)2+y2=4,
∴圆C的圆心坐标为(3,0),半径为2.
∵线段AB的中点为D(2,),
∴|CD|==,
∴|AB|=2|AD|=2=2,故选A.
7.已知圆O1的方程为x2+(y+1)2=6,圆O2的圆心坐标为(2,1).若两圆相交于A,B两点,且|AB|=4,则圆O2的方程为().
A.(x-2)2+(y-1)2=6
B.(x-2)2+(y-1)2=22
C.(x-2)2+(y-1)2=6或(x-2)2+(y-1)2=22
D.(x-2)2+(y-1)2=36或(x-2)2+(y-1)2=32
解析▶设圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2(r>
0),因为圆O1的方程为x2+(y+1)2=6,
所以直线AB的方程为4x+4y+r2-10=0,
所以圆心O1到直线AB的距离d=.
由d2+22=6,得=2,
所以r2-14=±
8,r2=6或r2=22.
故圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=6或(x-2)2+(y-1)2=22,故选C.
8.已知圆C的方程为(x-1)2+y2=r2(r>
0),若p:
1≤r≤3;
q:
圆C上至多有3个点到直线x-y+3=0的距离为1,则p是q的().
解析▶圆心C(1,0)到直线x-y+3=0的距离d==2,当r=1时,圆上恰有一个点到直线的距离为1;
当1<
r<
3时,圆上有两个点到直线的距离为1;
当r=3时,圆上有三个点到直线的距离为1.所以p⇒q.若圆C上不存在点到直线的距离为1,则0<
1,所以q⇒/p,所以p是q的充分不必要条件,故选A.
9.已知圆E经过A(0,1),B(2,0),C(0,-1)三点,且圆心在x轴的正半轴上,则圆E的标准方程为().
A.+y2=
B.+y2=
C.+y2=
D.+y2=
解析▶根据题意,设圆E的圆心坐标为(a,0)(a>
0),半径为r,
所以解得
故圆E的标准方程为+y2=,故选C.
10.已知直线l:
x+y-1=0被圆O:
x2+y2=r2(r>
0)所截得的弦长为,交点为M,N,且直线l'
:
(1+2m)x+(m-1)y-3m=0过定点P,若PM⊥PN,则|MN|的取值范围为().
A.[2-,2+]
B.[2-,2+]
C.[-,+]
D.[-,+]
解析▶由题意知,2=,解得r=2.
因为直线l'
(1+2m)x+(m-1)y-3m=0,
所以点P的坐标为(1,1).
设MN的中点为Q(x,y),则OM2=OQ2+MQ2=OQ2+PQ2,即4=x2+y2+(x-1)2+(y-1)2,化简可得+=,所以点Q的轨迹是以为圆心,为半径的圆,所以|PQ|的取值范围为.又|MN|=2|PQ|,所以|MN|的取值范围为[-,+],故选D.
二、填空题
11.已知点A(-2,0),P为圆C:
(x+4)2+y2=16上任意一点,若在x轴上存在点B满足2|PA|=|PB|,则点B的坐标为.
解析▶设B(a,0),P(x,y),则2=,整理得到3x2+3y2+(16+2a)x+16-a2=0.又P(x,y)在圆C:
(x+4)2+y2=16上,则x2+y2+8x=0,从而解得a=4.故点B的坐标为(4,0).
答案▶(4,0)
12.已知圆C1:
x2+y2=1与圆C2:
(x-2)2+(y-4)2=1,过动点P(a,b)分别作圆C1、圆C2的切线PM、PN(M、N分别为切点),若PM=PN,则的最小值是.
解析▶在Rt△PMC1与Rt△PNC2中,PM=PN,MC1=NC2=1,所以Rt△PMC1与Rt△PNC2全等,所以PC1=PC2,则点P在线段C1C2的垂直平分线上,根据C1(0,0),C2(2,4)可求得其垂直平分线的方程为x+2y-5=0.因为表示P(a,b),Q(5,-1)两点间的距离,所以最小值就是点Q到x+2y-5=0的距离,利用点到直线的距离公式可求出最小值为.
答案▶
三、解答题
13.已知椭圆C:
+=1(a>
b>
0)的一个焦点为(,0),A为椭圆C的右顶点,以A为圆心的圆A与直线y=x相交于P,Q两点,且·
=0,=3,求椭圆C的标准方程和圆A的方程.
解析▶设T为线段PQ的中点,连接AT,
则AT⊥PQ.
∵·
=0,即AP⊥AQ,
∴|AT|=|PQ|.
又=3,则|OT|=|PQ|,
∴=,即=.
由c=,得a2=4,b2=1,
故椭圆C的标准方程为+y2=1.
又|AT|2+|OT|2=a2=4,则|AT|2+4|AT|2=4,|AT|=,r=|AP|=,
故圆A的方程为(x-2)2+y2=.