汇总小学阶段奥数知识点Word文件下载.docx
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末尾是0或5
9
各数位上数字的和是9的倍数
11
奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数
4和25
末两位数是4（或25）的倍数
8和125
末三位数是8（或125）的倍数
7、11、13
末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数
4．整除性质
1如果c|a、c|b，那么c|（a
b）。
2如果bc|a，那么b|a，c|a。
3如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。
4如果c|b,b|a,那么c|a.
5a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。
5．带余除法
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b,使得a=b×
q+r
当r=0时，我们称a能被b整除。
当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）。
用带余数除式又可以表示为a÷
b=q……r,0≤r＜ba=b×
6.唯一分解定理
任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即
n=p1
×
p2
...×
pk
7.约数个数与约数和定理
设自然数n的质因子分解式如n=p1
那么：
n的约数个数：
d（n）=（a1+1）（a2+1）....（ak+1）
n的所有约数和：
（1+P1+P1
+…p1
）（1+P2+P2
+…p2
）…（1+Pk+Pk
+…pk
）
8.同余定理
①同余定义：
若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用式子表示为a≡b（modm）
②若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除。
③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。
④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。
⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。
9．完全平方数性质
①平方差：
A
-B
=（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B，A-B同奇偶性。
②约数：
约数个数为奇数个的是完全平方数。
约数个数为3的是质数的平方。
③质因数分解：
把数字分解，使他满足积是平方数。
④平方和。
10．孙子定理（中国剩余定理）
11．辗转相除法
12．数论解题的常用方法：
枚举、归纳、反证、构造、配对、估计
三、几何图形
1．平面图形
⑴多边形的内角和
N边形的内角和=（N-2）×
180°
⑵等积变形（位移、割补）
1三角形内等底等高的三角形
2平行线内等底等高的三角形
3公共部分的传递性
4极值原理（变与不变）
⑶三角形面积与底的正比关系
S1︰S2=a︰b；
S1︰S2=S4︰S3或者S1×
S3=S2×
S4
⑷相似三角形性质（份数、比例）
;
S1︰S2=a2︰A2
②S1︰S3︰S2︰S4=a2︰b2︰ab︰ab;
S=（a+b）2
⑸燕尾定理
S△ABG：
S△AGC＝S△BGE：
S△GEC＝BE：
EC；
S△BGA：
S△BGC＝S△AGF：
S△GFC＝AF：
FC；
S△AGC：
S△BCG＝S△ADG：
S△DGB＝AD：
DB；
⑹差不变原理
知5-2=3，则圆点比方点多3。
⑺隐含条件的等价代换
例如弦图中长短边长的关系。
⑻组合图形的思考方法
1化整为零
2先补后去
3正反结合
2．立体图形
⑴规则立体图形的表面积和体积公式
⑵不规则立体图形的表面积
整体观照法
⑶体积的等积变形
①水中浸放物体：
V升水=V物
②测啤酒瓶容积：
V=V空气+V水
⑷三视图与展开图
最短线路与展开图形状问题
⑸染色问题
几面染色的块数与“芯”、棱长、顶点、面数的关系。
四、典型应用题
1．植树问题
①开放型与封闭型
②间隔与株数的关系
2．方阵问题
外层边长数-2=内层边长数
（外层边长数-1）×
4=外周长数
外层边长数2-中空边长数2=实面积数
3．列车过桥问题
①车长+桥长=速度×
时间
②车长甲+车长乙=速度和×
相遇时间
③车长甲+车长乙=速度差×
追及时间
列车与人或骑车人或另一列车上的司机的相遇及追及问题
车长=速度和×
车长=速度差×
4．年龄问题
差不变原理
5．鸡兔同笼
假设法的解题思想
6．牛吃草问题
原有草量=（牛吃速度-草长速度）×
7．平均数问题
8．盈亏问题
分析差量关系
9．和差问题
10．和倍问题
11．差倍问题
12．逆推问题
还原法，从结果入手
13．代换问题
列表消元法
等价条件代换
五、行程问题
1．相遇问题
路程和=速度和×
2．追及问题
路程差=速度差×
3．流水行船
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
船速=（顺水速度+逆水速度）÷
水速=（顺水速度-逆水速度）÷
4．多次相遇
线型路程：
甲乙共行全程数=相遇次数×
2-1
环型路程：
甲乙共行全程数=相遇次数
其中甲共行路程=单在单个全程所行路程×
共行全程数
5．环形跑道
6．行程问题中正反比例关系的应用
路程一定，速度和时间成反比。
速度一定，路程和时间成正比。
时间一定，路程和速度成正比。
7．钟面上的追及问题。
1时针和分针成直线；
2时针和分针成直角。
8．结合分数、工程、和差问题的一些类型。
9．行程问题时常运用“时光倒流”和“假定看成”的思考方法。
六、计数问题
1．加法原理：
分类枚举
2．乘法原理：
排列组合
3．容斥原理：
1总数量=A+B+C-（AB+AC+BC）+ABC
2常用：
总数量=A+B-AB
4．抽屉原理：
至多至少问题
5．握手问题
在图形计数中应用广泛
1角、线段、三角形，
2长方形、梯形、平行四边形
3正方形
七、分数问题
1．量率对应
2．以不变量为“1”
3．利润问题
4．浓度问题
倒三角原理
例：
5．工程问题
①合作问题
2水池进出水问题
6．按比例分配
八、方程解题
1．等量关系
1相关联量的表示法
甲+乙=100甲÷
乙=3
x100-x3xx
②解方程技巧
恒等变形
2．二元一次方程组的求解
代入法、消元法
3．不定方程的分析求解
以系数大者为试值角度
4．不等方程的分析求解
九、找规律
⑴周期性问题
1年月日、星期几问题
2余数的应用
⑵数列问题
1等差数列
通项公式an=a1+（n-1）d
求项数：
n=
求和：
S=
2等比数列
3裴波那契数列
⑶策略问题
1抢报30
2放硬币
⑷最值问题
1最短线路
a.一个字符阵组的分线读法
b.在格子路线上的最短走法数
2最优化问题
a.统筹方法
b.烙饼问题
一十、算式谜
1．填充型
2．替代型
3．填运算符号
4．横式变竖式
5．结合数论知识点
一十一、数阵问题
1．相等和值问题
2．数列分组
⑴知行列数，求某数
⑵知某数，求行列数
3．幻方
⑴奇阶幻方问题：
杨辉法罗伯法
⑵偶阶幻方问题：
双偶阶：
对称交换法
单偶阶：
同心方阵法
一十二、二进制
1．二进制计数法
1二进制位值原则
2二进制数与十进制数的互相转化
3二进制的运算
2．其它进制（十六进制）
一十三、一笔画
1．一笔画定理：
⑴一笔画图形中只能有0个或两个奇点；
⑵两个奇点进必须从一个奇点进，另一个奇点出；
2．哈密尔顿圈与哈密尔顿链
3．多笔画定理
笔画数=
一十四、逻辑推理
1．等价条件的转换
2．列表法
3．对阵图
竞赛问题，涉及体育比赛常识
一十五、火柴棒问题
1．移动火柴棒改变图形个数
2．移动火柴棒改变算式，使之成立
一十六、智力问题
1．突破思维定势
2．某些特殊情境问题
一十七、解题方法
（结合杂题的处理）
1．代换法
2．消元法
3．倒推法
4．假设法
5．反证法
6．极值法
7．设数法
8．整体法
9．画图法
10．列表法
11．排除法
12．染色法
13．构造法
14．配对法
15．列方程
⑴方程
⑵不定方程
⑶不等方程
另外补充说明：
在华校课本六年级中有“棋盘上的数学”三讲，其实是找规律类型，知识点涉及棋盘格，几何，数论等，属于综合性问题。
汇总小学阶段奥数知识点，包括小升初中常考的题目类型等。
有工程问题、行程问题、质数合数问题等等。
1.、小升初奥数知识点（年龄问题的三大特征）
①两个人的年龄差是不变的；
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；
③两个人的年龄的倍数是发生变化的；
和差倍问题：
和差问题
和倍问题
差倍问题
已知条件
几个数的和与差
几个数的和与倍数
几个数的差与倍数
公式适用范围
已知两个数的和，差，倍数关系
公式
①（和－差）÷
2=较小数
较小数＋差=较大数
和－较小数=较大数
②（和＋差）÷
2=较大数
较大数－差=较小数
和－较大数=较小数
和÷
（倍数＋1）=小数小数×
倍数=大数
和－小数=大数
差÷
（倍数-1）=小数
小数×
小数＋差=大数
关键问题
求出同一条件下的
和与差
和与倍数
差与倍数
和差倍问题
和差问题和倍问题差倍问题
已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数
公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系
公式①（和－差）÷
2=较小数
较小数＋差=较大数
和－较小数=较大数
2=较大数
较大数－差=较小数
和－较大数=较小数
（倍数＋1）=小数
倍数=大数
和－小数=大数
（倍数-1）=小数
小数＋差=大数
关键问题求出同一条件下的
和与差和与倍数差与倍数
2、小升初奥数知识点（植树问题总结）:
基本类型：
在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树
在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树
在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树
基本公式棵数=段数＋1
棵距×
段数=总长棵数=段数－1
段数=总长棵数=段数
段数=总长
关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系
3、鸡兔同笼问题
基本概念：
鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；
基本思路：
①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：
②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；
③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；
④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：
①把所有鸡假设成兔子：
鸡数＝（兔脚数×
总头数－总脚数）÷
（兔脚数－鸡脚数）
②把所有兔子假设成鸡：
兔数＝（总脚数一鸡脚数×
总头数）÷
（兔脚数一鸡脚数）
关键问题：
找出总量的差与单位量的差。
4、奥数知识点（盈亏问题）
盈亏问题
一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：
按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于
分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．
先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量．
基本题型：
①一次有余数，另一次不足；
总份数＝（余数＋不足数）÷
两次每份数的差
②当两次都有余数；
总份数＝（较大余数一较小余数）÷
③当两次都不足；
总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷
基本特点：
对象总量和总的组数是不变的。
关键问题：
确定对象总量和总的组数。
5、小升初奥数知识点（牛吃草问题）
牛吃草问题
假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；
再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。
原草量和新草生长速度是不变的；
确定两个不变的量。
1）生长量=（较长时间×
长时间牛头数-较短时间×
短时间牛头数）÷
（长时间-短时间）；
2）总草量=较长时间×
长时间牛头数-较长时间×
生长量；
3）吃的天数＝原有草量÷
（牛头数－草的生长速度）；
4）牛头数＝原有草量÷
吃的天数＋草的生长速度。
6、小升初奥数知识点（平均数问题）
平均数
①平均数=总数量÷
总份数
总数量=平均数×
总份数=总数量÷
②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和÷
基本算法：
2出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算.
②基准数法：
根据给出的数之间的关系，确定一个基准数；
一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；
以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；
再求出所有差的和；
再求出这些差的平均数；
最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式②
7、小升初奥数知识点（周期循环数）
周期循环与数表规律
周期现象：
事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。
周期：
我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
确定循环周期。
闰年：
一年有366天；
①年份能被4整除；
②如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除；
平年：
一年有365天。
1年份不能被4整除；
②如果年份能被100整除，但不能被400整除；
8、小升初奥数知识点（抽屉原理）
抽屉原理
抽屉原则一：
如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。
例：
把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：
①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1
观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：
总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。
抽屉原则二：
如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>
m，那么必有一个抽屉至少有:
①k=[n/m]+1个物体：
当n不能被m整除时。
②k=n/m个物体：
当n能被m整除时。
理解知识点：
[X]表示不超过X的最大整数。
例[4.351]=4；
[0.321]=0；
[2.9999]=2；
构造物体和抽屉。
也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。
9、奥数知识点（定义新运算）
基本概念：
定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：
严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：
①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
小升初奥数知识点（数列求和）
数列求和
等差数列：
在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。
首项：
等差数列的第一个数，一般用a1表示；
项数：
等差数列的所有数的个数，一般用n表示；
公差：
数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；
通项：
表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；
数列的和：
这一数列全部数字的和，一般用Sn表示．
等差数列中涉及五个量：
a1,an,d,n,sn,,通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；
求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。
通项公式：
an=a1+（n－1）d；
通项＝首项＋（项数一1）×
公差；
数列和公式：
sn,=（a1+an）×
n÷
2；
数列和＝（首项＋末项）×
项数÷
项数公式：
n=（an-a1）÷
d＋1；
项数=（末项-首项）÷
公差＋1；
公差公式：
d=（an－a1））÷
（n－1）；
公差=（末项－首项）÷
（项数－1）；
确定已知量和未知量，确定使用的公式
10、加法乘法原理和几何计数
加法原理：
如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法……，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有：
m1+m2.......+mn种不同的方法。
确定工作的分类方法。
基本特征：
每一种方法都可完成任务。
乘法原理：
如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：
m1×
m2.......×
mn种不同的方法。
确定工作的完成步骤。
每一步只能完成任务的一部分。
直线：
一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。
直线特点：
没有端点，没有长度。
线段：
直线上任意两点间的距离。
这两点叫端点。
线段特点：
有两个端点，有长度。
射线：
把直线的一端无限延长。
射线特点：
只有一个端点；
没有长度。
①数线段规律：
总数＝1+2+3+…+（点数一1）；
②数角规律=1+2+3+…+（射线数一1）；
③数长方形规律：
个数=长的线段数×
宽的线段数：
④数长方形规律：
个数=1×
1+2×
2+3×
3+…+行数×
列数
11、小升初奥数知识点（质数与合数）
质数：
一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。
合数：
一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。
质因数：
如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。
分解质因数：
把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
通常用短除法分解质因数。
任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式：
N=，其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数，且a1<
a2<
a3<
……<
an。
求约数个数的公式：
P=（r1+1）×
（r2+1）×
（r3+1）×
……×
（rn+1）
互质数：
如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。
12、小升初奥数知识点（约数与倍数）
约数和倍数：
若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
公约数：
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；
其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
最大公约数的性质：
1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。
2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。
4、几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。
例如：
12的约数有1、2、3、4、6、12；
18的约数有：
1、2、3、6、9、18；
那么12和18的公约数有：
1、2、3、6；
那么12和18最大的公约数是：
6，记作（12，18）=6；
求最大公约数基本方法：
1、分解质因数法：
先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
2、短除法：
先找公有的约数，然后相乘。
3、辗转相除法：
每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。
公倍数：
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；
其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
12的倍数有：
12、24、36、48……；
18的倍数有：
18、36、54、72……；
那么12和18的公倍数有：
36、72、108……；
那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36；
最小公倍数的性质：
1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
求最小公倍数基本方法：
1、短除法求最小公倍数；
2、分解质因数的方法
13、小升初奥数知识点（数的整除）
一、基本概念和符号：
1、整除：
如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
2、常用符号：
整除符号“|”，不能整除符号“”；
因为符号“∵”，所以的符号“∴”；
二、整除判断方法：
1.能被2、5整除：
末位上的数字能被2、5整除。
2.能被4、25整除：
末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3.能被8、125整除：
末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4.能被3、9整除：
各个数位上数字的和能被3、9整除。
5.能被7整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组
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