《1921正比例函数的图象与性质》核心素养教学设计精华.docx
《《1921正比例函数的图象与性质》核心素养教学设计精华.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《1921正比例函数的图象与性质》核心素养教学设计精华.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
《1921正比例函数的图象与性质》核心素养教学设计精华
《§19.2.1正比例函数的图象与性质》核心素养教学设计-精华
课题：
§19.2.1正比例函数的图象与性质（第1课时）
【人教版八年级下学期】
一、内容分析
1.课标要求
理解正比例函数的图象和性质.
2.教材分析
知识技能：
本节课是在学生已经掌握了平面直角坐标系、常量与变量以及正比例函数的概念等知识的基础上对正比例函数的图象和性质进一步研究.通过描点法将正比例函数的解析式与图象进行联系，在观察正比例函数图象的基础上概括函数的性质，这是学习函数图象和性质的通法，具有一般性和代表性，其方法结构都可以迁移到后续的一次函数，二次函数和反比例函数的学习，起到示范作用，为学习其它函数图象和性质奠定了基础.本节课具有承上启下的重要作用.
能力层面：
函数的图象和性质对于学生而言
习了直角坐标系，理解变量与常量，正比例函数的概念，对给出的任意的自变量都能求出相应的正比例函数的值,能将每一对的有序数对与直角坐标系上的点进行转化，已经初步具备画好正比例函数图象的先决条件.但学生在一个新的领域中如何通过观察——猜想——归纳去发现问题和提出问题的能力有待于进一步的加强.如：
如何有序有向观察函数图象和根据正比例函数图象去归纳概括性质的方法问题还会存在较大的问题，这是本节课的难点，也是学生认识的生长点.
二、教学目标
1.会画正比例函数的图象，能从形状、位置、增减性、特殊点等角度理解函数的图象特征，能根据正比例函数的图象特征和表达式
（
）特点，理解正比例函数
（
）的性质;——知识技能
2.经历画正比例函数图象和借助函数图象归纳函数性质的过程，提高观察能力、分析能力和归纳概括能力，提高创新意识；——数学能力
3.在画正比例函数图象和归纳正比例函数性质的过程中，进一步感受运动变化与联系对应的思想，体会分类讨论和数形结合思想.——数学思想
三、教学策略
1.有序性策略：
以画正比例函数y=x的图象及归纳特征为例，引导学生有序有向地观察图象，归纳推理得到正比例函数的性质.
2.层次性策略：
从“数——形——数——式”螺旋递进式地观察函数图象，从用自己的语言，简洁语言和符号语言三个层次去归纳正比例函数的性质，提高学生发现问题和提出问题的能力.
3.直观性策略：
为了更直观理解正比例函数的图象与性质与常数k的关系，利用几何画板制作动画：
（1）当常数k固定时，动态演示点的生成的过程，展示函数值是怎样随着自变量的增大而变化的;
（2）当常数k的值变化时，是怎样影响函数的增减性，帮助学生理解比例系数k与函数图象特征和性质的关系.
4.小组合作策略：
组内先独立挑选不同的k值画正比例函数图象，发现图象的规律，在小组合作交流中，随着研究对象集合的不断扩大，为观察归纳能力的培养提供更多的素材，学生也不断地调整和修改所发现的规律，使其适用于所有的研究对象，发现正比例函数图象特征的共性与差异，分类得到函数性质.这个过程丰富了学生的活动经验，为创新意识的培养奠定基础.
四、教学过程
（一）新知学习
问题1我们已经学习了正比例函数的概念，什么是正比例函数？
你能举出两个具体的正比例函数吗？
【师生活动】
（1）正比例函数是两个变量的比值（商）为常数：
，即
（
，自变量x取任何实数）；
（2）学生写出两个正比例函数解析式，教师关注是否具有代表性（正数，负数，整数，分数）并进行板书，收集10多个函数解析式,如
，
，
，
，
，
等.
【设计意图】回顾正比例函数的概念，常数k和自变量x的取值范围为后面研究函数图象与性质做好铺垫.举例不仅让学生内化概念，也为后面小组分工合作研究函数性质提供素材.
问题2我们知道函数三种表示方法，为了更直观地研究函数的性质，我们可以画出函数的图象，怎么画出函数图象？
【师生活动】回忆函数的三种表示方法：
解析式法，列表法和图像法，引导学生说出画函数图像的方法——描点法和基本步骤——列表，描点，连线.
【设计意图】引导学生回顾画函数图象的一般方法和各个步骤.
问题3我们研究问题往往都是从特殊到一般，你认为我们应先研究哪个正比例函数？
为什么？
【设计意图】渗透研究问题的一般方向——从特殊到一般，为后续的一次函数、二次函数、反比例函数图象与性质的学习提供研究方向.
（二）自主探究
问题4怎么画正比例函数
的图象？
正比例函数
举例：
当
=时，
=；当
=时，
=；……
追问1你能例举出满足正比例函数
这个解析式的自变量与函数的对应数值吗？
（通过举例的方法，将抽象的解析式具化，提供观察的载体.）
追问2你将如何选取和整理这些对应数值？
为什么？
并填入表格.（渗透自变量x取值必须有向有序有代表性，这是观察的前提.总结自变量x取值方法：
①代表性，有正有负；②有序性：
从小到大；③无限性：
可以取无数个值，用“……”表示；④特殊性：
x=0等.）
【师生活动】
（1）学生将表格中填写的有序数对转化为点坐标，通过点坐标将函数解析式和函数图象建立联系.通过增大取点的密度，初步感受正比例函数图象的形状和函数图象的连续性，连线，师生共同画出函数图象.
（2）教师用几何画板动态演示点的生成，学生感受函数图象的连续、光滑和无限.
【设计意图】通过对自变量取值范围的分析，处理学生无序、混乱取值，强调取值注意事项，这是学生的生长点，也为后续画其他正比例、一次函数、二次函数等图象扫清障碍.通过增大取点的密度和几何画板的动态演示，一方面让学生初步感受函数图象的位置和变化规律，学生更直观感受正比例函数图象的连线方式与延伸问题，体会运动变化与联系对应，另一方面也为后续观察图象特征，归纳函数性质做好准备.
问题5观察正比例函数
的图象，结合解析式，你能描述这个函数图象的特征吗？
【师生活动】
（1）教师引导从函数图象的形状、位置和变化趋势等角度观察函数图象，引导学生归纳正比例函数
的特征（①形状：
是一条直线;②位置：
一、三象限;③变化趋势：
上升），并板书在相应的函数图象旁边.
（2）教师利用几何画板展示点的正向运动和逆向运动，让学生体会上升的相对性（上升是针对y轴正方向而言，还应该考虑x轴的正方向），引导学生用更严密的语言描述:
从左到右，从下到上（或从左到右呈现上升趋势）.
（3）教师引导学生从“数——形——数——式”递进式地观察函数图象.
数
观察表格，初步感受变化与对应.
形
观察点的变化，感受函数图象的变化趋势.通过分解函数图象，感受从左往右，从下往上的变化规律.
数
由图象再看表格，横向观察表格，当x越来越大时，y也越来越大.
式
当x越来越大，y（等于x）也会越来越来.
【设计意图】引导学生观察图象，初步感知正比例函数的形状、位置和变化情况，总结描述函数图象特征的角度，是学生认识的另一个生长点，为后续研究其他函数特征提供观察的角度.
（三）合作提升
问题6你能画出其他的正比例函数
（
）的图象吗？
能描述出该函数图象的特征吗？
追问1请你从黑板上的10多个函数解析式任意挑选2个解析式，你能画出它们的图象吗？
请动手操作.
追问2观察已经画出的3个正比例函数的图象，独立思考这3个函数图象有什么相同或不同的规律？
追问3请与小组的其他同伴合作进行讨论，想一想你所发现的规律是否适用于同伴所画的函数图象？
是否适用于黑板上的所有函数解析式？
如果不适用，如何调整会更好？
追问4小组统一认识，说一说你们小组所发现的正比例函数图象的规律，并全班展示.
【设计意图】问题6没有限制k的取值情况，先开放让学生自己挑选k的取值，独立思考，发现图象的规律.学生会出现k全部取正数，全部取负数，或正数负数都有的情况，相应地，学生所发现的规律也会有所不相同，为小组讨论积累了素材.通过小组交流合作，有大量函数图象的视觉冲击下，在质疑答疑中，不断去验证、校对、修改和完善他们所发现的规律，发现规律的局限性和适用性（函数图象的规律受到k的正负的影响），逐步达成共识——所发现的规律应适用于所有研究对象，水到渠成对k分成正负两类，总结每一类函数图象的特征.在这个过程中，学生先独立思考，在和同伴交流中学会思考，这是培养创新意识的核心.
通过大量不同的函数图象，感受从特殊到一般的研究过程，体验数形结合的思想，渗透分类讨论思想和类比对比的学习方法.
（四）引导发展
问题7你能归纳正比例函数
（
）性质吗？
追问1你能尝试用自己的语言表述刚才所发现正比例函数图象的一般规律（即正比例函数的性质）吗？
规律描述：
正比例函数的图象是过原点（0,0）的直线.
当k＞0时，图象经过一、三象限，从左往右上升；
当k＜0时，图象经过二、四象限，从左往右下降；
追问2你会用更简洁的文字语言进行归纳吗？
文字语言：
当k＞0时，函数图象经过一、三象限，y随x的增大而增大;
当k＜0时，函数图象经过二、四象限，y随x的增大而减小.
追问3你能将文字语言转化为符号语言吗？
符号语言：
当k＞0，
时，
；当k＜0，
时，
.
【设计意图】问题7是在学生发现问题后引导学生学会提出问题，要求学生能用数学的语言阐明问题.通过用自己的语言，用文字语言，用符号语言3个不同层次的归纳和概括，帮助学生积累思维经验，是培养学生的创新能力的基础.
问题8你能验证正比例函数
（
）性质吗？
追问1你能再举出1-2个正比例函数，从数与形两个角度对我们所总结的性质加以验证吗？
追问2你能尝试对正比例函数图象性质加以证明吗？
【师生活动】教师引导学生通过解析式去分析满足的点的象限符号的特征，解释象限的合理性.教师提示学生可以通过不等式的性质或作差法去证明命题“当k＞0，
时，
”成立，留作课后思考.
【设计意图】通过举例再验证，让学生感受所发现的规律的合情性.而作为课后思考的证明正比例函数性质部分，一方面可以让学生体会数学的严谨性和完整性，另一方面也为学生在比较两个代数式大小的问题上提供方法指导，让学生更深刻理解正比例函数的性质，知道“k＞0”“
”和“
”可以知二推一.
问题9正比例函数的图象是一条过原点的直线，画正比例函数的图象时，我们还需要画那么多个点吗？
怎样画最简单？
为什么？
【师生活动】引导学生根据两点确定一条直线，可用两点法画正比例函数的图象.过原点和（1，k）画直线即可.
【设计意图】简化作图，理解两点法画正比例函数图象的合理性.
问题10观察这些函数图象，你还有什么新的发现？
当常数k互为相反数时，它的函数图象有什么关系？
当k发生改变时，函数的性质会怎样变化？
【师生活动】
（1）引导学生发现
与
关于y轴对称，与x轴夹角45°等等.
（2）教师通过几何画板演示k进行变化时，直线的倾斜程度的变化等.
【设计意图】从研究一个函数图象的特征，拓展延伸到观察多个函数图象的联系，培养学生观察图象的眼光和能力，提高敏锐力和洞察力.
（五）成效评价
1.正比例函数解析式中k的正负，函数图象经过的象限和函数的增减性可以知一推二，请你描述其中的一条，让你的同桌回答另两条，如：
（1）正比例函数
的图象经过第象限，y值随x的增大而．
（2）已知正比例函数y=（2a+1）x，若y的值随x的增大而减小，则该函数经过第象限，a的取值范围是．
（3）已知点A（-5，a）,B（-2,b）都在直线y=－5x上，则a与b的大小关系是．
【师生活动】同桌互考，教师巡视点评，收集好题全班分享.
【设计意图】让学生自己拟题，内化知识的同时，提高学习积极性，巩固函数的图象和性质.
2.已知两个变量x和y，它们之间的对应值如下表所示.
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
－3
－1
1
3
m
…
（1）m的值可能为
（2）y与x之间的函数关系式可能是
A．y＝xB．y＝2x＋1C．y＝x2＋x＋1D．y＝
（3）尝试在直角坐标系中画出y与x的函数图象，并说说这个函数图象有什么特征？
【设计意图】通过观察表格发现规律，观察图象发现特征，强化观察能力，培养创新意识.
3.问题:
本节课我们研究了什么？
是怎样研究的？
得到了哪些成果？
在研究过程中，你觉得收获最大的是什么？
【师生活动】老师在学生总结的基础上概括补充.
【设计意图】不仅从数学知识技能方面，还要从数学方法和数学思想上总结收获，教师再概括引导提升对正比例函数图象和性质的认识，初步了解研究一种函数模型的一般方法.
（六）课后反馈
1、课本89页练习，课本98页习题1,2
2、AB分层补充作业：
3、数学思考：
回顾19.2.1正比例函数第一课时中出现的正比例函数，说说这些函数图象有什么特征？
能否结合实际意义进一步理解正比例函数的性质？
【设计意图】学生不仅可以通过列表和图象去理解正比例函数的性质，还可以通过实际问题情境再次感受正比例函数的性质.多种角度感受，丰富体验.
升级会员 