10中考数学专题05八年级数学上册期中考试重难点题型举一反三苏科版原卷版Word文档下载推荐.docx

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2、等边对等角

3、三线合一

【知识点10】等腰三角形判定

1、两边相等的三角形是等边三角形

直角三角形斜边上中线等于斜边一半

【知识点11】等边三角形判定及性质

1、三条边相等的三角形是等边三角形

2、等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴

3、等边三角形每个角都等于60°

（补充）等腰梯形：

两腰相等的梯形是等腰梯形

【知识点12】等腰梯形性质

1、等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是对称轴

2、等腰梯形在同一底上的两个角相等

3、等腰梯形对角线相等

【知识点13】等腰梯形判定

1.、两腰相等的梯形是等腰梯形

2、在同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形

【知识点14】勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方a²

＋b²

＝c²

【知识点15】勾股定理逆定理

如果一个三角形三边a、b、c满足a²

那么这个三角形是直角三角形

【知识点16】勾股数

满足a²

=c²

的三个正整数a、b、c称为勾股数

【典例分析】

【考点1全等三角形的判定】

【例1】

（2018秋•利津县期中）如图，AB∥CD，BC∥AD，AB＝CD，AE＝CF，其中全等三角形的对数是（　　）

A．4B．3C．2D．1

【变式1-1】

（2018秋•思明区校级期中）如图，已知，∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，增加下列条件：

①AB＝AE；

②BC＝ED；

③∠C＝∠D；

④∠B＝∠E；

⑤∠1＝∠2．其中能使△ABC≌△AED的条件有（　　）

A．2个B．3个C．4个D．5个

【变式1-2】

（2018秋•东台市期中）根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（　　）

A．AB＝6，BC＝5，∠A＝50°

B．AB＝5，BC＝6，AC＝13

C．∠A＝50°

，∠B＝80°

，AB＝8D．∠A＝40°

，∠B＝50°

，∠C＝90°

【变式1-3】

（2018秋•东台市期中）如图，给出下列四组条件：

①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；

②AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E；

③∠B＝∠E，∠C＝∠F，BC＝EF；

④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．

其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（　　）

A．1组B．2组C．3组D．4组

【考点2等腰三角形中的分类讨论思想】

【例2】

（2018春•鄄城县期末）等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为（　　）

A．3cmB．6cmC．3cm或6cmD．8cm

【变式2-1】

（2018春•金水区校级期中）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线的夹角为40°

，则此等腰三角形的顶角是（　　）

A．50°

B．130°

C．50°

或140°

D．50°

或130°

【变式2-2】

（2018秋•绥棱县期末）已知一个等腰三角形底边的长为5cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为3cm，则腰长为（　　）

A．2cmB．8cmC．2cm或8cmD．10cm

【变式2-3】

（2018秋•沙依巴克区校级期中）等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（　　）

A．30°

B．30°

或150°

C．120°

D．30°

或120°

【考点3勾股定理与折叠】

【例3】

（2019•云阳县校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，将其折叠使AB落在对角线AC上，得到折痕AE，那么BE的长度为（　　）

A．

B．

C．

D．

【变式3-1】

（2018春•江夏区期中）如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得△ANM，连BN，若DM＝1，则△ABN的面积是（　　）

【变式3-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（　　）

【变式3-3】如图，△ABC中，∠BAC＝90°

，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（　　）

A．2B．

【考点4轴对称中的最值问题】

【例4】

（2018秋•吴江区期中）如图，∠AOB＝45°

，点P是∠AOB内的定点，且OP＝1，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（　　）

C．2D．1.5

【变式4-1】

（2018秋•如皋市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°

，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（　　）

A．2.4B．4.8C．4D．5

【变式4-2】

（2018秋•大连期中）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝4，点C和点D分别是射线OA和射线OB上的动点，△PCD周长的最小值是4，则∠AOB的度数是（　　）

A．25°

C．35°

D．40°

【变式4-3】

（2018•营口）如图，在锐角三角形ABC中，BC＝4，∠ABC＝60°

，BD平分∠ABC，交AC于点D，M，N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是（　　）

B．2C．2

D．4

【考点5线段垂直平分线的应用】

【例5】

（2018•太仓市模拟）如图，在钝角△ABC中，已知∠A为钝角，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，若BD2+CE2＝DE2，则∠A的度数为　　°

．

【变式5-1】

（2018春•叶县期中）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC为钝角，BC＝6，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，连接AD、AE，那么△ADE的周长为　　．

【变式5-2】

（2018秋•江都区期中）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC交AB于M、N，∠ACB＝118°

，则∠MCN的度数为　　．

【变式5-3】

（2018秋•丰县期中）如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于D，过D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，若CD＝5，DF＝4，则BE＝　　．

【考点6复杂的尺规作图】

【例6】

（2018秋•六合区期中）在七年级我们就学过用一副三角板画出一些特殊度数的角．在八年级第二章，我们学会了一些基本的尺规作图，这些特殊的角也能用尺规作出．下面请各位同学开动脑筋，只用直尺和圆规完成下列作图．

已知：

如图，射线OA．

求作：

∠AOB，使得∠AOB在射线OA的上方，且∠AOB＝45°

（保留作图痕迹，不写作法）

【变式6-1】

（2018秋•泗洪县期中）已知：

如图，在△ABC中，AC＜AB且∠C＝2∠B

（1）用直尺和圆规作出一条过点A的直线1，使得点C关于直线的对称点落在边AB上（不写作法，保留作图痕迹）

（2）设

（1）中直线l与边BC的交点为D，请写出线段AB、AC、CD之间的数量关系并说明理由．

【变式6-2】

（2018秋•丹阳市期中）如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5．

（1）试用直尺和圆规，在直线AB上求作点P，使△PBC为等腰三角形．要求：

①保留作图痕迹；

②若点P有多解，则应作出所有的点P，并在图中依次标注P1、P2、P3、…；

（2）根据

（1）求PA的长（所有可能的值）

【变式6-3】

（2018•惠山区二模）如图，已知△ABC（AC＜AB＜BC），请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：

（1）在边BC上确定一点P，使得PA+PC＝BC；

（2）作出一个△DEF，使得：

①△DEF是直角三角形；

②△DEF的周长等于边BC的长．

【考点7与直角三角形性质的有关综合】

【例7】

（2018秋•泗洪县期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD＝2∠ACB．

（1）说明DC＝DG；

（2）若DG＝7，EC＝4，求DE的长．

【变式7-1】

（2018秋•海州区校级期中）如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．

（1）请说明：

DE＝DF；

（2）请说明：

BE2+CF2＝EF2；

（3）若BE＝6，CF＝8，求△DEF的面积（直接写结果）．

【变式7-2】

（2018秋•高邮市期中）如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的中线．

（1）若AD＝12，BD＝16，求DE；

（2）已知点F是中线CE的中点，连接DF，若∠AEC＝57°

，∠DFE＝90°

，求∠BCE的度数．

【变式7-3】

（2018秋•太仓市期末）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，BC＝10．

（1）若∠ABC＝50°

，∠ACB＝60°

，求∠EMF的度数；

（2）若EF＝4，求△MEF的面积．

【考点8等腰三角形与全等三角形的综合】

【例8】

（2019•东莞市模拟）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝45°

，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，BE与AD相交于F．

（1）求证：

BF＝AC；

（2）若CD＝3，求AF的长．

【变式8-1】

（2018秋•临清市期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°

，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．

CD＝BF；

（2）求证：

AD⊥CF；

（3）连接AF，试判断△ACF的形状．

【变式8-2】

（2019秋•宁河县校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°

，点D是BC的中点，过点C作CE⊥AB，垂足为点E，交AD于点F．

AE＝CE；

△AEF≌△CEB．

【变式8-3】如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE，连接BE、CD，交于点F．

（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；

过点A、F的直线垂直平分线段BC．

【考点9与三角形有关的动点问题】

【例9】

（2018秋•全椒县期末）已知△ABC中，AC＝BC，∠C＝120°

，点D为AB边的中点，∠EDF＝60°

，DE、DF分别交AC、BC于E、F点．

（1）如图1，若EF∥AB．求证：

DE＝DF．

（2）如图2，若EF与AB不平行．则问题

（1）的结论是否成立？

说明理由．

【变式9-1】

（2019秋•本溪期末）△ABC中，AB＝AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．

（1）如图1，若∠BAC＝∠DAE＝60°

，则△BEF是　　三角形；

（2）若∠BAC＝∠DAE≠60°

①如图2，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明；

②当点D在线段BC的延长线上移动，△BEF是什么三角形？

请直接写出结论并画出相应的图形．

【变式9-2】

（2018秋•十堰期末）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．

（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC＝25°

，则∠DCE＝　　．

（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．

①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？

请说明理由；

②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？

请直接写出你的结论．

【变式9-3】

（2019秋•上城区期末）如图1，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线，动点D在直线AM（点D与点A重合除外）上时，以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE，连接BE．

（1）判断AD与BE是否相等，请说明理由；

（2）如图2，若AB＝8，点P、Q两点在直线BE上且CP＝CQ＝5，试求PQ的长；

（3）在第

（2）小题的条件下，当点D在线段AM的延长线（或反向延长线）上时．判断PQ的长是否为定值，若是请直接写出PQ的长；

若不是请简单说明理由．

【考点10与等边三角形的性质与判定有关问题综合】

【例10】

（2018春•天心区校级期末）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°

，得到线段AE，连接CD，BE．

∠AEB＝∠ADC；

（2）连接DE，若∠ADC＝105°

，求∠BED的度数．

【变式10-1】

（2018秋•广州期末）如图1，点A是线段BC上一点，△ABD，△AEC都是等边三角形，BE交AD于点M，CD交AE于N．

BE＝DC；

△AMN是等边三角形；

（3）将△ACE绕点A按顺时针方向旋转90°

，其它条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断

（1）、

（2）两小题结论是否仍然成立，并加以证明．

【变式10-2】

（2018秋•麻城市校级期末）

（1）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC＝∠DCE，若∠A＝60°

（如图①）．求证：

EB＝AD；

（2）若将

（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其它条件不变（如图②），

（1）的结论是否成立，并说明理由．

【变式10-3】

（2017秋•仁寿县期末）如图1，C是线段BE上一点，以BC、CE为边分别在BE的同侧作等边△ABC和等边△DCE，连结AE、BD．

BD＝AE；

（2）如图2，若M、N分别是线段AE、BD上的点，且AM＝BN，请判断△CMN的形状，并说明理由．

【考点11等腰三角形新定义问题】

【例11】

（2018秋•滨湖区期中）

【定义】数学课上，陈老师对我们说，如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”．【理解】如图①，在△ABC中，∠A＝36°

，∠C＝72°

，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数．

如图②，已知△ABC是一个顶角为45°

的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数．

【应用】

（1）在△ABC中，已知一个内角为42°

，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值　　；

（2）在△ABC中，∠C＝27°

，AD和DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB边上，且AD＝DC，BE＝DE，请你根据题意画出示意图，并求∠B的度数．

【变式11-1】

（2019春•顺德区月考）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．

（1）如图1，△ABC是等腰锐角三角形，AB＝AC（AB＞BC），若∠ABC的角平分线BD交AC于点D，且BD是△ABC的一条特异线，则∠BDC＝　　度；

（2）如图2，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求证：

AE是△ABC的一条特异线；

（3）如图3，已知△ABC是特异三角形，且∠A＝30°

，∠B为钝角，求出所有可能的∠B的度数（如有需要，可在答题卡相应位置另外画图）．

【变式11-2】

（2019秋•余姚市校级期中）课本的作业题中有这样一道题：

把一张顶角为36°

的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？

请画示意图说明剪法．

我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：

定义：

如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．

请你在图2中用三种不同的方法画出顶角为45°

的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；

（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）

【变式11-3】

（2019秋•常州期中）定义：

如图1，把一张顶角为36°

的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，我们把这两条线段叫做等腰三角形的三分线．

（1）如图2，请用两种不同的方法画出顶角为45°

（2）如图3，△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠C＝2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长．

【考点12旋转法探索几何证明题】

【例12】

（2019•广州模拟）

（1）如图

（1），在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．

①求证：

BE+CF＞EF．

②若∠A＝90°

，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明；

（2）如图

（2），在四边形ABCD中，∠B+∠C＝180°

，DB＝DC，∠BDC＝120°

，以D为顶点作一个60°

角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．

【变式12-1】

（2018秋•灌云县期中）解决问题

（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°

，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝

∠BAD．求证：

EF＝BE+FD．

小明想到条件∠EAF＝

∠BAD应用需要转化，将△ADF绕顶点A旋转到△ABG处，此时△ABG≌△ADF，把线段BE、FD集中到一起，进一步可以再证明EF＝EG＝BE+FD．

证明：

（1）延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．

∵∠ABG＝∠ABC＝∠D＝90°

，

AB＝AD

∴△ABG≌△ADF．

小明没有证明结束，请你补齐证明过程．

基本运用：

请你用第

（1）题的解答问题的思想方法，解答下面的问题

（2）已知如图2，△ABC中，∠CAB＝90°

，AB＝AC，E、F为BC上的点，且∠EAF＝45°

求证：

EF2＝BE2+CF2；

拓展延伸

（3）已知如图3，等边△ABC内有一点P，AP＝8，BP＝15，AP＝17，求∠APB的度数．

【变式12-2】

（2018秋•丰县期中）如图，画∠AOB＝90°

，并画∠AOB的平分线OC．

（1）将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别垂直，垂足为E、F（如图1），则PE　　PF（选填＜，＞，＝）

（2）把三角尺绕着点P旋转（如图2），PE与PF相等吗？

试猜想PE、PF的大小关系，并说明理由．

拓展延伸1：

在

（2）条件下，过点P作直线GH⊥OC，分别交OA、OB于点G、H，如图3

①图中全等三角形有　　对（不添加辅助线）

②猜想GE、FH、EF之间的关系，并证明你的猜想．

拓展延伸2：

画∠AOB＝70°

，并画∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，作∠EPF＝110°

．∠EPF的两边分别与OA、OB相交于E、F两点（如图4），PE与PF相等吗？

请说明理由．

【变式12-3】

（2018秋•盐都区校级期中）

（1）问题发现：

如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．

填空：

①∠AEB的度数为　　；

②线段AD、BE之间的数量关系是　　．

（2）拓展研究：

如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°

，点A、D、E在同一直线上，若AE＝15，DE＝7，求AB的长度．

（3）探究发现：

图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．