高中所有数学公式.docx
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高中所有数学公式
高中数学常用公式及结论
一、集合与常用逻辑用语：
1集合｛ai,a2,L,an｝的子集个数共有2n个；真子集有2n1个；非空子集有2n1个。
2含有一个量词的否定：
‘量词改变，结论否定’
命题
命题的否定
xM,p（x）
XoM,p（Xo）
XoM,p（Xo）
XM,p（x）
3真值表：
同真’且’真，同假’或’假
P
q
P或q
P且q
非p
真
真
真
真
「假
真
假
真
假
假
假
真
:
真1
假
r真
假
假
假
假
真
4常见结论的否定形式:
原结论
否定词
原结论
否定词
大于
不大于
至少有n个
至多有（n1）个
都是
p不都是
至多有n个
至少有（n1）个
至少有一个
一个也没有
p或q
p且q
至多有一个
至少有两个
p且q
p或q
5四种命题的相互关系：
（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.）
充要条件：
（1）、pq，贝UP是q的充分条件，反之，q是p的必要条件;
（2）、pq，且qz>p，贝yP是q的充分不必要条件；
（3）、pz>p，且qp，则P是q的必要不充分条件；
（4）、pz>p，且qz>p,贝UP是q的既不充分又不必要条件。
⑸、AB,A是B的充分条件（小范围大范围）
二、函数：
1二次函数的解析式的三种形式:
（1）一般式
f（X）
2ax
bxc（a
0）;
（2）顶点式
f（X）
a（x
h）2k（a
0）;（当已知抛物线的顶点坐标
（h,k）时，设为此式）
（3）零点式
f（X）
a（X
xj（xX2）（a0）；（当已知抛物线与x轴的交点坐标为（为,0）,（X2,0）时）
2函数单调性：
增函数：
X
1X2，
f（xj
f（X2）
f（x）在xD上是减函数。
（y随x的增大而增大）
减函数：
x-ix2,f（x-i）f（x2）f（x）在xD上是减函数。
（y随x的增大而减小）
等价关系:
（1）设
X1,X2
a,b,x.,x2那么
（X1
X2）
f（xjf（X2）0f（X1）
f（X2）
0
f（x）在a,b上是增函数；
X1
X2
（X1
X2）
f（X1）f（X2）0
f（X2）
0
f（x）在a,b上是减函数.
X1
X2
⑵设y
f（X）在某个区间内可导，如果
f（X）
0,则
f（x）增；如果f（x）0,则f（x）减
单调性性质：
（1）增函数+增函数=增函数；减函数+减函数=减函数；（两个函数定义域交集）
（2）增函数-减函数=增函数；减函数-增函数=减函数；
1I
（3）,f（x）与f（x）单调性相反，..f（x）与f（x）单调性相反。
（有意义的前提）
f（x）
复合函数的单调性：
yfg（x），由yf（u）和ug（x）复合，同真异减。
3函数的奇偶性：
（注：
是奇偶函数的前提条件是：
定义域必须关于原点对称）
奇函数：
在前提条件下，若有f（x）f（x）或仁x）f（x）0,则f（x）就是奇函数。
性质：
（1）奇函数的图象关于原点对称；
（2）奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间；
（3）定义在R上的奇函数，有f（0）=0.
偶函数：
在前提条件下，若有f（x）f（x），则f（x）就是偶函数。
性质：
（1）偶函数的图象关于y轴对称；
（2）偶函数在x>0和x<0上具有相反的单调区间；
奇偶函数间的关系：
（1）奇函数•偶函数=奇函数；奇函数•奇函数=偶函数；
（2）偶奇函数•偶函数=偶函数；偶函数土偶函数=偶函数；
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点
对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.
4函数的周期性：
定义：
对函数f（x）,若存在T0,使得f（x+T）=f（x）T是f（x）的一个周期。
周期函数几种常见的表述形式：
（1）f（x+T）=-f（x）,此时周期为2T；
（2）f（x+m）=f（x+n）,此时周期为2mn；
1
（3）f（xm），此时周期为2m;
f（x）
（4）两条对称轴：
xa,xb，此时周期为T2ab；（形如ysinx,ycosx）
（5）两个对称点：
（a,0）,（b,0），此时周期为T2ab;（形如ysinx,ycosx）
（6）—条对称轴:
一个对称点：
xa,（b,0）,此时周期为
T4ab
（形如ysinx,ycosx）
5对称性：
对于函数
①
②
f（x）
f（x）
f（x）f（x）
f（x）（xR）,
函数
函数
f（x）关于y轴对称
f（x）关于原点对
f（x
a）
f（b
x）
函数f（x）的对称轴是
特别地:
f（x）
f（2a
x）
函数f（x）的对称轴是
④f（x
a）
f（bx）
函数
特别地：
⑤y
特别地：
f（2ax）
函数
f（x）
f（x）与yg（x）互为反函数（a,b）与（b,a）关于yx对称
f（x）关于点（皂上，0）对称
2
f（x）的对称点（a,0）
yf（x）与y
g（x）关于y
x对称
6图像变换:
①平移变换:
2对称变换：
y
y
y
y
3伸缩变换：
f（x）沿x轴方向平移a个单位长度y
f（x）沿y轴方向平移b个单位长度y
f（x）与yf（x）关于y轴对称
f（x）关于x轴对称
f（x）关于原点对称
f（2ax）关于xa成轴对称
f（2ax）关于（a,0）成点对称
f（xa）f（xb）
左加右减
上加下减
y
f（x）与yf（x）与yf（x）与yf（x）与yy
④翻折变换：
yf（x）:
作出
f（x）纵坐标伸缩为原来的A倍yAf（x）
►
1
f（x）横坐标伸缩为原来的倍yf（Ax）
A+
yf（x）的图像，保留x轴上方图像，将x轴下方图像沿着x轴翻折上去。
yf（x）:
作出
（y
分数指数幕与根式的性质:
m
（1）a?
m
a^
（2）
（3）
（4）
（需）na.
yf（x）的图像，保留y轴右方图像，将其沿着关于f（x）是偶函数）
a0,m,nN，且n1）.
1口
（a0,m,nN，且nm
■-a
当n为奇数时，n『
指数式与对数式的互化式
指数与指数函数:
指数性质：
（1）1、
y轴翻折到左边，右边不变。
a；当n为偶数时,
logaNb
（2）、a0
|a|
a,a
a,a
⑷、
s（a0,r,sQ）
ab
N（a
0,a
1,N
0）.
mnm、n
⑶、a（a）
m.
（5）、annam；
指数函数：
（1）、yax（a1）在定义域内是单调递增函数;
（2）、yax（0a1）在定义域内是单调递减函数。
对数性质:
若a
0,a
1,M0,N
0,则
（1）、
log
aM
logaN
loga（MN）
；
（2）、
logaM
logaN
log
M
a
N
⑶、
log
m
ab
mlog
ab；（4）、
logambn
—logm
ab；
⑸、
loga10
⑹、
log
aa
1•
⑺、
a呻
b
对数的换底公式：
logaN
logmN,
.（9logma
0,且a
1,m
0,且m
1,
N0）.
注：
指数函数图象都恒过点（0,1）
10对数与对数函数：
对数函数：
（1）、ylogax（a1）在定义域内是单调递增函数;
（2）、ylogax（0a1）在定义域内是单调递减函数；
注：
对数函数图象都恒过点（1，0）
（3）、logax0a,x（0,1）或a,x（1,）
（4）、logax0a（0,1）则x（1,）或a（1,）则x（0,1）
11幕函数：
幕函数在第一象限的情况：
（1）所有的图形都通过（1，1）这点，a大于0,函数过（0，0）；
（2）当a大于0时，幕函数为单调递增的，而
a>1
a小于0时，幕函数为单调递减函数。
012平均增长率的问题（负增长时p0）：
如果原来产值的基础数为N平均增长率为
p，则对于时间x的总产值y，有yN（1p）x.
、导数:
1f（x）在X。
处的导数（或变化率）
f（X0）yxx0讥寸讥血
x）
x
f（x°）
瞬时速度：
s（t）limslim——t）s（t）
t0tt0t
瞬时加速度：
av（t）lim-lim°—•
t0tt0t
2函数yf（x）在点xo处的导数的几何意义：
函数yf（x）在点xo处的导数是曲线yf（x）在P（x。
，f（x。
））处的切线的斜率f（x。
），相应的切线方程是yy0f（x0）（xx0）.
3几种常见函数的导数：
（1）
C0（C为常数）
.
（2）（xn）
n
nx
1
（nQ）.（3）（sinx）cosx
（4）
（cosx）sinx.
（5）（lnx）
1;
;
1
（logax）-logae.
x
x
（6）
/xxx
（e）e；（a）
axIna.
4导数的运算法则：
II
''''''u'uvuv
（1）（uv）uv.
（2）（uv）uvuv.（3）
（一）2（v0）.
vv
5复合函数的导数：
yfg（x），由yf（u）和ug（x）复合，yfg（x）f（u）'g（x）'o
6导数在函数中的应用：
（1）yf（x）在区间a,b的单调性与导数：
在a,b内恒有f（x）
0
y
f（x）递增
在a,b内恒有f（x）
0
y
f（x）递减
在a,b内恒有f（x）
0
y
f（x）是常数函数
yf（x）在a,b递增
f
'（x）
0
yf（x）在a,b递减
f
'（x）
0
（2）判别f（x°）是极大（小）值的方法:
当函数f（x）在点x0处连续时，
（1）如果在X。
附近的左侧f（x）0,右侧f（x）0,贝Uf（xJ是极大值；
（2）如果在X。
附近的左侧f（x）0,右侧f（x）0,则f（x。
）是极小值.
7定积分的性质：
（1）
（2）
（3）
（3）如果在区间［a,b］上，f（x）>0,贝U
8微积分基本定理：
.,bb
如果f（x）是［a,b］上的连续函数，并且有F'（x）=f（x）,那么f（x）dxF（x）aFbFa
a
1）若f（x）0,如图5-8所示，则面积为
b
Sf（x）dx;
a
2）把由直线y=c,y=d（c所围成的平面图形称为Y—型图形.
d
阴影部分的面积：
Sg2（x）gi（x）dy
c
10定积分在物理上的应用。
F（x）dx
（2）变力FF（x）,物体沿力的方向从a移动到b，做功W
四、三角函数：
1三角不等式：
（1）若x（0,5），则sinxxtanx.
（2）若x（0,—），则1sinxcosx-2.
2
（3）|sinx||cosx|1.
2同角三角函数的基本关系式：
sin2cos21,tan=—,
cos
3正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）
4和角与差角公式
sin（）sincoscossin；cos（）coscosmsinsin
asinbcosa2b2sin（
K
）（辅助角所在象限由点（a,b）的象限决定,tan—）.
a
5二倍角公式及降幕公式
7正弦定理
a
b
c2R
sinA
sinB
sinC
a2RsinA,b
2RsinB,c
（R为ABC外接圆的半径）
2RsinC
a:
b:
csinA:
sinB:
sinC
（abABsinAsinB）
8余弦定理：
222
abc2bccosA;
b2c2a22cacosB;c2a2b22abcosC.
9面积定理：
（1）S^aha1chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）
222
/、1
1
1
（2）SabsinC
bcsinA
casinB.
2
2
2
10三角形内角和定理：
在厶ABC中,有AB
C
C
（A
B）
C
A
B
2C22（AB）
2
22
五、平面向量：
1实数与向量的积的运算律：
设入、□为实数，那么：
（1）结合律：
入（卩a）=（入卩）a；
（2）第一分配律：
（入+卩）a=^a+卩a；
rr
（3）第二分配律：
入（a+b）=入a+入b.
rrr
2a与b的数量积（或内积）：
a•b=iaiib|cos。
3平面向量的坐标运算：
rr
（1）设a=（X1,yJ,b=（X2,y2），则a+b=（花x?
%y）•
rrrr
⑵设a=（X1,yJ,b=（X2,y2），则a-b=（花x?
yy?
）.
uunuuuurn
（3）设A^,%）,B（X2,y2）,则ABOBOA（x?
为小y）⑷设a=（x,y）,R，则a=（x,y）.
r1r1
⑸设a=（x1,yj,b=（x2,y?
），则a•b二乂皿abx-ix2y1y2,rr
求夹角：
cos-r1f―（a=（x1,y1）,b=（x2,y2））
2222\1122”
|a||b|X1y、.卷y2
求长度：
a\Va2*%2x22
uuujuuuuuudA,B=|AB|VABAB
平面两点间的距离公式：
\（X2X1）（y2y1）（A（x1,y1）,B（x2,y2））.
6共线向量定理
六、数列：
1等差数列:
（1）
通项公式：
（1）anq（n
1）d
，其中a1为首项,
d为公差,
n为项数
（2）an和Sn之间的关系：
an
Sn
S1（n1）
Sn1（n2）
（注：
该公式对任意数列都适用）
垃1）d；其中a1为首项，n为项数，an为末项。
2
（3）
（2）SnSn1an（n
常用性质：
（1）、若m+n=p+q,
2）
（注：
该公式对任意数列都适用）
则有
am
anapaq；
{an}是等差数列
注意：
①②是用来证明{an}是等差数列的理论依据。
2等比数列:
（2）、
若
an、bn为等差数列，则
anbn为等差数列。
（3）、
an
为等差数列，则Sm,S2m
Sm,S3mS2m也成等差数列。
（4）、
ap
q,aqp,则apq0；
（4）等差数列的判定方法:
①定义法：
an1and或anan1d（n2）（d为常数）
⑶、an为等比数列，则Sm,S2mSm,&mEm也成等比数列。
（4）
等比数列的判定方法:
①定义法：
色」q或电
an1
d（n2）（q是不为零的常数）
{an}是等比数列
②中项公式法：
an1anan2dan1%20）是等差数列
an
③通项公式法：
ancqn（c,q是不为零常数）
{an}是等差数列
④前n项和公式法：
Snkq2k（k旦是常数）｛a.｝是等差数列
q1
注意：
①②是用来证明｛an｝是等比数列的理论依据。
3分期付款（按揭贷款）：
每次还款x
ab（1b）元（贷款a元，n次还清,每期利率为b）.
（1b）n1
七、不等式：
1一元二次不等式ax2bxc0（或0）（a0,b24ac0），如果a与ax2bxc同号，则
其解集在两根之外；如果a与ax2bxc异号，则其解集在两根之间.简言之：
同号两根之外，异号两根之间.即：
11
（ax
1
by）（-
丄）
abbyaxaaba
b2-ab（-a-b）2。
xy
X
y
xy
（4）已知
，若
ab1则有
xy
xy
（x
vab,y）（-
）a
b翌ab
2ab（書、、b）2
xy
xy
柯西不等式：
a2
b2c2
d2
acbd当且仅当
adbc时，（）等号成立。
（3）已知a,b,x,yR，若axby
1则有
cd
八、立体几何：
1线线平行的判断:
1如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
2如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
3垂直于同一平面的两直线平行。
2线线垂直的判断：
1在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
2在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。
3若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。
补充：
一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。
3线面平行的判断：
1如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
2两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
4面面平行的判断：
1一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内两相交直线，这两个平面平行。
2垂直于同一条直线的两个平面平行。
5线面垂直的判断：
1如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。
2如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
3一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
4如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面。
6面面垂直的判断：
一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。
7空间角的求法：
（所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题，尤其是直角三角形）
（1）异面直线所成的角：
通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。
异
面直线所成角的范围：
0°90°；
注意：
若异面直线中一条直线是三角形的一边，则平移时可找三角形的中位线。
有的还可以通过
补形，如：
将三棱柱补成四棱柱；将正方体再加上三个同样的正方体，补成一个底面是正方形的长方体。
0°900
（2）线面所成的角：
斜线与平面所成的角：
斜线与它在平面内的射影所成的角。
范围
（3）二面角：
关键是找出二面角的平面角。
方法有：
①定义法；②三垂线定理法；③垂面法；
定义法：
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线民主两条射线
所成的叫叫做二面角的平面角。
S'
注意：
还可以用射影法：
cos；其中为二面角丨的大小，S为内的一个封闭几
S
何图形的面积；S为内的一个封闭几何图形在
内射影图形的面积。
一般用于解选择、填空题。
夹角公式:
为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.sincosAP,n
（3）面面夹角（二面角）[0°,180°]:
若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量n「n2
的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.coscosn「n2
9求点到面的距离的方法：
1直接法：
直接确定点到平面的垂线段长（垂线段一般在二面角所在的平面上）；
2转移法：
转化为另一点到该平面的距离（利用线面平行的性质）；
3体积法：
利用三棱锥体积公式。
uuuun
|abn|r
4向量法：
B到平面的距离：
d¥（n为平面的法向量，A,AB是的斜线段）
|n|r
10空间向量的坐标运算：
设a=（a1,a2,a3）,b=（b1,b2,b3）则：
（1）
a+b=（a〔
sr
b1,a2
b2,a3
b3）；
⑵
a-b=（a1
b1,a2
b2,a3
b3）；
⑶
r
入a=（a〔，
sr
a2,a3）
（入€
R）；
⑷
r
a・b=
a2b2
a3b3；
11球的半径是R,则其体积V4R3,其表面积S4R2.
3
12球的组合体:
（1）
（2）
球与长方体的组合体球与正方体的组合体
:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长•
:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长，
正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，
正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长
12至a的3）.
34
球与正四面体的组合体：
棱长为a的正四面体的内切球的半径为
（正四面体高—6a的1）,外接球的半径为—6a（正四面体高
344
13多面体：
（1）棱柱：
两底面互相平行，侧面都是平行四边形，侧棱平行且相等
侧棱不垂直于底面侧棱垂直于底面底面是正多边形
棱柱斜棱柱'直棱柱正棱柱;
底面是平行四边形侧棱垂直于底面底面是矩形
四棱柱平行六面体直平行六面体
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