普通高等学校招生全国统一考试课标全国卷2Word文档下载推荐.docx
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A.B.
C．1D．2
10．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是（ ）
A．∃x0∈R，f（x0）＝0
B．函数y＝f（x）的图象是中心对称图形
C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（－∞，x0）单调递减
D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝0
11．设抛物线C：
y2＝2px（p>
0）的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过
点（0，2），则C的方程为（ ）
A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x
12．已知点A（－1，0），B（1，0），C（0，1），直线y＝ax＋b（a>
0）将△ABC分割为面积相等的
两部分，则b的取值范围是（ ）
A．（0，1）B.
C.D.
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）
13．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·
＝________．
14．从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率
为，则n＝________．
15．设θ为第二象限角，若tan＝，则sinθ＋cosθ＝________．
16．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.
（1）求B；
（2）若b＝2，求△ABC面积的最大值．
18．（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，
AA1＝AC＝CB＝AB.
（1）证明：
BC1//平面A1CD.
（2）求二面角D－A1C－E的正弦值．
19．（本小题满分12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出
1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X（单位：
t，100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：
元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
（1）将T表示为X的函数；
（2）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；
（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：
若需求量X∈[100，110），则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100，110）的频率）．求T的数学期望．
20．（本小题满分12分）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：
＋＝1（a>
b>
0）右焦点的直线
x＋y－＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.
（1）求M的方程；
（2）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
21．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝ex－ln（x＋m）．
（1）设x＝0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；
（2）当m≤2时，证明f（x）>
0.
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，作答时请写清题号。
22．（本小题满分10分）选修4－1：
几何证明选讲
如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·
AE＝DC·
AF，B，E，F，C四点共圆．
CA是△ABC外接圆的直径；
（2）若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．
23．（本小题满分10分）选修4－4；
坐标系与参数方程
已知动点P、Q都在曲线C：
（t为参数）上，对应参数分别为t＝α与t＝2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．
（1）求M的轨迹的参数方程；
（2）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
24．（本小题满分10分）选修4－5；
不等式选讲
设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：
（1）ab＋bc＋ac≤；
（2）＋＋≥1.
参考答案
1．解析：
先求出集合M，然后运用集合的运算求解．
集合M＝{x|－1<
x<
3，x∈R}，∴M∩N＝{0，1，2}，故选A.
答案：
A
2．解析：
先设出复数z＝a＋bi，然后运用复数相等的充要条件求出a，b的值．
设z＝a＋bi，则（1－i）（a＋bi）＝2i，即（a＋b）＋（b－a）i＝2i.
根据复数相等的充要条件得解得
∴z＝－1＋i.故选A.
3．解析：
先设出公比q，然后根据已知条件列出方程组，求出a1.
设公比为q，∵S3＝a2＋10a1，a5＝9，
∴∴
解得a1＝，故选C.
C
4．解析：
结合给出的已知条件，画出符合条件的图形，然后判断得出．
根据所给的已知条件作图，如图所示．
由图可知α与β相交，且交线平行于l，故选D.
D.
5．解析：
先求出（1＋x）5含有x与x2的项的系数，从而得到展开式中x2的系数．
（1＋x）5中含有x与x2的项为T2＝Cx＝5x，T3＝Cx2＝10x2，∴x2的系数为10＋5a＝5，∴a＝－1，故选D.
D
6．解析：
根据程序框图所给的已知条件逐步求解，直到得出满足条件的结果．
当输入N＝10时，由于k＝1，S＝0，T＝1，因此T＝＝1，S＝1，k＝2，此时不满足k>
10；
当k＝2时，T＝＝，S＝1＋，k＝3，此时不满足k>
当k＝3时，T＝＝，S＝1＋＋，k＝4，此时不满足k>
当k＝4时，T＝＝，S＝1＋＋＋，k＝5，此时不满足k>
……
当k＝10时，T＝＝，S＝1＋＋＋＋…＋，k＝11，此时满足k>
10.
因此输出S＝1＋＋＋＋…＋，故选B.
B
7．解析：
结合已知条件画出图形，然后按照要求作出正视图．
根据已知条件作出图形：
四面体C1－A1DB，标出各个点的坐标如图
（1）所示，
可以看出正视图是正方形，如图
（2）所示．故选A.
8．解析：
结合对数的运算性质进行整理，利用对数函数的性质求解．
a＝log36＝log33＋log32＝1＋log32，
b＝log510＝log55＋log52＝1＋log52，
c＝log714＝log77＋log72＝1＋log72，
∵log32>
log52>
log72，∴a>
c，故选D.
9．解析：
本题可先画出可行域，然后根据图形确定出最小值点进行解答．
作出不等式组表示的可行域，如图（阴影部分）．
易知直线z＝2x＋y过交点A时，z取最小值．
由
得
∴zmin＝2－2a＝1，
解得a＝，故选B.
10．解析：
结合函数与导数的基础知识进行逐个推导．
A项，因为函数f（x）的值域为R，所以一定存在x0∈R，使f（x0）＝0.A正确．B项，假设函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c的对称中心为（m，n），按向量a＝（－m，－n）将函数的图象平移，则所得函数y＝f（x＋m）－n是奇函数．所以f（x＋m）＋f（－x＋m）－2n＝0，化简得（3m＋a）x2＋m3＋am2＋bm＋c－n＝0.上式对x∈R恒成立，故3m＋a＝0，得m＝－，n＝m3＋am2＋bm＋c＝f，所以函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c的对称中心为，故y＝f（x）的图象是中心对称图形．B正确．C项，由于f′（x）＝3x2＋2ax＋b是二次函数，f（x）有极小值点x0，必定有一个极大值点x1，若x1<
x0，则f（x）在区间（－∞，x0）上不单调递减．C错误．D项，若x0是极值点，则一定有f′（x0）＝0.故选C.
11．解析：
本题结合拋物线的定义以及圆的基础知识进行求解．
设M（x0，y0），A（0，2），MF的中点为N.
由y2＝2px，F∴N点的坐标为.
由拋物线的定义知，x0＋＝5，
∴x0＝5－.∴y0＝.
∵|AN|＝＝，∴|AN|2＝.
∴＋＝.
即＋＝.
∴－2＝0.整理得p2－10p＋16＝0.
解得p＝2或p＝8.∴拋物线方程为y2＝4x或y2＝16x.
12．解析：
根据题意画出图形，根据面积相等得出a，b的关系式，然后求出b的取值范围．
由题意画出图形，如图
（1）．
由图可知，直线BC的方程为x＋y＝1.
由解得M.
可求N（0，b），D.
∵直线y＝ax＋b将△ABC分割为面积相等的两部分，
∴S△BDM＝S△ABC.
又S△BOC＝S△ABC，∴S△CMN＝S△ODN，
即×
×
b＝（1－b）×
.
整理得＝.
∴＝，∴－1＝，∴＝＋1，
即b＝，可以看出，当a增大时，b也增大．
当a→＋∞时，b→，即b<
当a→0时，直线y＝ax＋b接近于y＝b.
当y＝b时，如图
（2），＝＝＝.
∴1－b＝，∴b＝1－.∴b>
1－.
由上分析可知1－<
b<
，故选B.
13．解析：
先建立平面直角坐标系，结合向量数量积知识求解．
如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），D（0，2），E（1，2），
∴＝（1，2），＝（－2，2），
∴·
＝1×
（－2）＋2×
2＝2.
2
14．解析：
先找出两数之和等于5的各种情况，再结合组合知识求解．
由题意知n>
4，取出的两数之和等于5的有两种情况：
1，4和2，3，所以P＝＝，即n2－n－56＝0，解得n＝－7（舍去）或n＝8.
8
15．解析：
本题先求出tanθ，然后运用同角三角函数关系式进行变形求解．
∵tan＝，∴＝，解得tanθ＝－.
∴（sinθ＋cosθ）2＝
＝＝＝.
∵θ为第二象限角，tanθ＝－，
∴2kπ＋<
θ<
2kπ＋π，∴sinθ＋cosθ<
0，
∴sinθ＋cosθ＝－.
－
16．解析：
先根据已知条件求出首项和公差，代入nSn，再运用导数知识进行求解．
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由等差数列前n项和可得解得
∴nSn＝n2a1＋d＝－3n2＋（n3－n2）＝n3－，∴（nSn）′＝n2－，
令（nSn）′＝0，解得n＝0（舍去）或n＝.
当n>
时，nSn是单调递增的；
当0<
n<
时，nSn是单调递减的，故当n＝7时，nSn取最小值，
∴（nSn）min＝×
73－＝－49.
－49
17．解：
（1）由已知及正弦定理得
sinA＝sinBcosC＋sinCsinB．①
又A＝π－（B＋C），
故sinA＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋cosBsinC．②
故①②和C∈（0，π）得sinB＝cosB.
又B∈（0，π），所以B＝.
（2）△ABC的面积S＝acsinB＝ac.
由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos.
又a2＋c2≥2ac，
故ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立．
因此△ABC面积的最大值为＋1.
18．
（1）证明：
连接AC1，交A1C于点F，则F为AC1的中点．
又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF.
因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，
所以BC1∥平面A1CD.
（2）解：
由AC＝CB＝AB，得AC⊥BC.
以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.设CA＝2，则D（1，1，0），E（0，2，1），A1（2，0，2），＝（1，1，0），＝（0，2，1），＝（2，0，2）．
设n＝（x1，y1，z1）是平面A1CD的法向量，
则即
可取n＝（1，－1，－1）．
同理，设m是平面A1CE的法向量，则可取m＝（2，1，－2）．
从而cos〈n，m〉＝＝，故sin〈n，m〉＝.
即二面角D－A1C－E的正弦值为.
19．解：
（1）当X∈[100，130）时，
T＝500X－300（130－X）＝800X－39000.
当X∈[130，150]时，
T＝500×
130＝65000.
所以T＝
（2）由
（1）知利润T不少于57000元当且仅当120≤X≤150.
由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.
（3）依题意可得T的分布列为
T
45000
53000
61000
65000
P
0.1
0.2
0.3
0.4
所以ET＝45000×
0.1＋53000×
0.2＋61000×
0.3＋65000×
0.4＝59400.
20．解：
（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），
则＋＝1，＋＝1，＝－1，
由此可得＝－＝1.
因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝，
所以a2＝2b2.
又由题意知，M的右焦点为（，0），故a2－b2＝3.
因此a2＝6，b2＝3.
所以M的方程为＋＝1.
（2）由解得或
因此|AB|＝.
由题意可设直线CD的方程为y＝x＋n，设C（x3，y3），D（x4，y4）．
由得3x2＋4nx＋2n2－6＝0.
于是x3，4＝.
因为直线CD的斜率为1，
所以|CD|＝|x4－x3|＝.
由已知，四边形ABCD的面积S＝|CD|·
|AB|＝，
当n＝0时，S取得最大值，最大值为.
所以四边形ABCD面积的最大值为.
21．
（1）解：
f′（x）＝ex－.
由x＝0是f（x）的极值点得f′（0）＝0，所以m＝1.
于是f（x）＝ex－ln（x＋1），定义域为（－1，＋∞），
函数f′（x）＝ex－在（－1，＋∞）上单调递增，且f′（0）＝0，因此当x∈（－1，0）时，f′（x）<
0；
当x∈（0，＋∞）时，f′（x）>
0。
所以f（x）在（－1，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增．
（2）证明：
当m≤2，x∈（－m，＋∞）时，ln（x＋m）≤ln（x＋2），故只需证明当m＝2时，f（x）>
当m＝2时，函数f′（x）＝ex－在（－2，＋∞）上单调递增．
又f′（－1）<
0，f′（0）>
0，故f′（x）＝0在（－2，＋∞）上有唯一实根x0，且x0∈（－1，0）．
当x∈（－2，x0）时，f′（x）<
当x∈（x0，＋∞）时，f′（x）>
0，从而当x＝x0时，f（x）取得最小值．
由f′（x0）＝0得ex0＝，ln（x0＋2）＝－x0，
故f（x）≥f（x0）＝＋x0＝>
综上，当m≤2时，f（x）>
22．
（1）证明：
因为CD为△ABC外接圆的切线，
所以∠DCB＝∠A.由题设知＝，
故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.
因为B，E，F，C四点共圆，
所以∠CFE＝∠DBC，
故∠EFA＝∠CFE＝90°
，
所以∠CBA＝90°
.因此CA是△ABC外接圆的直径．
（2）连接CE，因为∠CBE＝90°
所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE.
由DB＝BE，有CE＝DC.
又BC2＝DB·
BA＝2DB2，
所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.
而CE2＝DC2＝DB·
DA＝3DB2，
故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为.
23．解：
（1）依题意有P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），因此M（cosα＋cos
2α，sinα＋sin2α）．
M的轨迹的参数方程为（α为参数，0<
α<
2π）．
（2）M点到坐标原点的距离
d＝＝（0<
当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．
24．证明：
（1）由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得（a＋b＋c）2＝1，
即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3（ab＋bc＋ca）≤1，即ab＋bc＋ca≤.
（2）因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋（a＋b＋c）≥2（a＋b＋c），
即＋＋≥a＋b＋c.
所以＋＋≥1.
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