双曲线知识点及题型总结文档格式.docx

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丄±

上=0=>

双曲线可设为二一二=入

aabcrZr

3若双曲线与2-二=1有公共渐近线，可设为2-亠=九（九>

0,焦点在X轴

crZrcrZr

上，入<

0,焦点在y轴上）

4特別地当a=b时o离心率e=41O两渐近线互相垂直，分别为y=±

x，此时双

曲线为等轴双曲线，可设为，一b=X；

y^=-x9y=--x

aa

⑸准线:

/i：

x=-—./2：

a^—,两准线之距为K\K==2•二

ccc

⑹焦半径：

『片|=e（x+^）=ex+"

（点P在双曲线的右支上x>

a）；

\PF,\=e（--x）=ex-a,（点P在双曲线的右支上x>

a）:

c

当焦点在y轴上时，标准方程及相应性质（略）•

⑺与双曲线4-4=1共渐近线的双曲线系方程是匚-匚=久（"

0）’

cr『eVb・

x2v2x2v2

⑻与双曲线—=1共焦点的双曲线系方程是一-一=1b・cr+k次_k

6曲线的内外部

r-vr-v

⑴点Pg,儿）在双曲线一一「r=1（。

0）的内部o£

•—>

1・

crb・crb~

⑵点P（x^y0）在双曲线匚一匚=1（“>

0,b>

0）的外部o第一典v1.

a-b~a~b~

7曲线的方程与渐近线方程的关系

（1）若双曲线方程为二一二=1二>

渐近线方程：

二一.=0oy=±

-x・

aZrcrb~a

（2）若渐近线方程为y=±

-xO-±

-=0=>

双曲线可设为二—二=九.

aab/Zr

⑶若双曲线与二一孚=1有公共渐近线，可设为二一匚=九（九>

0,焦点在X

aZrcrZr

轴上，X<

0,焦点在y轴上）・

8双曲线的切线方程

⑴双曲线4-4=1（«

0^>

0）上一点P（x0,y0）处的切线方程是罟一嚳=1・矿Zrcr/r

X2y2

（2）过双曲线—=1（«

0,^>

0）外一点P（x0,>

'

0）所引两条切线的切点弦方程是

兀兀Joy_1

（3）双曲线2-「=1@>

0』>

0）与直线Ax+By+C=0相切的条件是cr

A2a2一B2b2=c2.

9线与椭圆相交的弦长公式网=J（西-曲+⑶-沙

若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB,A、B两点分别为A（xuyi）.

B（X2,y2）,则弦长卜科=Jl+疋.卜三-x（|=/1+川）[（坷+勺）2—4兀兀]

=—川=j（i+g）・[（x+儿尸一4“儿]，这里体现了解析几何“设而不

求”的解题思想;

高考题型解析

题型一：

双曲线定义问题

1•“ab<

099是“曲线（用"

宀1为双曲线”的（）

A.充分不必要条件B.必要•不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

2•若RwR,则“心3”是“方程壬一£

=i表示双曲线”的（）

k_3£

+3

A.充分不必要条件.B.必要不充分条件.C.充要条件.D•既不充分也不必要条件.

3•给出问题：

0、&

是双曲线匚—=1的焦点，点P在双曲线上•若点P到焦点Fi1620

的距离等于9,求点P到焦点F?

的距离•某学生的解答如下：

双曲线的实轴长为8,由

IIPFiI-IPF2II=8,即19-IPFi11=8>

得IPF2I=1或17.

该学生的解答是否正确？

若正确，请将他的解题依据填在下而横线上；

若不正确，

将正确结果填在下而横线上.・

4•过双曲线x:

-y:

=8的左焦点&

有一条弦PQ在左支上，若|PQ|二7,&

是双曲线的右焦点，则APFg的周长是・题型二：

双曲线的渐近线问题

2

1•双曲线:

£

4

2±

詐

一宁=1的渐近线方程是（）

29

B.y=±

-xC・v=±

-x

34

D.尸土-x

9

2.过点（2,

—2）且与双曲线工一』1有公共渐近线的双曲线方程是（）

32

•>

心一二

=1B丄一「1cX-

—=1D.—

一「1

24

424

题型二：

双曲线的离心率问题

1已知双曲线为一方=1（Q0.b>

0）的左右焦点分别为Fi、Fi.点P在双曲线的右支上，且丨PFi|=4|PF2I，则此双曲线的离心率£

的最大值为（）

457

A.亍B.亍C・2D・〒

线分别相交于B、C,且IABITBCI,则双曲线M的离心率是（）

1■■厂>

/i（）•>

/?

A.V10B・（5C.~^~D~

4.在给左双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为、於，焦点到相应准线的距离为亍，则该双曲线的离心率为（）

A.匹B.2C.a/2D.2V2

5••已知双曲线亠-二=l（a>

0・b<

0）的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60。

的直线与crZr

双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是

A.（1,2）B.（1,2）C・[2,+8）D・（2,+8）

题型四：

双曲线的距离问题

1•设P是双曲线4-—=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x—2v=0,F】、尺分cr9

别是双曲线的左、右焦点•若IPF43,则PFT等于（）

A」或5B.6C.7D.9

2•已知双曲线匚-二=1的右焦点为F,若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一

124

个交点，则此直线斜率的取值范围是

A-（~T'

T）込D-[-V3.V3]

3•已知圆C过双曲线二二=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆916

心到双曲线中心的距离是•

题型五：

轨迹问题

1.已知椭圆F+2J2=8的两焦点分别为Fl、F2,A为椭圆上任一点。

AP是JAF1F2的外

角平分线，且乔•乔=0•则点P的轨迹方程是.

2.双曲线.2—>

2=4的两焦点分别为F「F2,A为双曲线上任一点。

AP是ZFjAF2的

平分线，且乔•可7=0.则点P的轨迹是（）

A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分C.圆的一部分D.抛物线的一部分

3求与圆（x-3）2+b=1及（兀+3尸+于=9都外切的动圆圆心的轨迹方程.

高考例题解析

1.已知片，F?

是双曲线^-y2=1的左、右焦点.P、Q为右支上的两点，直线PQ过耳,

且倾斜角为a，则『可+1。

用一|PQ|的值为（）

A.4迈B8C2V2D随a的大小变化

答案:

A,解析:

用双曲线定义列方程可解

2•过双曲线2,_y2-2=0的右焦点作直线/交曲线于A、B两点，若困=4则这样的直线存在（）

A0条B1条C,2条D3条

D.解析：

/丄x轴时的焦点弦长AB=4最短为通径，故交右半支弦长为4的直线恰有一条;

过右焦点交左右两支的符合要求的直线有两条.

1xLv|v2

3•，直线『=一丄x+5与曲线丄1+二=1的交点个数是（）

A0个B：

1个C,2个D：

3个。

答案：

D,解析:

（0.5）点为完整双曲线和椭圆的极值点，故y=5为其切线，当直线斜率不为0时，直线必与每个曲线交于两点.

兀22

4.P为双曲线—--^=1上一点，仟为一个焦点，以PF】为直径的圆与圆疋+y2=/crb・

的位置关系为（）

A，内切B外切C内切或外切D.无公共点或相交.

C解析:

用两圆内切或外切的条件判断

工2

5•设片，厲是双曲线—~y2=\的两个焦点，点P在双曲线上且满足ZFfF?

=90°

则'

PF'

F?

的而积为（）

A,1B；

—C,2D.a/5

A：

解析:

勾股泄理，双曲线泄义联立方程组h或而积公式

&

设心只是双曲线一-尸=1的左、右焦点.P在双曲线上当M\P几的面积为1

3时，岳•两的值为（）

A,0B,1C-D.2

A解析:

不妨设xp,yp>

0,由g•2c•儿=1=寺,

P習，爭，.丽丽誓爭，丽（炉辱爭阿•丽07•，过点A（0,2）可以作—条直线与双曲线^2-—=1有且只有一个公共点,

4,解析：

数形结合，两切线.两交线，

过点P（4,4）且与双曲线話一备=1只有一个交点的直线有（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

解析：

如图所示，满足条件的直线共有3条・

8.已知A（3,2）,M是双曲线H：

宀才“上的动点，理是H的右焦点，求

\AM\+丄|M场|的最小值及此时M的坐标。

解：

由€=2,则|AM|+||MF2|=|AM|+i^J

=\AM\+|MA/J>

|AA|=3--=-此时M的坐标（—,2）

223

9.已知双曲线C：

X2-—=l（x>

l）,一条长为8的弦AB两端在C上运动,

3

AB中点为则距y轴最近的M点的坐标为c

y

A,

/

—M

X

、

\1一B

Bi

\\

2IMM.|=|AA|+|=1（|AF|+\BF\）

又—2=2,贝

2b2

当且仅^F^AB时.取“，由逆径=——=6v8,故可取“二”

a

xo=|MMJ+㊁=2+空=才乂由kOM'

kFM=—^=3

即号•畧=

/0.P为双曲线”一台=1右支上一点，M、N分别是圆（x+4）2+y2=4和（兀一4尸+

尸=1上的点，则PM\-\PM的最大值为・

双曲线的两个焦点为斤（一4,0）、尺（4,0）,为两个圆的圆心，半径分别为n=2,2-=b/胡*=PF—+2、PN\^=啟一1,故\PM-|^\1的最大值为（曲+2）—（啟-1）=朋—啟+3=5.答案：

5

•直线/：

y=kx+1与双曲线C：

2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、B。

（I）求实数比的取值范用：

（II）是否存在实数£

使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?

若存在，求出k的值。

若不存在，说明理由。

（I）将直

/的方程y=心+1代入双曲线C的方程2,_b=1后,整理得

伙2一2）/+2心+2=0.……①

依题意，直线/与双曲线C的右支交于不同两点，故

宀2工0,

△=（2好_8仗2_2）>

0,

<

_-2L.〉0解得R的取值范围是-2<

k<

-^2

-3->

o.

1疋-2

假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c0）.则由FA丄FB得：

（“-c）（x2一c）+y』2=°

・

即（X]—C）（x2一c）+伙X]+1）伙吃+1）=0・

整理得

伙'

+l）XjX2+（k-C）（X]+x2）+c2+\=0.③

把②式及C=虫代入③式化简得

5/+2危-6=0.

解得p=_匕亠[或鸟=二11e（—2,-血）（舍去）

可知R=—二^使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.

（四川卷）9.已知两左点斤（一运,0）,鬥（、伍,0）,满足条n\PFi\-\PFy\=2的点P的轨迹是曲线E,直线y=kx-l与曲线E交于A、B两点。

（I）求k的取值范围：

（H）如果\AB\=6^3,且曲线E上存在点C,使OA+OB=mOC.求创的值和AA3OK面积S°

本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。

满分14分。

（I）由双曲线的左义可知，曲线E是以/•（-V2,0）,f；

（72,0）为焦点的双曲线的左支，

且c=y/2,a=l,易知b=\

故曲线£

的方程为x2-y2=l（x<

0）

设由题意建立方程组]）；

=乌_1

消去y,得（1一疋）/+2匕一2=0

又已知直线与双曲线左支交于两点A.B,有

1一宀0

•/\AB\=＞/\+k2-|xj-x2\=Jl+£

‘・J（£

+£

）_4為兀2=时』炒J®

忌

（1+，）（2一，）

0-^2）2

依题意得2卩冲2一/）=6运V（皿『

整理后得28/-55k2+25=0

・・.疋=丄或疋=?

74

但-血vkv-1・・.*=一遁

故直线AB的方程为fx+y+1=0

设C（心y（））,由已知OA+OB=mOC,得（易」）+（吃』2）=（〃％"

$（））：

（mxojny（））=土匕.,21^21],（加工0）

Vmni）

2厂2k22

又召+心=p7^=-4岳，“+北=*（州+吃）一2=^j—2=p^j=8・••点d虫上］mm、

将点C的坐标代入曲线E的方程，得竺-绞=1得〃7=±

4,

但当m=_4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题总

・••加=4,点C的坐标为（―点2）

C到AB的距离为£

＞＜（-踮）+2+1i

•••MBC的而积S=丄x6y[3x-=J亍

23

练习题

1•已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（JT・0）,直线y=x—l与其相交于卜1、N两

点，MN中点的横坐标为・一，则此双曲线的方程是（）

A.兰B・^1-21=1C・兰_£

二1D・£

-21=1

TT435225

2•双曲线虚轴的一个端点为M.两个焦点为F八5，ZF/MF2=120°

则双曲线的离心率为（）

A.V3B.色C•鱼D.

233

3、已知双曲线=1（"

0,〃>

0）的右焦点为F,右准线与一条渐近线交于点

a1h'

A,AOAF的而积为尤（0为原点），则两条渐近线的夹角为（）

A・30°

B.45。

C・60°

D.90°

4、已知双曲线的两个焦点为F,（-V5,0）,F2（V5,0）,P是此双曲线上的一点，且

P片丄PF“IPFJ"

PFJ=2,则该双曲线的方程是

5、已知F】、F?

是双曲线£

l-Z=i（t/>

oj7>

O）的两焦点，以线段FR为边作正三角a2b2

形MFiF?

若边MF】的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）

A.4+2巧B.>

/3-1C.~~1D.V3+1

6•直线尸卄3与曲线-出+22=1的交点的个数是（）

44

（A）0个（B）1个（02个（D）3个

7.若双曲线*一尸=1右支上一点P（“,b）到直线y=x的距离是迈，则“+b的值为

（）O

（A）--（B）-（C）一丄或丄（D）2或一2

r2v2

8•已知点F是双曲线~p=\（a>

0.b>

0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于X轴的直线与双曲线交于A、B两点,若ZkABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率£

的取值范围是（）

A・（1,4-00）B・（1,2）C・（1.1+V2）D・（2,1+迈）

9•设P为双曲线S-y：

=l上一动点，0为坐标原点，H为线段0P的中点，则点M的轨

迹方程是・

10•求与圆A：

（a+5）2+^=49和圆B：

（x—5）2+^=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程为>

11.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2,0）,右顶点为（V3,0）

（1）求双曲线C的方程：

（2）若直线/：

y=kx+JI与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且OAOB>

2（其中O为原点）•求k的取值范用.

12•已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2,0）,右顶点为（萌，0）.

（1）求双曲线C的方程；

（2）若直线：

mHO）与双曲线C交于不同的两点MA；

且线段血•的垂直平分线过点川0,—1）,求实数山的取值范国.

2•已知匚竹是双曲线2L->

L=i«

”>

（））的左、右焦点，过仟且垂直于x轴的直a2b2

线与双曲线的左支交于A、B两点，若^ABF2是正三角形，那么双曲线的离心率为（）

A.41B.y/3C.2D.3

F上=1

3•过双曲线M:

X的左顶点A作斜率为1的直线匚若/与双曲线M的两条渐近