初中数学锐角三角函数教学设计学情分析教材分析课后反思.docx
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初中数学锐角三角函数教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计
教学目标
（一）教学知识点
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系.
2.能够用3胡表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，并能够用正切进行简单的计算.
（二）能力训练要求
1.经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点.
2.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力.
3.体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.
（三）情感与价值观要求
1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.
2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.
教学重点
1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.
2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.
教学难点
理解正切的意义，并用它来表示两边的比.
教学方法
引导一探索法.
教具准备
FLASH演示
教学过程
I.创设问题情境，引入新课
用FLASH课件动画演示木章的章头图，提出问题，问题从左到右
分层次出现：
的边和角吗?
［问题2］随着改革开放的深入，上海的城市建设正H新月异地发
展，幢幢大楼拔地而起.70年代位于南京西路的国际饭店还一直是上海最高的大厦，但经过多少年的城市发展，“上海最高大厦”的桂冠早己被其他高楼取代，你们知道目前上海最高的大厦叫什么名字吗?
你能应用数学知识和适当的途径得到金茂大厦的实际高度吗?
通过本章的学习，相信大家一定能够解决.
这节课，我们就先从梯子的倾斜程度谈起.（板书课题§1.1.1
从梯子的倾斜程度谈起）・
II.讲授新课
用多媒体演示如下内容:
［师］梯子是我们日常生活中常见的物体.我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的？
“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的？
请同学们看下图，并回答问题（用多媒体演示）
（1）在图中，梯子肋和厅哪个更陡？
你是怎样判断的？
你有几种判断方法？
［生］梯子M比梯子"更陡.
［师］你是如何判断的？
［生］从图中很容易发现Zabozefd,所以梯子肋比梯子矿陡.
［生］我觉得是因为AC=ED,所以只要比较方G丹的长度即可知哪个梯子陡.BXFD,所以梯子力万比梯子必'陡.
［师］我们再来看一个问题（用多媒体演示）
（2）在下图中，梯子月万和矿哪个更陡？
你是怎样判断的？
［师］我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度，即哪一个更陡，就比较困难了.能不能从第
（1）问中得到什么启示呢？
［生］在第⑴问的图形中梯子的垂直高度即M和勿是相等的，而水平宽度历和肋不一样长，由此我想到梯子的垂直高度与水平宽度的比值越大，梯子应该越陡•
［师］这位同学的想法很好.的确如此，在第
（2）问的图中，哪个梯子更陡，应该从梯子肋和必'的垂直高度和水平宽度的比的大小来判断.那么请同学们算一下梯子肋和厅哪一个更陡呢？
［生］ΔΞ=±=⅛,
BC1.53
ED_3.5_35
^FD~T3~n
••8/35
•——,
313
・•・梯子矿比梯子肋更陡.
多媒体演示：
想一想i
Ac2Cl
OI
I如图，小明想通过测量SG及力G,算出它们的比，来说明梯子I•I
II
II
i的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量及力©算出它们的比，II!
也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗？
（1）直角三角形個G和直角三角形SEG有什么关系？
（2）船和竽I有什么关系？
AClAC2
（3）如果改变Z在梯子上的位置呢？
由此你能得出什么结论？
［师］我们己经知道可以用梯子的垂直高度和水平宽度的比描述梯子的倾斜程度，即用倾斜角的对边与邻边的比来描述梯子的倾斜程度.下而请同学们思考上面的三个问题，再来讨论小明和小亮的做法.
［生］在上图中，我们可以知道RtHA&C、和RtHA昵是相似的.因为ZEGM=ZEGM=90°,ZRAC2=ZRAGf根据相似的条件，得
Rt、A&C\sRt、A&L・
［生］由图还可知：
ZG丄AeIf3G丄AC19得ZG〃3G,RtAABGsRtAA旺.
［生］相似三角形的对应边成比例，得
如果改变Z在梯子上的位置，总可以得到RtMLAsRtMCA
些=邑£1总成立.
ACIAC2
［师］也就是说无论△在梯子的什么位置U除外），ZA的对边与
邻边的比值是不会改变的.
现在如果改变Z力的大小，Z/的对边与邻边的比值会改变吗?
tan*ZA的对边
注意：
1.IanA是一个完整的符号，它表示ZS的正切，记号里习惯省去角的符号“Z”•
2.IanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中Z/1的对边与邻边的比.
3.tarυ4不表示"tan”乘以aAff.
4.初中阶段，我们只学习直角三角形中，ZM是锐角的正切.
思考：
1.Z万的正切如何表示？
它的数学意义是什么？
2.前面我们讨论了梯子的倾斜程度，课木图1一3,梯子的倾斜程度与tanS有关系吗？
［生］1・Z万的正切记作tanE表示Z方的对边与邻边的比值，即细勺对边.
ZB的邻边
2.我们用梯子的倾斜角的对边与邻边的比值刻画了梯子的倾斜程度，因此在图1一3中，梯子越陡，ta胡的值越大；反过来，tan/1的值越大，梯子越陡.
［师］正切在日常生活中的应用很广泛.例如建筑、工程技术等，正切经常用来描述山坡的坡度、堤坝的坡度.
如图，有一山坡在水平方向上每前进IOOm,就升高60m,那么山坡的坡度（即坡角G的正切一一tana）就是
IOO5
这里要注意区分坡度和坡角.坡而的铅直高度与水平宽度的比即坡角的正切称为坡度.坡度越大，坡面就越陡.
IiL例题讲解
解：
甲梯中，
“卄=Za的对边一_5
Za的邻边√i32-5212
乙梯中，
ZpfiWi=6=3
ZP的邻边84
因为tan^>tanOf所以乙梯更陡.
［例2］在△力应'中，Zr=90°,万C=I2cm,力万=20cm,求tan^和tan万的值•
分析：
要求tan∕l,IanB的值，根据勾股定理先求出直角边/C的
长度.
解：
在△遊中，Zr=90°,
所以AC=√Aθ2-BC2=√202-122=16（Cm）,
+Zl_ZA的对边tan?
l——
BC
12
.3
ZA的邻边
AC
16
4
tan*’砂对边
AC
16
4
Z/喲邻边
BC
12
3
所以tan^-—,
tanj?
=
Z4"—•
4
3
IV.随堂练习
1.如图，△磁是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出
tanC吗？
分析：
要求SnG需从图中找到ZC所在的直角三角形.因为甸-LACf所以ZC在Rt'BDC中.然后求出ZC的对边与邻边的比，即竺
DC的值.
解：
•：
∖ABC是等腰直角三角形，BDLAa
・•・G?
=丄力C=丄X3=1.5.
22
在RtbBDC中，ta∏r=-=—=1.
DC1.5
2.如图，某人从山脚下的点力走了20Om后到达山顶的点氏己
知点万到山脚的垂直距离为55m,求山的坡度.（结果精确到0.001）
分析：
由图可知，Z力是坡角，Z/的正切即tan/l为山的坡度.
解：
根据题意：
在RtL∖ABC中，A5=200∏μ方Q=55m,
AC=√2OO2-552=5√1479≈5×38.46=192.30（m）•
tan^=—=5.286.
AC192.30
所以山的坡度为0.286.
V.课时小结
本节课从梯子的倾斜程度谈起，经历了探索直角三角形中的边角关系，得出了在直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定，并以此为基础，在“欣△”中定义了tarvl=洋畧.
ZA的邻边
接着，我们研究了梯子的倾斜程度，工程中的问题坡度与正切的关系，了解了正切在现实生活中是一个具有实际意义的一个很重要的概念.
VL课后作业
1.习题1.1第1、2题.
2.观察学校及附近商场的楼梯，哪个更陡.
v∏∙活动与探究
（江苏盐城）如图，Rt'ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡
力万的长为12m,它的坡角为45°,为了提高该堤的防洪能力，现将
背水坡改造成坡比为1：
1.5的斜坡肋,求励的长.（结果保留根号）
［过程］要求％的长，需分别在RtHABC和RtbACD中求出虑和
DC,根据题意，在RtbABC中，ZABC=45°,力万=12m,则可根据勾股定理求出BC；在RtbADC中，坡比为1：
1.5,即tanZλ=l:
1.5,由BC=ACf可求出CD,
［结果］根据题意，在Rt厶ABC中，ZMC=45°,所以△遊为等腰直角三角形.设BC=AC=Xm,则
F+F=122,
^=6√,2,
所以BC=AC=6yfl.
在Rt^ADC中，tan/?
=—=—,
CD1.5
即竺=_L,cD=g近.
CD1.5
所以DB=CD-BC=^41-6√2=3√2（m）.
板书设计
§1.1锐角三角函数
1.当直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定.
2.正切的定义：
在Rt厶ABC申,锐角力确定，那么ZS的对边与邻边的比随之确
定，这个比叫做Z力的正切,记作IanAf即
注：
（DtanS的值越大，梯子越陡.
（2）坡度通常表示斜坡的倾斜程度，是坡角的正切.坡度越大,
坡而越陡.
3.例题讲解（略）
4.随堂练习
5.课时小结
学情分析
九年级学生的思维活跃，接受能力较强，具备了一定的数学探究活动经历和应用数学的意识。
并且学生己经掌握直角三角形中各边和各角的关系，能灵活运用相似图形的性质及判定方法解决问题，有一定的推理证明能力，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础。
学生要得出直角三角形中边与角之间的关系，需要观察、思考、交流，进一步体会数学知识之间的联系，感受数形结合思想，一般到特殊思想，转化思想和建模思想，体会正切的意义，提高解决问题的能力。
效果分析
新课标指出，数学教学过程是教师引导学生进行学习活动的过程，是教师和学生间互动的过程，是师生共同发展的过程。
为有序、有效地进行教学。
本节课我先通过具体情境引入新课，把教学内容转化为具有潜在意义的问题，让学生产生强烈的问题意识，使学生的整个学习过程成为〃猜想〃，继而紧张地沉思，期待寻找理由和证明过程。
学生利用己有知识与经验，同化和索引出当前学习的新知识，这样获取的知识,不但易于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中。
然后用具体实例的探究，层层递进，由特殊到一般，引导学生归纳总结出：
直角三角形任意锐角的对边与邻边的比值固定的特点，从而过度到正切的的概念，顺理成章地完成知识的迁移。
即培养了学生发现问题，探究思考与合作交流的能力。
又发展了学生建模，数形结合，转化，由特殊到一般的思想方法。
例题和练习的设置由浅入深、由易到难、各有侧重，体现新课标提出的让不同的学生在数学上得到不同发展的教学理念。
优点：
（I）引课较好，考查学生的知识而；
（2）教学思路清晰，符合“三维目标”要求，教学实施较好,能基本体现“合作、探究、互动、评价”的教学模式，充分体现以学生为主体，促进学生主动学习，可增加教学容量，以训练接纳信息和处理信息能力。
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