北师版数学必修5讲义 第2章 3 解三角形的实际应用举例.docx

北师版数学必修5讲义 第2章 3 解三角形的实际应用举例.docx

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北师版数学必修5讲义第2章3解三角形的实际应用举例

§3　解三角形的实际应用举例

1．掌握测量距离、高度、角度等问题中正、余弦定理的应用．（重点）

2．了解测量的方法和意义．（难点）

3．提高应用数学知识解决实际问题的能力．（难点）

[基础·初探]

教材整理　实际问题中的有关术语

阅读教材P58～P61“练习2”以上部分完成下列问题．

　名称

定义

图示

仰角

与俯角

在视线和水平线所成角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角，如图

方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线所成的角，如图，B点的方位角为α

方向角

从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.如图，∠ABC为北偏东60°或东偏北30°

判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围是.（　　）

（2）方位角大小的范围是[0,2π]，方向角大小的范围一般是.（　　）

（3）方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．（　　）

【解析】　

（1）俯角是铅垂线与水平线所成的角．

（2）根据方位角与方向角的定义可知．

（3）方位角与方向角都是确定观察点与目标点之间的位置关系．

【答案】　

（1）×　

（2）√　（3）√

[小组合作型]

测量距离问题

图231

　如图231，某货轮在A处看灯塔B在北偏东75°，距离为12nmile的点处，在A处看灯塔C在北偏西30°，距离为8nmile的点处，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B位于北偏东120°.

求：

（1）A与D的距离；

（2）灯塔C与D的距离．

【精彩点拨】　

（1）在△ABD中，可知AB＝12，

B＝45°，∠ADB＝60°，于是可利用正弦定理求AD.

（2）要求CD的长，可在△ACD中，由余弦定理解决．

【尝试解答】　

（1）在△ABD中，∠ADB＝60°，B＝45°.

由正弦定理得AD＝＝

＝24nmile.

故A与D的距离为24nmile.

（2）在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos30°，

解得CD＝8nmile，

故灯塔C与D的距离为8nmile.

1．求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是：

（1）认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形．

（2）把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解．

2．在实际测量距离问题中，常涉及“方位角”与“方向角”的概念，应正确理解并区分这两个概念．

（1）方位角：

指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角，如图，B处的方位角为α.

（2）方向角：

指从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，即为方向角．

[再练一题]

1．一货轮在海上由西向东航行，在A处望见灯塔C在货轮的东北方向，半小时后在B处望见灯塔C在货轮的北偏东30°方向．若货轮的速度为30nmile/h，当货轮航行到D处望见灯塔C在货轮的西北方向时，求A、D两处的距离.

【导学号：

47172026】

【解】　如图所示，在△ABC中，A＝45°，

∠ABC＝90°＋30°＝120°，

∴∠ACB＝180°－45°－120°＝15°.

AB＝30×0.5＝15nmile.

由正弦定理，得＝，

∴AC＝＝

＝nmile.

在△ACD中，

∵A＝D＝45°，

∴△ACD是等腰直角三角形．

∴AD＝AC＝15（3＋）nmile.

即A、D两处之间的距离是15（3＋）nmile.

测量高度问题

图232

　如图232，在点B处测得某建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高．

【精彩点拨】　很明显BC＝AC＝30m，因此可以解△ACD，利用正弦定理建立方程求出θ，再求AE.

【尝试解答】　∵∠ABC＝θ，∠ACD＝2θ，∠ADE＝4θ，

∴∠CAB＝θ，∠DAC＝2θ，

∴在△ABC中，AC＝BC＝30m，

在△ACD中，AD＝DC＝10m.

又∠ADC＝180°－4θ，

∴在△ACD中，由正弦定理得，

＝，

即＝.

又sin4θ＝2sin2θcos2θ，

∴cos2θ＝，∴2θ＝30°，∴θ＝15°，

∴在Rt△ADE中，

AE＝ADsin4θ＝10sin60°＝15m.

即所求角θ为15°，建筑物的高度为15m.

在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解．和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解．

[再练一题]

2．如图233所示，A、B是水平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的垂足，求山高CD.

图233

【解】　由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由＝，得AD＝＝＝

800（＋1）m.

所以CD＝AD＝800（＋1）m.

即山的高度为800（＋1）m.

[探究共研型]

与角度有关的实际问题

探究1　方位角

方位角是怎样规定的？

其范围是多少？

【提示】　方位角是从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角，其范围是[0,2π）．

探究2　方向角

方向角是怎样规定的？

其范围是多少？

【提示】　正北或正南方向线与目标线所成的锐角，通常表达为北（南）偏东（西）××度，其范围为.

探究3　若P在Q的北偏东60°，则Q在P的南偏西多少度？

【提示】　60°

图234

　如图234，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处（－1）海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜．问：

缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船？

并求出所需时间．

【精彩点拨】　结合图形将实际问题转化为解三角形问题，应用正、余弦定理求解．

【尝试解答】　设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获（在D点）走私船，则CD＝10t海里，BD＝10t海里．

在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝（－1）2＋22－2（－1）·2·cos120°＝6，

∴BC＝海里．

又∵＝，

∴sin∠ABC＝＝＝，

∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，

∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.

在△BCD中，由正弦定理，得

＝，

∴sin∠BCD＝＝＝，

∴∠BCD＝30°，

∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶．

又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，

∴D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝，

∴t＝小时≈15分钟．

∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．

求解实际应用中的角度问题时，一般把求角的问题转化为解三角形的问题，基本方法是：

（1）明确各个角的含义；

（2）分析题意，分析已知与所求，画出正确的示意图；

（3）将图形中的已知量与未知量之间的关系转化为三角形的边与角的关系，运用正弦定理求解．

[再练一题]

3．如图235所示，A，B是海面上位于东西方向相距5（3＋）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？

【导学号：

47172027】

图235

【解】　由题意知AB＝5（3＋），

∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝45°，

∴∠ADB＝105°.

∴sin105°＝sin45°·cos60°＋sin60°·cos45°

＝×＋×

＝.

在△ABD中，由正弦定理得

＝，

∴BD＝＝

＝

＝10.

又∠DBC＝180°－60°－60°＝60°，BC＝20，

在△DBC中，由余弦定理得

CD2＝BD2＋BC2－2×BD×BC×cos60°

＝300＋1200－2×10×20×＝900，

∴CD＝30海里，则需要的时间t＝＝1小时．

即救援船到达D点需要1小时.

1．已知两座灯塔A和B与海洋观测站C的距离相等，灯塔A在观测站C的北偏东40°方向，灯塔B在观测站C的南偏东60°方向，则灯塔A在灯塔B的（　　）

A．北偏东10°　　　　　　B．北偏西10°

C．南偏东10°D．南偏西10°

【解析】　由条件可知如图，在△ABC中，∠ACB＝80°，CA＝CB，∴∠ABC＝50°，而∠CBD＝60°.

∴A在B的北偏西10°的方向处．

【答案】　B

2．海上A、B两个小岛相距10nmile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是（　　）

A．10nmileB.nmile

C．5nmileD．5nmile

【解析】　依题意，A＝60°，B＝75°，AB＝10，

则C＝180°－A－B＝45°，

由正弦定理得，BC＝＝＝5.

【答案】　D

3．一树的树干被台风吹断，折断部分与残存树干成30°角，树干底部与树尖着地处相距5m，则树干原来的高度为________．

【解析】　如图，AB为残存树干，BC为折断部分，

在Rt△ABC中，已知AC＝5，∠ABC＝30°，

∴AB＝5，BC＝10.

∴树干原来的高度为AB＋BC＝（10＋5）m.

【答案】　（10＋5）m

4．在一幢20m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高是________．

【解析】　如图所示，

AB＝CD，∠DAC＝45°，

∴AD＝CD＝AB＝20m.

DE＝AD·tan60°＝20m，

CE＝20＋20＝20（1＋）m.

【答案】　20（1＋）m

5．如图236所示，海中小岛A周围37.5nmile内有暗礁，一船正在向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30nmile后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？

图236

【解】　在△ABC中，BC＝30，B＝30°，∠BCA＝135°，

∴A＝15°.

由正弦定理知＝，即＝.

∴AC＝＝60cos15°＝60cos（45°－30°）

＝60（cos45°cos30°＋sin45°sin30°）

＝15（＋）．

于是，A到BC所在直线的距离为

AC·sin45°＝15（＋）×

＝15（＋1）nmile，

由于37.5＝15×＜15（＋1），

所以船继续向南航行，没有触礁的危险．