中考数学压轴题二次函数的动点问题压轴题专题练习含答案Word文档下载推荐.docx
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3
点P的坐标为⎛7631⎫．
51555
，⎪
⎝155⎭
方法二：
当t=5时，OG=7，OQ=9，S=1OGOQ=63．设所求函数关系式为
22
63⎧100a+10b+20=28
S=at2+bt+20．抛物线过点（10，28），⎛5，⎫，∴⎪63
2⎪⎨25a+5b+20=.
⎝⎭⎪⎩2
⎧a=-3，
∴
⎨
⎪b=
⎩
10
19.
5
∴S=-3t2+19t+20．105
-b=-5=19，且0≤19≤10，∴当t=19时，S有最大值．
2a2⨯⎛-3⎫333
此时GP=76，OG=31，∴点P的坐标为⎛7631⎫．
155
（4）2．
2.如图①，Rt△ABC中，∠B=90，∠CAB=30．它的顶点A的坐标为（10，0），顶点
B的坐标为（5，53），AB=10，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同
时点Q从点D（0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）求∠BAO的度数．
（2）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数
图象为抛物线的一部分，（如图②），求点P的运动速度．
（3）求
（2）中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标．
（4）如果点P，Q保持
（2）中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；
沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点P沿这两边运动时，使∠OPQ=90的点P有几个？
请说明理由．
y
C
B
Q
P
D
OAxt
（第29题图
（第29题图②）
解:
（1）∠BAO=60．
（2）点P的运动速度为2个单位/秒．
1⎛9⎫2121
（3）P（10-t，3t）（0≤t≤5）S=（2t+2）（10-t）=-ç
t-⎪+．
⎝⎭4
∴当t=9时，S有最大值为121，此时P⎛1193⎫．
24ç
2，2⎪
（4）当点P沿这两边运动时，∠OPQ=90的点P有2个．
①当点P与点A重合时，∠OPQ<
90，当点P运动到与点B重合时，OQ的长是12单位长度，
作∠OPM=90交y轴于点M，作PH⊥y轴于点H，
由△OPH∽△OPM得：
OM=203=11.5，所以OQ>
OM，从而∠OPQ>
90．
所以当点P在AB边上运动时，∠OPQ=90的点P有1个．
②同理当点P在BC边上运动时，可算得OQ=12+
=17.8．
而构成直角时交y轴于⎛0353⎫，353=20.2>
17.8，
3⎪3
所以∠OCQ<
90，从而∠OPQ=90的点P也有1个．
第29题图①
所以当点P沿这两边运动时，∠OPQ=90的点P有2个．
3.如图12，直线y=-4x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经
过点A、C和点B（-1,0）.
（1）求该二次函数的关系式；
（2）设该二次函数的图象的顶点为M，求四边形AOCM的面积；
（3）有两动点D、E同时从点O出发，其中点D
以每秒2个单位长度的速度沿折线
OAC按O→A→C的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→
A的路线运动，当D、E两点相遇时，它们都停止运动.设D、E同时从点O出发t秒时，∆ODE的面积为S.
①请问D、E两点在运动过程中，是否存在DE∥OC，若存在，请求出此时t的值；
若不存在，请说明理由；
②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
③设S0是②中函数S的最大值，那么S0=.
解：
（1）令x=0，则y=4；
令y=0则x=3．∴A（3，0）．C（0，4）
∵二次函数的图象过点C（0，4），∴可设二次函数的关系式为y=ax2+bx+4
⎨0=a-b+4．
又∵该函数图象过点A（3，0）．B（-1，0）∴⎧0=9a+3b+4
解之，得a=-4，
b=8．
∴所求二次函数的关系式为y=-4x2+8x+4
33
（2）∵y=-4x2+8x+4
=-4（x-1）2+16
∴顶点M的坐标为⎛116⎫
⎝3⎭
过点M作MF⊥x轴于F
∴S四边形AOCM=S△AFM+S梯形FOCM
=1⨯（3-1）⨯16+
23
1⨯⎛4+
2⎝
16⎫⨯1=10∴四边形AOCM的面积为10
⎭
（3）①不存在DE∥OC
∵若DE∥OC，则点D，E应分别在线段OA，CA上，此时1<
t<
2，在Rt△AOC中，
AC=5．
设点E的坐标为（x，y）∴
=4t-4，∴x
=12t-12∵DE∥OC，
113515
∴12t-12=3t∴t=8∵t=8>
2，不满足1<
2．∴不存在DE∥OC．
5233
②根据题意得D，E两点相遇的时间为
3+4+5=24（秒）现分情况讨论如下：
3+411
2
ⅰ）当0<
t≤1时，S=1⨯3t4t=3t2；
ⅱ）当1<
t≤2时，设点E的坐标为（x2，y2）
5-（4t-4）
45
，∴y2
=36-16t
∴S=1⨯3t⨯36-16t=-12t2+27t
22555
ⅲ）当2<
t<
24时，设点E的坐标为（x
，y），类似ⅱ可得y
11
设点D的坐标为（x4,y4）
3t-3
3335
∴=2，
∴y4
=6t-12
∴S=S△AOE-S△AOD
=1⨯3⨯36-16t-1⨯3⨯6t-12=-33t+72
③S0
52
=243
80
555
47.关于x的二次函数y=-x2+（k2-4）x+2k-2以y轴为对称轴，且与y轴的交点在x
轴上方．
（1）求此抛物线的解析式，并在下面的直角坐标系中画出函数的草图；
（2）设A是y轴右侧抛物线上的一个动点，过点A作AB垂直于x轴于点B，再过点A
作x轴的平行线交抛物线于点D，过点D作DC垂直于x轴于点C，得到矩形ABCD
．设矩形ABCD的周长为l，点A的横坐标为x，试求l关于x的函数关系式；
（3）当点A在y轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；
若不能，请说明理由．
参考资料：
抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是⎛-
b4ac-b2⎫
，⎪，对称轴是直线
x=-b．
2a
⎝2a
4a⎭
（1）据题意得：
k2-4=0，∴k=±
2．当k=2时，2k-2=2>
0．当k=-2时，2k-2=-6<
0．
又抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴k=2．
∴抛物线的解析式为：
y=-x2+2．
函数的草图如图所示．（只要与坐标轴的三个交点的位置及图象大致形状正确即可）
（2）解：
令-x2+2=0，得x=±
不0<
x<
时，A1D1
=2x，A1B1
=-x2+2，
∴l=2（AB+AD）=-2x2+4x+4．
1111
当x>
时，A2D2=2x，
A2B2=-（-x+2）=x-2．
∴l=2（AD+AB）=2x2+4x-4．
2222
∴l关于x的函数关系是：
（第26题）
当0<
时，
l=-2x2+4x+4；
当
x>
l=2x2+4x-4．
（3）解法一：
当0<
时，令AB=AD，得x2+2x-2=0．
解得x=-1-（舍），或x=-1+．将x=-1+代入l=-2x2+4x+4，
得l=8
-8．当x>
时，令AB=AD
，得x2-2x-2=0．
2222
解得x=1-（舍），或
x=1+．将
x=1+代入
l=2x2+4x-4，得
l=8+8．
综上，矩形ABCD能成为正方形，且当x=-1时正方形的周长为8-8；
x=+1时，正方形的周长为8+8．
解法二：
时，同“解法一”可得x=-1+．
∴正方形的周长l=4A1D1=8x=8-8．
时，同“解法一”可得x=1+．
∴正方形的周长l=4A2D2=8x=8+8．
解法三：
点A在y轴右侧的抛物线上，∴x>
0，且点A的坐标为（x，-x2+2）．令AB=AD，则-x2+2=2x．∴-x2+2=2x，①或-x2+2=-2x②
由①解得x=-1-（舍），或x=-1+；
由②解得x=1-（舍），或x=1+
又l=8x，∴当x=-1+时l=8
-8；
当x=1+时l=8
+8．
5.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB<
OC）是方程x2－10x＋16＝
0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的表达式；
（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点
E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；
若不存在，请说明理由．
第26题图
（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8
∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC
∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2
∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0）
（2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上
∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式，得
第26题图（批卷教师用图）
Error!
解得Error!
x－x
∴所求抛物线的表达式为y＝－228＋8
（3）依题意，AE＝m，则BE＝8－m，
∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10
∵EF∥AC∴△BEF∽△BAC
∴EF＝BE
EF8－m
AC
∴EF
AB
40－5m
即10＝8
＝4
过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB4
FG4
＝
440－5m
∴EF＝∴FG＝·
＝8－m
∴S＝S△BCE－S△BFE＝1（8－m）×
8－1（8－m）（8－m）
1112
＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m＋4m
222
自变量m的取值范围是0＜m＜8
（4）存在．
理由：
∵S
12＋4m
1m－4）2＋81
＝－m
＝－（
且－＜0，
∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8
∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0）
∴△BCE为等腰三角形．
6.（14分）如图：
抛物线经过A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点.
（1）求抛物线的解析式.
（2）已知AD=AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单
位长度的速度移动；
同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t
秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；
（3）在
（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？
若存在，请求出点M的坐标；
若不存在，请说明理由。
（注：
抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=-b）
（1）解法一：
设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-4）
因为B（0，4）在抛物线上，所以4=a（0+3）（0-4）解得a=-1/3
所以抛物线解析式为y=-1（x+3）（x-4）=-1x2+1x+4
333
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
⎧a=-1
⎧9a-3b+4=0
依题意得：
c=4且
⎩16a+4b+4=0
解得⎪3
⎪⎩3
所以所求的抛物线的解析式为y=-1x2+1x+4
（2）连接DQ，在Rt△AOB中，AB===5
所以AD=AB=5，AC=AD+CD=3+4=7，CD=AC-AD=7–5=2
因为BD垂直平分PQ，所以PD=QD，PQ⊥BD，所以∠PDB=∠QDB因为AD=AB，所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，所以DQ∥AB所以∠CQD=∠CBA。
∠CDQ=∠CAB，所以△CDQ∽△CAB
DQ=CD即DQ=2,
DQ=10
ABCA577
所以AP=AD–DP=AD–DQ=5–10=25，t=25÷
1=25
7777
所以t的值是25
7
（3）答对称轴上存在一点M，使MQ+MC的值最小
因为抛物线的对称轴为x=-b=1
2a2
所以A（-3，0），C（4，0）两点关于直线x=1对称
连接AQ交直线x=1于点M，则MQ+MC的值最小
过点Q作QE⊥x轴，于E，所以∠QED=∠BOA=900DQ∥AB，∠BAO=∠QDE，△DQE∽△ABO
QE=DQ=DE即QE=7=DE
BOABAO453
所以QE=8
，DE=6
，所以OE=OD+DE=2+6
=20
，所以Q（20，8）
77
设直线AQ的解析式为y=kx+m（k≠0）
⎧208
⎧k=8
则⎪7
k+m=7由此得⎪41
24
⎪⎩-3k+m=0
⎪m=
⎩41
⎧x=1
所以直线AQ的解析式为y=8x+24联立⎪2
4141
⎪y=
8x+24
由此得⎪
128
（,）
241
则：
在对称轴上存在点M128），使MQ+MC的值最小。
7.如图9，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a>
0）的图象的顶点为D
点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），
OB＝OC，tan∠ACO＝1．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，
使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？
若存在，请求出点F的坐标；
（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相
切，求该圆半径的长度．
（4）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？
求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.
（1）方法一：
由已知得：
图C9（0，－3），A（－1，0）…1分
⎧a-b+c=0
图10
将A、B、C三点的坐标代入得⎨9a+3b+c=0……………………2分
⎪c=-3
⎧a=1
解得：
⎨b=-2……………………3分
所以这个二次函数的表达式为：
y=x2-2x-3……………………3分方法二：
C（0，－3），A（－1，0）………………………1分设该表达式为：
y=a（x+1）（x-3）……………………2分
将C点的坐标代入得：
a=1……………………3分
y=x2-2x-3……………………3分
表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）
（2）方法一：
存在，F点的坐标为（2，－3）……………………4分理由：
易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：
y=-x-3
∴E点的坐标为（－3，0）……………………4分
由A、C、E、F四点的坐标得：
AE＝CF＝2，AE∥CF
∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形
∴存在点F，坐标为（2，－3）……………………5分
∴E点的坐标为（－3，0）………………………4分
∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形
∴F点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3）代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合
∴存在点F，坐标为（2，－3）………………………5分
（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>
0），则N（R+1，R），
代入抛物线的表达式，解得R=
…………6分
②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>
0），
则N（r+1，－r），1R
代入抛物线的表达式，解得r=-1+
17………7分
R
AOBx
r
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