微分中值定理与导数的应用习题docx文档格式.docx
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）
（a,b）
f（x2）
（x1
x2）f（
在x1,x2之间
C．f（x1）
D．f（x2）
（x2
x1）f
x1
3．证明恒等式：
arctanx
arccotx
）．
2
证明：
令f（x）arctanx
arccotx，则f
1
，所以f（x）为一常数．
（x）
1x2
1x
设f（x）
c，又因为f
（1）
，
故
arctanx
4．若函数f（x）在（a,b）内具有二阶导数，且
f（x3），其中a
x3
b，证明:
在（x1,x3）内至少有一点
，使得f（）0
由于
f（x）在[x1,x2]上连续,在（x1,x2）可导,
且f（x1）
f（x2），根据罗尔定理知，存
在1
（x1,x2），使f
（1）
0．同理存在2
（x2,x3），使f（
2）
0．又f（x）在[
1,2]上
符合罗尔定理的条件，故有
（x1,x3），使得f
（）0．
5．证明方程
0有且仅有一个实根．
6
则f（0）1
0,f（
2）
0，根据零点存在定理至
3
少存在一个
2,0），使得f（
）0
．另一方面，假设有
x1,x2
），且x1
x2，使
f（x2）
0，根据罗尔定理，存在
（x1,x2）使f（
0，这与
）0，即1
12
0矛盾．故方程
0只有一个实根．
6．设函数f（x）的导函数
f
（x）在[a,b]上连续，且
f（a）0,
f（c）
0,f（b）0
，其中c是介
于a,b之间的一个实数．
存在
（a,b）,使f
（）
0成立.
由于
f（x）
在[a,b]
内可导，从而
f（x）在闭区间[a,b]内连续，在开区间
（a,b）内可导．又
因为
f（a）
0,f（c）
0，根据零点存在定理，必存在点
（a,c），使得
f（
1）
．同理，存在
点
（c,b）
，使得
0．因此
在
1,
2上满足罗尔定理的条件，
故存在
（a,b）
，使
f（）
成立．
7.设函数
在[0,1]
上连续,
在（0,1）
内可导.
试证:
至少存在一点
（0,1）,
使
2[f
（1）
f（0）].
只需令
g（x）
x2，利用柯西中值定理即可证明
.
8．证明下列不等式
（１）当
时，sinx
cosx．
设f（t）
sinttcost，函数f（t）在区间[0,x]上满足拉格朗日中值定理的条件，且
f（t）tsint,
故f（x）
f（0）
f'
（
）（x
0）,
x,即
sinx
xcosx
xsin
0（0
因此，当0
（２）当
a
b
时，a
lna
b．
lnx，则函数在区间[b,a]上满足拉格朗日中值定理得条件，有
f（b）
（）（a
b）,b
因为f'
（x）
，所以lna
1（a
b），又因为b
a，所以
11
，从而
ab
洛毕达法则
（１）lim
cos5x
5
cos3x
ln（1
（２）lim
xarctanx
（３）lim（1
）=1
x0x2
xtanx
（４）lim（sinx）x
x0
２．选择题
（１）下列各式运用洛必达法则正确的是（B）
lim
lnn
n
A．
e
B．
x01
cosx
x2sin
2xsin
cos
C．
x不存在
D．
=lim
0ex
（２）
在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（
C）
B．lim
（1）tanx
．limxsinx
D．limx
A．lim
C
3．求下列极限
（１）limxm
am
axn
an
解：
lim
xm
=limmxm1
xaxn
xanxn1
mamn．
（２）lim2x
2．
2x
2=lim2xln22
xln2=lim2x（ln2）2
2x（ln2）2
=（ln2）2．
（３）limsinx
tanx．
tanx
tanx（cosx
1）
＝
＝lim
（４）
limex
（arcsinx）2
limex
sinx1
＝limex
1＝limex
1．
x2
xx
（５）lim
x11
xlnx
（xx）
xx（1lnx），
（1
lnx）
xx（1lnx）2
xx1
x11xlnx
x1
lim[xx
2（1
lnx）2
xx1]
2．
（６）
lim（1
lim（1
lime
lim2
x0xex
x0x（ex
x0x2
（７）
lim
（1）tanx．
sin2
limtanxlnx
lnx
lim（
0cotx
0csc2x
0x
1．
（８）lim
2x）ln（1
3）．
3）=lim
3ln（1
2x）
2xln2
3lim
3lim12x
=3ln2lim
2x
x=3ln2．
（９）limnn．
因为lim
1，所以limnn=1．
函数的单调性与曲线的凹凸性
（１）
函数y4x2
ln（x2）的单调增加区间是（1,0）
（1
），单调减少区间
（,1）
（0,1）．
（２）若函数
f（x）二阶导数存在，且
f（x）0,f（0）0，则F（x）
f（x）在0x
上
是单调
增加
（３）函数yax21在（0,）内单调增加，则a0．
（４）若点（1，3）为曲线yax3bx2的拐点，则a3，b9，曲线的凹区间为（,1），
22
凸区间为（1,）．
2．单项选择题
（１）下列函数中，（A）在指定区间内是单调减少的函数.
A.y2x（,）B.yex（,0）
C.ylnx（0,）D.ysinx（0,）
（２）设f（x）（x1）（2x1），则在区间（1,1）内（B）．
A.yf（x）单调增加，曲线yf（x）为凹的
B.yf（x）单调减少，曲线yf（x）为凹的
C.yf（x）单调减少，曲线yf（x）为凸的
Ｄ．yf（x）单调增加，曲线yf（x）为凸的
（３）
f（x）在（
）内可导,
且x1,x2,当x1
x2时,f（x1）
f（x2）,则（D）
任意x,f（x）
任意x,f（x）0
C.
x）单调增
（４）设函数
f（x）在[0,1]
上二阶导数大于
则下列关系式成立的是（B
（1）
（0）
f
（1）
f（0）
2．求下列函数的单调区间
y
ex
x1．
y
1，当x0
时，y
0,所以函数在区间
[0,
）为单调增加；
当x
0时，y
，所以函数在区间
0]为单调减少．
（２）y
（2x
5）3
x2．
10x
解：
3（x
1），
当
，或
所以函数在区间（
0]
[1,
当0
x1时，y
0，所以函数在区间
[0,1]
为单调减少．
yln（x
x2）
0，故函数在
）单调增加．
1x2
3．证明下列不等式
（１）证明：
对任意实数a和b,
成立不等式
|ab||a||b|．
1|ab|1|a|1|b|
令f（x）
，则f（x）
0，f（x）在[0,
）内单调增加.
x）2
于是,
由|a
b||a|
|b|,
就有f（|ab|）
f（|a||b|）,
即
|ab|
|a||b|
|a|
|b|
1|ab|
1|a||b|1|a||b|1|a||b|
1|a|1|b|
（２）当x
1时,
2（x
（x
1）lnx
2（x
1），f'
1，由于当x
1时，
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