初中数学北京课改版八年级下册《频数分布表》教案Word下载.docx
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教学重点:
频数分布的意义与作用,会列频数分布表.
教学难点:
数据分组的方法和频数的累计过程.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
同学们好,首先,回顾一下初中阶段我们学过的统计量,它们是描述数据集中趋势的平均数,众数和中位数,刻画数据离散程度的极差,方差.
当我们在处理数据时,不但要了解一组数据的集中趋势,还要了解这组数据的离散程度.
我们通过全面调查和抽样调查收集数据,通过这两种方法收集的数据是分散的,不系统的,这就需要对一组数据进行适当的整理.在数据整理的基础上描述数据,分析数据,进而得出结论.数据整理是统计分析的基础,在统计中具有重要的地位.而数据整理常用的方法是制表.今天我们来学习一种新的统计表:
频数分布表.
同学们,在某次数学检测考试中,初二年级1班40名学生的数学成绩如下:
通过学生熟悉的问题入手,既是对前面内容的梳理,同时又可以把新知识由浅入深地引入,找到新旧知识的联系点,起到一个承上启下的作用.
新课
探究新知:
八年级1班40名学生的数学成绩(单位:
分)如下:
87,77,68,92,67,77,74,84,98,84,
59,77,80,77,76,94,82,65,60,56,
87,82,70,74,68,90,95,92,82,70,
70,82,80,82,89,82,85,85,58,78.
思考:
对于这次检测成绩,我们都能获得哪些信息呢?
目前,我们能够用哪些数据对本次检测进行分析和评估?
可以用:
最高分,最低分,极差,平均分,
及格率,优秀率,方差.
同学们,除了以上数据,你还想知道哪些数据,以便对这次数学检测成绩作更深入的分析和评估?
例如,哪个分数段的人数最多,哪个分数段的人数最少,分别占总人数的比值是多少,我们统计出的这些数据能回答这几个问题吗?
显然是回答不了的.
如果想知道成绩更具体的分布,这就需要我们对这次成绩作更深入的分析,即:
把数据进行分段统计.
要想分段,就需要先画出分数段,再统计出每个分数段的分数个数.
我们知道,数据的极差是42分,如果以10分为一段,请大家思考一下,可以分成几段呢?
因为42分是指最大值和最小值的差,又以10分为一段,用42÷
10=4.2≈5段.所以以10分为一段,可以分成5段.
同学们需要注意,这里的约等于不是取四舍五入,而是取满足条件的最小整数值.
又因为数据的最小值为56分,最大值为98分,所以初二年级1班40名学生数学成绩分段结果如下:
第一段为50~60分,第二段60~70分,
第三段为70~80分,第四段80~90分,
第五段为90~100分.
在这里需要注意,每一段中两端的数值包含最小值,不包含最大值.例如:
50~60分这一段的数据满足的条件是大于等于50,小于60,即:
含50,不含60.
按照上面的分段方法,就可以统计出各分数段的分数个数了,累计时,按照选举唱票的方法用“正”字进行划计,再累计出各个分数段内的分数个数,进而计算它与分数总个数40的比值.
综上所述,表格中的表头信息,包含:
分数段,分数个数累计,分数个数,以及与总个数的比值.下面,我们以第一行的数学成绩为例来体会一下分数个数累计的方法,这一行的成绩依次为:
87,77,68,92,67,77,74,84,98,84,我们按数据出现的次序画“正”字,87属于80至90分数段,我们在这一栏画“正”字的第一笔,77属于70至80分数段,我们在这一栏画“正”字的第一笔,68属于60至70分数段,我们在这一栏画“正”字的第一笔,92属于90至100分数段,我们在这一栏画“正”字的第一笔,67属于60至70分数段,我们在这一栏画“正”字的第二笔,以此类推,完成分数个数的累计工作.
以第一个分数段50~60为例,来说明表格中后两列的填写方法,
在50~60分这一段,通过对正字笔顺:
横,竖,横三笔累计统计,可以得到:
50~60分这个分数段的分数个数为3个,所以表格中分数个数为3,然后用3÷
40得到这一段的数据个数与总个数的比值为0.075.依据以上的方法得到分段统计表如下:
其中,50~60分这一段有3个数据,60~70分这一段有5个数据,70~80分这一段有11个数据,80~90分这一段有15个数据,90~100分这一段有6个数据.分数个数与总个数的比值依次为:
0.075,0.125,0.275,0.375,0.150.
最后一行是合计,即求出每一列的数据之和.上面对数据的分段统计的过程就是数据的分组整理.
数据的分组整理:
是指按数值的大小,把一组数据分成若干小组,累计各小组的数据个数过程.其中每个分数段是一个“组区间”,分数段两段的数据是“组限”,分数段中最大值与最小值的差是“组距”,分数段的个数是“组数”.
有了分组整理的知识,我们再来看成绩分段统计表表头信息中分数个数这项,在数据的分组整理中,累计出每个小组数据的个数,称为这组的频数.因此分数个数累计又称频数累计.再看表格最后一列,每组的频数与数据总个数的比值称为这组的频率.根据频率的概念可以得到频率的计算公式为:
频率=这一组的频数÷
数据总个数.因此,分段统计表又叫频数分布表.数据分组整理的结果通常用频数分布表来表示.
其中,表头一栏的信息为分组,频数累计,频数以及频率.
请观察合计一栏,通过计算,你有哪些发现?
发现:
合计一栏中,频数之和=总人数,频率之和=1.
现在,同学们思考一下,是不是任意一个频数分布表中频率之和都等于1呢?
下面,我们任意选取一个频数分布表进行求解.如表所示,如果设第一组的频数为x1,第二组的频数为x2,第三组的频数为x3,第n组的频数为xn,总个数为x,通过频率计算公式可以得到各组频率,则频率之和为:
因为是同分母分式相加减,根据法则:
分母不变,分子相加减,可以得到分母是x,分子是x1+x2+x3+...xn,又因为x1+x2+x3+...xn=x,
因此,任意一个频数分布表频率之和都等于1.
在频数分布表中,我们把各组的频数相加,如果合计的总频数与题目信息中的总数一致,就说明我们的数据分组符合不重不漏的原则.如果合计的总频率等于1,就说明:
我们的计算是正确的.因此,合计的总频数与合计的总频率,为数据分组整理的正确性提供了核算依据.
我们总结一下,列频数分布表的步骤:
第一步找出最大值,最小值,计算出极差;
第二步确定组距,利用极差和组距,计算组数;
在分组的时候需要注意以下几点:
以初二年级1班40名学生数学成绩频数分布表为例.
(1)最小组下限(50)要小于等于分数中最小数据(56).
最大组上限(不含100)大于分数中最大数据(98).
(2)若50分以下还有个别分数,第一段可以改为60分以下.
若数据中有100分,最后一段还可以改成90分及以上.
(3)和分段统计一样,每一组数据含下限,不含上限.
例如,50~60这组数据中包括50,不包括60,
而60属于60~70.
第三步划记,计算频数,频率.
通过以上步骤,完成频数分布表的制表工作.
有了频数分布表,就可以对其进行数据分析.
观察初二年级1班40名学生的数学成绩频数分布表.你能得到了哪些信息?
例如:
课堂开始老师提出的,哪个分数段的人数最多?
哪个分数段的人数最少?
你现在可以回答了吗?
观察上表,可以看出:
1.“80~90”这组的频数(15)最大,数据最集中;
由此可知,这次测验成绩在“80~90”分数段的人数最多.
“50~60”这组的频数(3)最小,数据分布最少.由此可知,成绩在“50~60”这个分数段的人数最少.
2.从“50~60”组到“80~90”组,随着组区间中数值增大,频数增加.
从“80~90”组到“90~100”组,随着组区间中数值增大,频数减少.
由此可知,这次测验的成绩呈现出“两头少中间多”的分布.
3.80分以上各组的频数之和是21,80分以下各组的频数之和是19,而平均分78.38在80分以下.
由此可知:
这次测验的成绩高于平均分的人数多,低于平均分的人数少,成绩偏高分布.
经过以上分析,我们发现,通过观察频数分布表,可以获得如下数据分布信息:
信息1:
数据在哪个组分布最多最集中,在哪个组分布最少,各占总数的比值是多少;
信息2:
各组数据分布的数量变化趋势是什么;
信息3:
测算中位数在哪个组,获得数据分布状态的信息;
信息4:
测算平均数,从中体会频数分布的作用.
下面,我们就利用所学的知识来解决问题.
引起学生思考,发现问题,启发学生自主寻找解决方法.
通过将活动任务层层推进,让学生经历自主学习,加强学生学习能力的自主建构活动.
在划计的过程中体现学生的主体地位.
对比数据分段统计系统梳理数据分组整理的步骤和方法,提高学生处理数据的能力.
在教师的引导下,以问题的形式提出问题,引导学生分析讨论.增强学生的观察能力,分析问题,解决问题的能力.
遵循知识生成的规律,总结归纳列频数分布表的步骤,为后面的学习打下基础.
回到课前问题,引起学生思考,启发学生自主寻找解决方法.
总结观察频数分布表,获取数据分布信息的方法,培养学生认真细致的学习态度和用数据说话的求实精神,体验数学与生活的联系,培养数据分析的数学核心素养.
例题
例1:
小刚将一个骰子随意抛了10次.出现的点数分别为6,3,1,2,3,4,3,5,3,4.在这10次中“4”出现的频数是_______,“3”出现的频率是_______.
解:
通过观察,我们发现“4”出现了两次,由此,我们得到“4”出现的频数是2,“3”出现的频率是多少呢?
要求“3”出现的频率,首先要知道“3”出现的频数,通过观察我们得到:
“3”出现了4次,因此“3”出现的频数是4,再根据频率等于频数与数据总个数的比值,求出“3”出现的频率,4除以10等于0.4.
例2:
某校八年级共有学生1000人,为了了解这些学生的视力情况,抽查了200名学生的视力数据进行整理.若数据在0.95~1.15这一小组的频率为0.3,则可估计该校八年级学生视力在0.95~1.15范围内的人数是多少呢?
通过题目信息,我们知道,这是一个抽样调查,我们可以用样本的频率0.3来估计总体1000名学生的情况.
由频率=频数÷
数据总个数,得到:
频数=数据总个数×
频率,估计出该校初二年级学生视力在“0.95~1.15”范围内的人数等于1000×
0.3=300人,所以初二年级学生视力在0.95~1.15范围内约有300人.
通过上面两道例题,巩固了频率和频数的概念和算法.
例3:
某校为了了解初二年级男生的身高情况,抽取一部分样本数据对总体的情况进行估计.为了使样本能够很好的代表总体,客观地反映问题,本题根据学号抽取了30名男生的身高数据如下:
初二年级男生30名男生的身高数据如下(单位:
cm):
155,158,161,162,164,165,170,171,167,164,
163,161,159,156,161,163,166,168,172,166,
164,160,156,160,165,168,174,175,165,178.
(1)列出频数分布表,表示分组整理的结果.
(2)试着对频数分布表中的数据进行分析.
(3)如果初二年级男生有300人,身高不低于165cm约有多少人?
(1)要列出频数分布表,表示分组整理的结果,首先,回顾一下列频数分布表的步骤和方法:
第一步:
找出最大值,最小值,计算极差;
最小值为155,最大值为178,
极差=最大值-最小值=23.
再看第二步:
确定组距,利用极差和组距,计算组数.
因为极差为23,组距为5,根据组数约等于极差除以组距,即:
23÷
5=4.6≈5组.根据以上分析,将30名男生的身高数据分成5组,又因为最小值155,最大值178.可得分组结果如下:
第一组:
155~160,
第二组:
160~165,
第三组:
165~170,
第四组:
170~175,
第五组:
175~180.
我们对第一行的身高数据:
155,158,161,162,164,165,170,171,167,164进行频数累计,按数据出现的次序画“正”字,155属于155~160这一组,我们在这一栏画“正”字的第一笔,158也属于155~160这一组,我们在这一栏画“正”字的第二笔,161属于160~165这一组,我们在这一栏画“正”字的第一笔,162也属于160~165这一组,我们在这一栏画“正”字的第二笔,以此类推,完成频数的累计工作.
在频数的累计的基础上,计算频数,再利用频数÷
总人数得到相应的频率,频率结果保留3位小数,得到初二年级30名男生身高频数分布表如下:
观察初二年级30名男生身高频数分布表,这时有的同学会发现频率之和为1.001,与前面得出的结论:
频率之和为1相矛盾,为什么出现这种结果呢?
155~160频率为0.1.6,160~165频率为0.3.6,165~170频率为0.2.6,170~175频率为0.1.3,175~180频率为0.0.6.
因为频率的数值采用是四舍五入法,这就是造成了频率之和大于1,平时我们习惯用小数表示频率.但是如果用分数来表示频率就有:
因此频率之和还是1.出现这种问题本质是精确值和近似值的区别.
第二问:
观察频数分布表,可以获得哪些数据分布信息?
要解决这个问题,我们来回顾一下,观察频数分布表,获取数据分布信息.
测算平均数,从中体会频数分布的作用.
现在,我们观察初二年级30名男生身高频数分布表,可以从中获取如下信息:
1.“160~165”这组的频数是11,频数最大,数据最集中;
“175~180”这组的频数是2,频数最小,数据分布最少.
2.从“155~160”组到“160~165”组,随着组区间中数值增大,频数增大;
从“165~170”组到“175~180”组,随着组区间中数值增大,频数减小.数据呈现“两头少中间多”的分布.
3.165cm以上各组的频数之和是14,165cm以下各组的频数之和是16,根据2020年颁布的1-18岁男孩身高标准八学生(14岁)男生身高标准是165.9cm.说明本年级学生的身高数据分布集中,离散程度低.
第三问:
如果初二年级男生有300人,身高不低于165cm约有多少人?
通过题目信息,我们知道这是一个抽样调查,我们可以用样本来估计整体,样本中不低于165的频率为
,用它来估计总体300名学生的情况.因为八年级男生有300人,身高不低于165cm的人数约有:
300×
=140人.
对比分析两个频数分布表的组距发现:
第一个表中各组的组距都是10,第二个表中各组的组距都是5,我们把这种分组的方法叫等距分组,在现实生活中还有一些不等距分组.请看例4:
请将表中的数据补充完整.
分析:
要求补全表中数据.首先,观察频数分布表可以得到,各组的组距不相等,因此属于不等距分组.在这里,同学们注意,要想补填表中数据,需要明确一点,无论是等距分组还是不等距分组,频数和频率的意义不变,因此算法也不变.
观察频数分布表发现:
6~17这一组频数是13,频率为0.0315,根据频率=频数÷
总数,得到总数=频数除以对应的频率.
总数:
13÷
0.0315≈413.
再看频数这一列,只有18~59这一组的频数不知,所以可以用总数-其他各组频数之和来求.
413-(14+13+110)=276.
当求出各组的频数之后,根据频率=频数÷
数据总个数求出各组频率.总结频率和频数计算方法,形成知识体系.计算结果如下:
0至5这一组的频率为14÷
413≈0.0339,
18至59这一组的频率为276÷
413≈0.6683,
60及以上的这一组的频率为110÷
413≈0.2663;
或1-(0.0339+0.0315+0.6683)来求.
小结:
通过计算发现:
频率,如果总数已知,只有一个组的频数未知,也可以用总人数—其他各组的频数之和来求.
频率可以由频率=频数÷
数据总个数来求,如果只有一个组的频率未知,也可以用1—其他各组的频率之和来求.
巩固频数,频率的概念和计算方法;
体会从样本数据的分布特征估计总体的分布,提升数据分析能力.
.
遵循知识生成的规律,回顾列频数分布表的步骤和方法,加强学生学习能力的自主建构活动.
巩固从频数分布表中观察数据分布的特征,完成知识的自主建构.
巩固频率的概念,让学生体会频率的统计意义.
补充不等距分组方法,完善知识体系.
总结频率和频数计算方法,以便更好地认识他们之间的关系.
总结
好了,到此为止,我们这节课的知识就已经学完了,下面来看课堂小结:
在本节课我们学习了列频数分布表的步骤:
组数:
极差÷
组距
在绘制频数分布直方表的过程中要注意:
组数要合适,频数,频率要分清.
另外,我们掌握了从频数分布表中获取信息的方法:
第一步看数据的分布情况;
第二步看数据分布的数量变化趋势;
第三步测算中位数在哪个组;
第四步测算平均数.
引导学生回顾本节课所学内容,帮助学生梳理知识,进行整理和提升.
作业
红星养猪场准备出售500头猪,从中随意抽出若干头一一过秤,数据经分组整理,由频数分布表表示如下,其中有许多数据漏填.
(1)请你补填表中漏填的数据.
(2)根据频数分布表回答:
随意抽出的这些猪的质量在什么范围内的头数最多,最集中,在什么范围内的头数最少?
(3)根据第二问的结论,估计这批出售的500头猪的质量,在什么范围内的头数最多,最集中,与这批出售猪总数的比值是多少?
巩固所学知识,体会数学来源于生活,又服务于生活.