高中数学442对数函数的图象和性质443不同函数增长的差异讲义新人教A版必修第一册Word文件下载.docx
《高中数学442对数函数的图象和性质443不同函数增长的差异讲义新人教A版必修第一册Word文件下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学442对数函数的图象和性质443不同函数增长的差异讲义新人教A版必修第一册Word文件下载.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
题型一 比较大小[教材P133例3]
例1 比较下列各题中两个值的大小：
（1）log23.4，log28.5；
（2）log0.31.8，log0.32.7；
（3）loga5.1，loga5.9（a＞0，且a≠1）．
【解析】
（1）log23.4和log28.5可看作函数y＝log2x的两个函数值．因为底数2＞1，对数函数y＝log2x是增函数，且3.4＜8.5，所以log23.4＜log28.5.
（2）log0.31.8和log0.32.7可看作函数y＝log0.3x的两个函数值．因为底数0.3＜1，对数函数y＝log0.3x是减函数，且1.8＜2.7，所以log0.31.8＞log0.32.7.
（3）loga5.1和loga5.9可看作函数y＝logax的两个函数值．对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论．
当a＞1时，因为函数y＝logax是增函数，且5.1＜5.9，所以loga5.1＜loga5.9；
当0＜a＜1时，因为函数y＝logax是减函数，且5.1＜5.9，所以loga5.1＞loga5.9.
构造对数函数，利用函数单调性比较大小．
教材反思
比较对数值大小时常用的三种方法
跟踪训练1
（1）设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则（ ）
A．a＞b＞cB．b＞a＞c
C．a＞c＞bD．c＞b＞a
（2）比较下列各组值的大小：
①log0.5，log0.6.②log1.51.6，log1.51.4.
③log0.57，log0.67.④log3π，log20.8.
【解析】
（1）a＝log2π＞1，b＝logπ＜0，c＝π－2∈（0,1），所以a＞c＞b.
（2）①因为函数y＝logx是减函数，且0.5＜0.6，所以log0.5＞log0.6.
②因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6＞1.4，所以log1.51.6＞log1.51.4.
③因为0＞log70.6＞log70.5，所以
＜
，即log0.67＜log0.57.
④因为log3π＞log31＝0，log20.8＜log21＝0，所以log3π＞log20.8.
【答案】
（1）C
（2）①log0.5＞log0.6.②log1.51.6＞log1.51.4.
③log0.67＜log0.57.④log3π＞log20.8.
（1）选择中间量0和1，比较大小．
（2）①②③利用对数函数的单调性比较大小．
④用中间量0比较大小．
题型二 解对数不等式
例2
（1）已知log0.72x＜log0.7（x－1），则x的取值范围为________；
（2）已知loga（x－1）≥loga（3－x）（a＞0，且a≠1），求x的取值范围．
【解析】
（1）∵函数y＝log0.7x在（0，＋∞）上为减函数，
∴由log0.72x＜log0.7（x－1）得
解得x＞1，
即x的取值范围是（1，＋∞）．
（2）loga（x－1）≥loga（3－x），
当a＞1时，有
解得2≤x＜3.
当0＜a＜1时，有
解得1＜x≤2.
综上可得，
当a＞1时，不等式loga（x－1）≥loga（3－x）中x的取值范围为[2,3）；
当0＜a＜1时，不等式loga（x－1）≥loga（3－x）（a＞0且a≠1）中x的取值范围是（1,2]．
【答案】
（1）（1，＋∞）
（2）答案见解析
（1）利用函数y＝log0.7x的单调性求解．
（2）分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论，解不等式．
方法归纳
两类对数不等式的解法
（1）形如logaf（x）＜logag（x）的不等式．
①当0＜a＜1时，可转化为f（x）＞g（x）＞0；
②当a＞1时，可转化为0＜f（x）＜g（x）．
（2）形如logaf（x）＜b的不等式可变形为logaf（x）＜b＝logaab.
①当0＜a＜1时，可转化为f（x）＞ab；
②当a＞1时，可转化为0＜f（x）＜ab.
跟踪训练2
（1）满足不等式log3x＜1的x的取值集合为________；
（2）根据下列各式，确定实数a的取值范围：
①log1.5（2a）＞log1.5（a－1）；
②log0.5（a＋1）＞log0.5（3－a）．
（1）因为log3x＜1＝log33，
所以x满足的条件为
即0＜x＜3.所以x的取值集合为{x|0＜x＜3}．
（2）①函数y＝log1.5x在（0，＋∞）上是增函数．
因为log1.5（2a）＞log1.5（a－1），所以
解得a＞1，
即实数a的取值范围是a＞1.
②函数y＝log0.5x在（0，＋∞）上是减函数，因为log0.5（a＋1）＞log0.5（3－a），
所以
解得－1＜a＜1.即实数a的取值范围是－1＜a＜1.
（1）{x|0＜x＜3}
（2）①（1，＋∞） ②（－1,1）
（1）log33＝1.
（2）由对数函数的单调性求解．
题型三 对数函数性质的综合应用
例3 已知函数f（x）＝loga（1＋x）＋loga（3－x）（a＞0且a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的最小值为－2，求实数a的值．
【解析】
（1）由题意得
解得－1＜x＜3，所以函数f（x）的定义域为（－1,3）．
（2）因为f（x）＝loga[（1＋x）（3－x）]
＝loga（－x2＋2x＋3）
＝loga[－（x－1）2＋4]，
若0＜a＜1，则当x＝1时，f（x）有最小值loga4，
所以loga4＝－2，a－2＝4，
又0＜a＜1，所以a＝
.
若a＞1，则当x＝1时，f（x）有最大值loga4，f（x）无最小值．
综上可知，a＝
真数大于0.
分0＜a＜1，a＞1两类讨论．
1．解答y＝logaf（x）型或y＝f（logax）型函数需注意的问题
①要注意变量的取值范围．例如，f（x）＝log2x，g（x）＝x2＋x，则f（g（x））＝log2（x2＋x）中需要g（x）＞0；
g（f（x））＝（log2x）2＋log2x中需要x＞0.
②判断y＝logaf（x）型或y＝f（logax）型函数的奇偶性，首先要注意函数中变量的范围，再利用奇偶性定义判断．
2．形如y＝logaf（x）的函数的单调性判断
首先要确保f（x）＞0，
当a＞1时，y＝logaf（x）的单调性在f（x）＞0的前提下与y＝f（x）的单调性一致．
当0＜a＜1时，y＝logaf（x）的单调性在f（x）＞0的前提下与y＝f（x）的单调性相反．
跟踪训练3 已知函数f（x）＝log2（1＋x2）．
求证：
（1）函数f（x）是偶函数；
（2）函数f（x）在区间（0，＋∞）上是增函数．
证明：
（1）函数f（x）的定义域是R，
f（－x）＝log2[1＋（－x）2]
＝log2（1＋x2）＝f（x），
所以函数f（x）是偶函数．
（2）设0＜x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝log2（1＋x
）－log2（1＋x
）＝log2
，
由于0＜x1＜x2，则0＜x
＜x
则0＜1＋x
＜1＋x
所以0＜
＜1.
又函数y＝log2x在（0，＋∞）上是增函数，
所以log2
＜0.
所以f（x1）＜f（x2）．
所以函数f（x）在区间（0，＋∞）上是增函数．
（1）函数是偶函数，
f（－x）＝f（x）．
（2）用定义法证明函数是增函数．
题型四 几类函数模型的增长差异
例4
（1）下列函数中，增长速度最快的是（ ）
A．y＝2018xB．y＝x2018
C．y＝log2018xD．y＝2018x
（2）四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
32
1024
32768
1.05×
106
3.36×
107
1.07×
109
y3
40
50
60
y4
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
则关于x呈指数型函数变化的变量是________．
【解析】
（1）比较幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知，指数函数增长速度最快．
（2）以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象（图略），可知变量y2关于x呈指数型函数变化．
【答案】
（1）A
（2）y2
（1）由题意，指数函数增长速度最快．
（2）观察变量y1，y2，y3，y4的变化情况→
→
跟踪训练4 分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1，＋∞）上的增长情况．
指数函数y＝2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，x2－x1＝2，y2－y1＝23－21＝6；
对数函数y＝log2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，x2－x1＝2，而y2－y1＝log23－log21≈1.5850.
由此可知，在区间[1，＋∞）上，指数函数y＝2x随着x的增长函数值的增长速度快，而对数函数y＝log2x的增长速度缓慢．
在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2x和y＝log2x的图象，从图象上可观察出函数的增长变化情况．如图：
课时作业24
一、选择题
1．设a＝log0.50.9，b＝log1.10.9，c＝1.10.9，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜c
C．b＜c＜aD．a＜c＜b
因为0＝log0.51＜a＝log0.50.9＜log0.50.5＝1，
b＝log1.10.9＜log1.11＝0，c＝1.10.9＞1.10＝1，
所以b＜a＜c，故选B.
B
2．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2＜x＜4时，有（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3
C．y1＞y3＞y2D．y2＞y3＞y1
在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象（图略），在区间（2,4）内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2＞y1＞y3.
3．若loga
＜1（a＞0，且a≠1），则实数a的取值范围是（ ）
A.
B.
∪（1，＋∞）
C．（1，＋∞）D．（0,1）
当a＞1时，loga
＜0＜1，成立．
当0＜a＜1时，y＝logax为减函数．
由loga
＜1＝logaa，得0＜a＜
综上所述，0＜a＜
或a＞1.
4．函数y＝log0.4（－x2＋3x＋4）的值域是（ ）
A．（0,2]B．[－2，＋∞）
C．（－∞，－2]D．[2，＋∞）
－x2＋3x＋4＝－
2＋
≤
，又－x2＋3x＋4＞0，则0＜－x2＋3x＋4≤
，函数y＝log0.4x为（0，＋∞）上的减函数，则y＝log0.4（－x2＋3x＋4）≥log0.4
＝－2，函数的值域为[－2，＋∞）．
二、填空题
5．函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）在[2,3]上的最大值为1，则a＝________.
当a＞1时，f（x）的最大值是f（3）＝1，
则loga3＝1，∴a＝3＞1.∴a＝3符合题意．
当0＜a＜1时，f（x）的最大值是f
（2）＝1.
则loga2＝1，∴a＝2＞1.∴a＝2不合题意，综上知a＝3.
3
6．已知函数f（x）＝log2
为奇函数，则实数a的值为________．
由奇函数得f（x）＝－f（－x），
log2
＝－log2
＝
，a2＝1，
因为a≠－1，
所以a＝1.
7．如果函数f（x）＝（3－a）x与g（x）＝logax的增减性相同，则实数a的取值范围是________．
若f（x），g（x）均为增函数，则
则1＜a＜2；
若f（x），g（x）均为减函数，则
无解．
（1,2）
三、解答题
8．比较下列各组对数值的大小：
（1）log1.6与log2.9；
（2）log21.7与log23.5；
（3）log3与log3；
（4）log0.3与log20.8.
（1）∵y＝logx在（0，＋∞）上单调递减，1.6＜2.9，
∴log1.6＞log2.9.
（2）∵y＝log2x在（0，＋∞）上单调递增，而1.7＜3.5，
∴log21.7＜log23.5.
（3）借助y＝logx及y＝logx的图象，如图所示．
在（1，＋∞）上，前者在后者的下方，
∴log3＜log3.
（4）由对数函数性质知，log0.3＞0，log20.8＜0，
∴log0.3＞log20.8.
9．已知loga（2a＋3）＜loga3a，求a的取值范围．
（1）当a＞1时，原不等式等价于
解得a＞3.
（2）当0＜a＜1时，原不等式等价于
解得0＜a＜1.
综上所述，a的范围是（0,1）∪（3，＋∞）．
[尖子生题库]
10．已知a＞0且a≠1，f（logax）＝
（1）求f（x）；
（2）判断f（x）的单调性和奇偶性；
（3）对于f（x），当x∈（－1,1）时，有f（1－m）＋f（1－2m）＜0，求m的取值范围．
（1）令t＝logax（t∈R），
则x＝at，且f（t）＝
所以f（x）＝
（ax－a－x）（x∈R）；
（2）因为f（－x）＝
（a－x－ax）
＝－f（x），
且x∈R，所以f（x）为奇函数．
当a＞1时，ax－a－x为增函数，
并且注意到
＞0，
所以这时f（x）为增函数；
当0＜a＜1时，类似可证f（x）为增函数．
所以f（x）在R上为增函数；
（3）因为f（1－m）＋f（1－2m）＜0，且f（x）为奇函数，
所以f（1－m）＜f（2m－1）．
因为f（x）在（－1,1）上为增函数，
解之，得
＜m＜1.
即m的取值范围是
升级会员 