二年级奥数Word文件下载.docx
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△=21
（1）2×
□+5×
△=27
（2）
（2）-
（1）得：
2×
△=27-21=6得△=6÷
2=3.
例5
小明买1支铅笔和2块橡皮共用去2角4分钱，又知1支铅笔比2块橡皮贵4分钱.问小明买的铅笔每支多少钱?
先列出下列等式：
1支铅笔+2块橡皮=24
（1）1支铅笔-2块橡皮=4
（2）
（1）+
（2）：
2支铅笔=281支铅笔=14（分）=1角4分.
例6
在一次数学考试中，小玲和小军的成绩加起来是195分，小玲和小方的成绩加起来是198分，小军和小方的成绩加起来是193分.问他们三人各得多少分?
列出下列等式：
小玲+小军=195
（1）小玲+小方=198
（2）小军+小方=193（3）
将三个等式的左边和右边各项分别相加，得：
2×
（小玲+小军+小方）=586 即小玲+小军+小方=293（4）
由（4）式-
（1）式得小方=293-195=98
由（4）式-
（2）式得小军=293-198=95
由（4）式-（3）式得小玲=293-193=100
可见小方得98分，小军得95分，小玲得100分.
4、计算下列各题：
1.4×
135×
252.38×
25×
63.124×
254.132476×
111
5.35×
53+47×
356.53×
46+71×
54+82×
547.①11×
11②111×
③1111×
1111④11111×
11111⑤111111111×
111111111
8.①12×
14②13×
17③15×
17④17×
18⑤19×
15⑥16×
12
9.①11×
11②12×
12③13×
13④14×
14⑤15×
16
⑦17×
17⑧18×
18⑨19×
19
10.计算下列各题，并牢记答案，以备后用.
①15×
15②25×
25③35×
35④45×
45⑤55×
55⑥65×
65
⑦75×
75⑧85×
85⑨95×
95
11.求1+2+3+…+（n-1）+n之和，并牢记结果.
12.求下列各题之和.把四道题联系起来看，你能发现具有规律性的东西吗?
①1+2+3+…+10②1+2+3+…+100
③1+2+3+…+1000④1+2+3+…+10000
13.求下表中所有数的和.你能想出多少种不同的计算方法?
习题解答
1.解：
4×
25=（4×
25）×
135=100×
135=13500.
2.解：
38×
6=19×
3=19×
（2×
2）×
100×
3=1900×
3=5700.
3.解：
124×
25=（124÷
4）×
（25×
4）=31×
100=3100.
4.解：
132476×
111=132476×
（100+10+1）=13247600+1324760+132476=14704836.
或用错位相加的方法：
5.解：
35×
35=35×
（53+47）=35×
100=3500.
6.解：
53×
54=（54-1）×
54=54×
46-46+71×
54
=54×
（46+71+82）-46=54×
199-46=54×
（200-1）-46=54×
200-54-46=10800-100=10700.
7.解：
①11×
11=121②111×
111=12321③1111×
1111=1234321
④11111×
11111=123454321⑤111111111×
111111111=12345678987654321.
8.解：
①12×
14=12×
（10+4）=12×
10+12×
4=12×
10+（10+2）×
4
=12×
10+10×
4+2×
4多次运用乘法分配
=（12+4）×
10+2×
4律（或提公因数）
=160+8=168
②13×
17=13×
（10+7）
=13×
10+13×
7多次运用乘法分配
=13×
10+（10+3）×
7律（或提公因数）
7+3×
7=（13+7）×
10+3×
7=200+21=221
发现规律：
求十几乘以十几的积的速算方法是：
用一个数加上另一个数的个位数，乘以10（即接着添个“0”），再加上它们个位数字的积.
用这个方法计算下列各题：
③15×
17=（15+7）×
10+5×
7=220+35=255
④17×
18=（17+8）×
10+7×
8=250+56=306
⑤19×
15=240+45=285⑥16×
12=180+12=192.
9.解：
作为十几乘以十几的特例，以下各小题的结果请牢牢记住：
10.解：
①15×
15注意矩形框中
=15×
（10+5）式子
10+15×
5
10+（10+5）×
5+5×
=（15+5）×
=
=225
②25×
25=25×
（20+5）=25×
20+25×
5=25×
20+（20+5）×
=25×
20+20×
5（25+5）×
20+5×
5注意矩形框中
=
式子=625
几十五的自乘积就是十位数字和十位数字加1的积，再在其后写上25.
如15×
15的积就是1×
2再写上25得225.
25×
25的积就是2×
3再写上25得625.
用这个方法写出其他各题的答案如下：
③35×
35=3×
100+25=1225④45×
45=4×
5×
100+25=2025
⑤55×
55=5×
6×
100+25=3025⑥65×
65=6×
7×
100+25=4225
75=7×
8×
100+25=5625⑧85×
85=8×
9×
100+25=7225
⑨95×
95=9×
10×
100+25=9025
要牢记以上方法和结果.要知道，孤立的一道题不好记，但有规律的一整套的东西反而容易记住!
11.解：
有的同学问：
“n是几?
”
老师告诉你：
“n就是末项，你说是几就是几”.用头尾相加法求，自然数列的前n项之和.
12.解：
请注意规律性的东西.
①1+2+3+…+10=（1+10）×
10÷
2=55
②1+2+3+…+100=（1+100）×
100÷
2=5050
③1+2+3+…+1000=（1+1000）×
1000÷
2=500500
④1+2+3+…+10000=（1+10000）×
10000÷
2=50005000.
13.解：
方法1：
仔细观察不难发现把每列（或每行）的10个数相加之和按顺序排列起来构成一个等差数列，它就是：
55，65，75，85，95，105，115，125，135，145
∴总和=（55+145）×
2=1000.
方法2：
首先各行都按第一行计数，得10行10列数字方阵的所有数之和为55×
10=550.但第二行比第一行多10，第三行比第一行多20，…，第十行比第一行多90.总计共多：
10+20+30+40+50+60+70+80+90=450.
所以原题数字方阵的所有数相加之和为：
550+450=1000.
方法3：
仔细观察可发现，若以数字10所在的对角线为分界线，将该数字方阵折叠之后，它就变成下述的三角形阵（多么巧妙!
）
20202020202020202010
202020202020202010
2020202020202010
20202020202010
202020202010
2020202010
20202010
202010
2010
10
总和=20×
（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）-100 =20×
55-100=1000.
方法4：
找规律，先从简单情况开始
可见原来数字方阵的所有数的和=10×
10=1000.看!
方法多么简捷;
数学多么微妙!
=（2×
5）×
（4×
54（利用了交换
=10×
54律和结合律）
=54000
54×
125×
16×
625
（125×
8）×
（625×
16）（利用了
1000×
10000交换律和结合律）
=540000000
64×
125将64分解为2、4、8
=5×
125的连乘积是关键一
=（5×
（8×
125）步.
1000
=1000000
37×
48×
=37×
（3×
16）×
625注意37×
3=111
=（37×
3）×
（16×
625）
=111×
10000
=1110000
27×
25+13×
25逆用乘法分配律，
=（27+13）×
25这样做叫提公因数
=40×
25
=1000
例7
123×
23+123+123×
76注意123=123×
1;
再
=123×
23+123×
1+123×
76提公因数123
（23×
1+76）
100
=12300
例8
81+991×
9把81改写（叫分解因
=9×
9+991×
9数）为9×
9是为了下
=（9+991）×
9一步提出公因数9
=1000×
9
=9000
例9
111×
99
（100-1）
100-111
=11100-111
=10989
例10
23×
57-48×
23+23
=23×
（57-48+1）
10
=230
例11
求1+2+3+…+24+25的和.
此题是求自然数列前25项的和.
方法1：
利用上一讲得出的公式
和=（首项+末项）×
项数÷
2
1+2+3+…+24+25
=（1+25）×
25÷
=26×
=325
把两个和式头尾相加（注意此法多么巧妙!
想一想，这种头尾相加的巧妙求和方法和前面的“拼补法”有联系吗?
例12
求8+16+24+32+…+792+800的和.
可先提公因数
8+16+24+32+…+792+800
=8×
（1+2+3+4+…+99+100）
（1+100）×
5050
=40400
例13
某剧院有25排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，问这个剧院一共有多少个座位?
由题意可知，若把剧院座位数按第1排、第2排、第3排、…、第25排的顺序写出来，必是一个等差数列.
那么第1排有多少个座位呢?
因为：
第2排比第1排多2个座位，2=2×
1
第3排就比第1排多4个座位，4=2×
第4排就比第1排多6个座位，6=2×
3
这样，第25排就比第1排多48个座位，
48=2×
24.
所以第1排的座位数是：
70-48=22.
再按等差数列求和公式计算剧院的总座位数：
和=（22+70）×
=92×
=1150.
形和数的密切关系，在古代就被人们注意到了.古希腊人发现的形数就是非常有趣的例子.
例1
最初的数和最简的图相对应.
这是古希腊人的观点，他们说一切几何图形都是由数产生的.
我国在春秋战国时代就有了“洛图”（见下图）.图中也是用“圆点”表示数，而且还区分了偶数和奇数，偶数用实心点表示，奇数用空心点表示.你能把这张图用自然数写出来吗?
见下图所示，这个图又叫九宫图.
古希腊数学家毕达哥拉斯发现了“形数”的奥秘.比如他把1，3，6，10，15，…叫做三角形数.因为用圆点按这些数可以堆垒成三角形，见下图.
毕达哥拉斯还从圆点的堆垒规律，发现每一个三角形数，都可以写成从1开始的n个自然数之和，最大的自然数就是三角形底边圆点的个数.
第一个数：
1=1
第二个数：
3=1+2
第三个数：
6=1+2+3
第四个数：
10=1+2+3+4
第五个数：
15=1+2+3+4+5
…
第n个数：
1+2+3+4+5+…+n
指定的三角形数.比如第100个三角形数是：
毕达哥拉斯还发现了四角形数，见下图.因为用圆点按四角形数可以堆垒成正方形，因此它们最受
毕达哥拉斯及其弟子推崇.
1=12=1
4=22=1+3
9=32=1+3+5
16=42=1+3+5+7
25=52=1+3+5+7+9
n2=1+3+5+9+…+（2n-1）.
四角形数（又叫正方形数）可以表示成自然数的平方，也可以表示成从1开始的几个连续奇数之和.奇数的个数就等于正方形的一条边上的点数.
类似地，还有四面体数见下图.
仔细观察可发现，四面体的每一层的圆点个数都是三角形数.因此四面体数可由几个三角形数相加得到：
4=1+3
10=1+3+6
20=1+3+6+10
35=1+3+6+10+15.
五面体数，见下图.
仔细观察可以发现，五面体的每一层的圆点个数都是四角形数，因此五面体数可由几个四角形数相加得到：
5=1+4
14=1+4+9
30=1+4+9+16
55=1+4+9+16+25.
按不同的方法对图中的点进行数数与计数，可以得出一系列等式，进而可猜想到一个重要的公式.
由此可以使人体会到数与形之间的耐人导味的微妙关系.
先算空心点，再算实心点：
22+2×
2+1.
把点图看作一个整体来算32.
因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：
2+1=32.
32+2×
3+1.
把点图看成一个整体来算：
42.
3+1=42.
42+2×
4+1.
把点图看成一个整体来算52.
4+1=52.
把上面的几个等式连起来看，进一步联想下去，可以猜到一个一般的公式：
22+2×
2+1=32
33+2×
3+1=42
42+2×
4+1=52
n2+2×
n+1=（n+1）2.
利用这个公式，也可用于速算与巧算.
如：
92+2×
9+1=（9+1）2=102=100
992+2×
99+1=（99+1）2
=1002=10000.
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