参考答案 第7章数列与数学归纳法Word文档下载推荐.docx

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有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，即能分别求和，然后再合并.

5.裂项相消法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的某些项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.

常见的裂项公式有：

（1）=-

（2）=（-）

（3）=

（4）=（-）

（5）C=C-C（6）n·

n!

=（n+1）!

-n!

（7）an=Sn-Sn-1（n≥2）

（8）=（-）

（9）=（-）

如果数列的通项公式可转化为f（n+1）-f（n）形式，常采用裂项求和的方法.特别地，当数列形如{}，其中{an}是等差数列，可尝试采用此法.

使用裂项法，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项;

你是否注意到由于数列{an}中每一项an均裂成一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必是一样多的，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点.

实质上，正负项相消是此法的根源和目的.典例对对碰题型一公式法求和

例设数列1，（1+2），…，（1+2+22+…+2n-1），…的前n项和为Sn，则Sn的值为（）

A.2nB.2n-n

C.2n+1-nD.2n+1-n-2

解析解法一：

特殊值法.

由原数列知S1=1，S2=4.

在选项中，满足S1=1，S2=4的只有答案D.

解法二：

看通项an=1+2+22+…+2n-1=2n-1，

∴Sn=-n=2n+1-n-2.故选D.

答案D

点评解法一对解答复杂的选择题有简化计算的作用，解法二利用通项an求Sn，为求和的通法.

变式迁移1数列{an}的通项an=n2-n，求前n项和Sn.

解析Sn=（12-1）+（22-2）+…+（n2-n）

=（12+22+…+n2）-（1+2+…+n）

=-

=.

题型二倒序相加法求和例设f（x）=，求f（-5）+f（-4）+…+f（0）+f

（1）+…+f（5）+f（6）的值.

解析∵f（x）=，

∴f（x）+f（1-x）=+

=+

==.

设S=f（-5）+f（-4）+…+f（0）+f

（1）+…+f（5）+f（6），

则S=f（6）+f（5）+…+f

（1）+f（0）+…+f（-4）+f（-5）.

∴2S=[f（-5）+f（6）]+[f（-4）+f（5）]+…+[f（6）+f（-5）].

∴原式={[f（-5）+f（6）]+[f（-4）+f（5）]+…+[f（0）+f

（1）]+…+[f（6）+f（-5）]}=×

12×

=3.

点评对等差数列倒序相加求和时利用了an+a1=an-1+a2=…，对于f（x）=，由于f（x）+f（1-x）=，也可产生以上效果.可见类似这种可以将若干项和转化为某项积的求和方法实际上是抓住了数列（或解析式）的特点，利用“整体”运算简化求和的一种方法.

变式迁移2数列{an}是公差为d，a0=d的等差数列，求Sn=a0C+a1C+…+anC.（n∈N*）.

解析Sn=dC+2dC+3dC+…+ndC，①

Sn=ndC+（n-1）dC+（n-2）dC+…+dC，②

①+②得

2Sn=（n+1）d（C+C+C+…+C）

=2n（n+1）d.

∴Sn=（n+1）2n-1d.

题型三错位相减法求和例求和Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1（x≠1）.

解析∵Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1，①

∴xSn=x+2x2+…+（n-1）xn-1+nxn，②

①-②得

（1-x）Sn

=1+x+x2+…+xn-1-nxn

=-nxn（注：

当x=0时仍成立）

=，

∴Sn=.变式迁移3求和Sn=+++…+.

解析∵Sn=+++…+，①

∴Sn=+++…+，②

Sn=+++…+-

=+-

=+1--

=-，

∴Sn=3-.

题型四分组求和法例数列{an}的前n项和Sn=2an-1，数列{bn}满足：

b1=3，bn+1=an+bn（n∈N*）.

（1）求证：

数列{an}为等比数列;

（2）求数列{bn}的前n项和Tn.

解析

（1）证明：

由Sn=2an-1，n∈N*，

∴Sn+1=2an+1-1.两式相减得

an+1=2an+1-2an.

∴an+1=2an，n∈N*.由an=1，知an≠0，

∴=2.

由定义知{an}是首项为1，公比为2的等比数列.

（2）由

（1）知，an=2n-1，bn+1=2n-1+bn，

∴bn+1-bn=2n-1.

∴b2-b1=20，b3-b2=21，b4-b3=22，…

bn-bn-1=2n-2，等式左右两边相加得

bn=b1+20+21+…+2n-2=3+=2n-1+2.

∴Tn=（20+2）+（21+2）+…+（2n-1+2）

=（20+21+…+2n-1）+2n=2n+2n-1.变式迁移4

（1）求数列，，，，…的前n项和Sn;

（2）求数列9,99,999,9999，…的前n项和Sn.

解析

（1）将各项变形，使其呈现出某种特点，

如=1+，=2+，=3+，….

Sn=+1-.

（2）∵an=10n-1，

∴Sn=.

题型五裂项法求和例已知数列{an}：

1，，，…，，…求它的前n项和.

分析我们先看通项an==，然后将分裂成2（-），求和.

解析∵an==2（-）.

∴Sn=a1+a2+…+an

=2[（1-）+（-）+（-）+…+（-）]

=2（1-）=.变式迁移5已知数列{an}的通项公式an=，求前n项和Sn.

解析∵an=（-）

=[（1-）+（-）+（-）+…+（-）]

=（1-）

=

题型六与数列求和有关的综合题例设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c，n∈N*，其中a，c为实数，且c≠0.

（1）求数列{an}的通项公式;

（2）设a=，c=，bn=n（1-an），n∈N*，求数列{bn}的前n项和Sn;

（3）若0

解析

（1）解法一∵an+1-1=c（an-1），

∴当a≠1时，{an-1}是首项为a-1，公比为c的等比数列.

∴an-1=（a-1）-1，

即an=（a-1）-1+1.

当a=1时，an=1仍满足上式，

∴数列{an}的通项公式为an=（a-1）-1+1（n∈N*）.

解法二由题设得：

当n≥2时，an-1=c（an-1-1）=c2（an-2-1）=…=-1（a1-1）=（a-1）-1，

∴an=（a-1）-1+1，

n=1时，a1=a也满足上式.

所以{an}的通项公式为an=（a-1）-1+1（n∈N*）.

（2）由

（1）得bn=n（1-a）-1=n（）n.

Sn=b1+b2+…+bn=+2（）2+…+n（）n，①

Sn=（）2+2（）3+…+（n-1）（）n+n（）n+1，②

由①-②得

Sn=+（）2+…+（）n-n（）n+1，

∴Sn=1++（）2+…+（）n-1-n（）n=2[1-（）n]-n（）n，

∴Sn=2-（2+n）（）n.

（3）证明：

由

（1）知an=（a-1）-1+1.

若0<

（a-1）-1+1<

1，

则0<

（1-a）-1<

1.

∵0

由-1>

0对任意n∈N*成立，知c>

0.

下证c≤1，用反证法.

证法一：

假设c>

1，由函数f（x）=cx的函数图像知，当n趋于无穷大时，-1趋于无穷大.

∴-1<

不能对n∈N*恒成立，导致矛盾，

∴c≤1，

∴0

证法二：

1，∵-1<

，∴logn-1

即n-1

∵a，c为常数，∴（*）式对n∈N*不能恒成立，导致矛盾.

∴c≤1.

变式迁移6已知函数g（x）=（+2）2，（x≥0），数列{an}满足a1=1，an+1=g（an）（n∈N*）.

（2）记Tn=++…+（n≥2），求证：

Tn+>

.

解析

（1）an+1=g（an）=（+2）2，即-=2（n∈N*）.

∴数列{}是以=1为首项，2为公差的等差数列.

∴=1+2（n-1）=2n-1，

即an=（2n-1）2（n∈N*）.

（2）证明：

∵=>

=（-）（n≥2），

∴Tn=++…+>

1+[（-）+…+（-）]=-.

∴Tn+>

.方法路路通1.求一般数列的前n项和，无通法可循，需掌握求某些特殊数列前n项和的方法，达到触类旁通.对等比数列的求和，勿忘对公比q讨论.如果已知数列{an}、{bn}分别为等差、等比数列，求{an·

bn}的前n项和Sn，则可用“错位相减法”——写出Sn的表达式，两边乘公比得另一等式，然后两式相减即可.

2.变换通项就是对通项公式进行一些有目的处理，像裂项就是一种常用方法：

通过裂项而转化为等差、等比或自然数次方幂来求和.

3.两相邻项的代数和为常数时可用“并项法”，此法往往要分n为奇数、偶数两种情况进行讨论.另外数列求和还可用周期性求和，数学归纳法求和等.

4.求Sn实质上是求{Sn}的通项公式，应注意对其涵义的理解.

5.数列求和时注意以下几点

（1）直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程.

（2）注意观察数列特点和规律，在分析数列通项的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和.

正误题题辨例已知两个等差数列{an}、{bn}的前n项和为Sn、Tn，且=（n∈N*），求.

错解=，

可设Sn=（7n+1）k，Tn=（4n+27）k，k≠0，

则a11=S11-S10

=（7×

11+1）k-（7×

10+1）k=7k，

b11=T11-T10

=（4×

11+27）k-（4×

10+27）k=4k，

∴==.

点击错解问题出在

“∵=，

可设Sn=（7n+1）k，Tn=（4n+27）k”上，

这种设法虽然可以保证“=”成立，

但因等差数列的前n项和Sn（当公差d≠0时）不是n的一次函数，而是n的二次函数，

即S=n2+（a1-）n（d≠0），

错解设法把Sn、Tn变成了n的一次函数，

从而改变了公式的本质特征导致错误，

或许你会问

“为什么不设为Sn=（7n+1）（kn+c），Tn=（4n+27）（kn+c）呢?

”，

只要你注意到表达式中没有常数项就行了，

看来，深刻理解公式的结构特征为我们正确使用公式提供了有力的保证.