高考数学理必刷试题+参考答案+评分标准 3Word文档格式.docx
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B.不存在实数m,使得有零点
C.对任意的实数m,有零点
D.对任意实数m,零点个数为有限个
10.已知数列,满足:
,,,则
A.,B.,
C.,D.,
二、填空题(本大题共7小题)
11.______;
______.
12.
“赵爽弦图”巧妙地利用了面积关系证明了勾股定理,已知大正方形面积为9,小正方形面积为4,则每个直角三角形的面积是______;
每个直角三角形的周长是______.
13.若的展开式中所有项的系数之和为256,则___
;
含项的系数是___
用数字作答.
14.已知,,且,则xy的最大值为______,的最小值为______.
15.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教每地1人,其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有______种.
16.倾斜角为的直线经过双曲线的左焦点,且与双曲线的左、右支分别交于A,B两点,若线段AB的垂直平分线经过右焦点,则此双曲线的离心率为______.
17.已知平面向量,,且,若平面向量满足,则的最大值______.
三、解答题(本大题共5小题)
18.设a,b,c分别是的三个内角A,B,C的对边,已知,,且.
求角A的大小;
当A为锐角时,求函数的取值范围.
19.
如图,在四棱锥中,,,.
证明:
求PC与平面PAB所成角的正弦值.
20.设正数数列的前n项和为,已知.
求数列的通项公式;
若数列满足,求数列的前n项和.
21.已知椭圆C:
上任意一点到椭圆左、右顶点的斜率之积为.
求椭圆C的离心率;
若直线与椭圆C相交于A、B两点,若的面积为,求椭圆C的方程.
22.已知函数.
求在点处的切线方程;
若,证明:
在上恒成立;
若方程有两个实数根,,且,证明:
.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解:
,,0,1,,
9,3,,
故选:
A.
推导出,由此能求出结果.
本题考查集合的求法,考查子集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
2.【答案】D
i为虚数单位,
此复数的实部为,虚部为
,虚部大于实部,故复数的对应点不可能位于第四象限,
D.
复数分子、分母同乘分母的共轭复数,虚数单位i的幂运算性质,化简复数到最简形式为、的形式,
分析实部和虚部的大小关系.
本题考查复数的实部和虚部的定义,两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质.
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合等比数列的性质是解决本题的关键.
根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的性质进行判断即可.
【解答】
解:
在等比数列中,若,即,
,,
即,则,即成立,
若等比数列1,,4,,16,
满足,但不成立,
故“”是“”的充分不必要条件,
A
4.【答案】D
【解析】
根据实数x,y满足约束条件作出可行域,
如图所示阴影部分.
作出直线l:
,将直线l向上平移至过点时,取得最小值:
5.
则的取值范围是.
作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,结合数形结合即可得到结论.
本题主要考查线性规划的应用.本题先正确的作出不等式组表示的平面区域,再结合目标函数的几何意义进行解答是解决本题的关键.
5.【答案】B
由是空间中的一个平面,l,m,n是三条不同的直线,知:
在A中,若,,,,
则l与相交、平行或,故A错误;
在B中,若,,,
则由线面垂直的判定定理得,故B正确;
在C中,若,,,则,故C错误;
在D中,若,,,则l与m相交、平行或异面,故D错误.
B.
在A中,l与相交、平行或;
在B中,由线面垂直的判定定理得;
在C中,;
在D中,l与m相交、平行或异面.
本题考查命题真假的判断,考查空间中线线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
6.【答案】A
由三视图可得:
该几何是一个以侧视图为底面的四棱锥,
其底面面积,
高,
故棱锥的体积,
由已知可得:
该几何是一个以侧视图为底面的四棱锥,求出棱锥的底面面积和高,代入棱锥体积公式,可得答案.
本题是基础题,考查几何体的三视图,几何体的表面积和体积的求法,准确判断几何体的形状是解题的关键.
7.【答案】B
根据题意,由的图象:
为偶函数,并且当时,,
据此分析选项:
对于A,,,即函数为奇函数,不符合题意;
对于B,,,即函数为偶函数,当时,,符合题意;
对于C,,,即函数为奇函数,不符合题意;
对于D,,,即函数为偶函数,但时,,不符合题意;
根据题意,由的图象分析可得为偶函数,并且当时,,据此分析选项,综合即可得答案.
本题考查函数的图象分析,涉及函数奇偶性的判断分析,属于基础题.
8.【答案】C
由分布列可知:
,
,解得,,
故D.
C.
首先分析题目已知的分布列,利用期望求出a,b,再根据方差公式直接求得方差即可.
此题主要考查离散型随机变量的期望与方差的求法,对于分布列的理解与应用,是基本知识的考查.
9.【答案】C
根据题意,函数,
当时,,,恒成立,
即是函数的零点,
故对任意的实数m,有零点,
根据题意,由函数的解析式可得时,,,恒成立,即是函数的零点,据此分析可得答案.
本题考查函数零点的定义,涉及三角函数的性质,属于基础题.
10.【答案】A
列,满足:
,,,
所以,
则.
由于,
所以.
首先利用数列的通项公式的应用和关系式的放缩求出,进一步利用平方法求出.
本题考查的知识要点:
数列的通项公式的应用,放缩法的应用,关系式的变换的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.
11.【答案】7
0
,.
故答案为:
7,0.
进行对数和分数指数幂的运算即可.
考查对数和分数指数幂的运算.
12.【答案】
设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,
由于大正方形面积为9,小正方形面积为4,
可得小正方形的边长为:
大正方形的边长为,
联立,解得,负值舍去,可得,
可得每个直角三角形的面积,
每个直角三角形的周长是.
设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,由题意可知:
中间小正方形的边长为:
,大正方形的边长为,联立解得a,b的值,即可求解.
本题考查勾股定理,三角形的面积公式在解三角形中的应用,解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式,属于基础题.
13.【答案】4;
108
本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于中档题.
令,可得的展开式中所有项的系数之和,再根据系数和为256,求得n;
根据,展开求得含项的系数.
令,可得的展开式中所有项的系数之和为,则.
含项的系数是,
故答案为4;
108.
14.【答案】
由,可得:
则,
当且仅当时,取得等号,
即xy的最大值为,
,当且仅当时取等号,
故的最小值为,
直接利用关系式的恒等变换和均值不等式求出结果.
本题考查基本不等式的运用:
求最值,注意等号成立的条件,考查运算能力,属于基础题.
15.【答案】600
某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教每地1人,
其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,可以分情况讨论,
甲、丙同去,则乙不去,有种选法;
甲、丙同不去,乙去,有种选法;
甲、乙、丙都不去,有种选法,
共有种不同的选派方案.
600.
题目对于元素有限制,注意先安排有限制条件的元素,甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,可以分情况讨论,甲、丙同去,则乙不去;
甲、丙同不去,乙去;
甲、乙、丙都不去,根据分类计数原理得到结果.
应用分类加法计数原理,首先确定分类标准,其次满足完成这件事的任何一种方法必属某一类,并且分别属于不同的两类的方法都是不同的方法,即做到不重不漏.
16.【答案】
如图为的垂直平分线,
可得,
且,
可得,,
由双曲线的定义可得,,
即有,
即有,,
由,可得,
可得,即,
所以双曲线的离心率为:
由垂直平分线性质定理可得,运用解直角三角形和双曲线的定义,求得,结合勾股定理,可得a,c的关系,进而得到a,b的关系,然后求双曲线的离心率.
本题考查双曲线的方程和性质,主要是渐近线方程的求法,考查垂直平分线的性质和解直角三角形,注意运用双曲线的定义,考查运算能力,属于中档题.
17.【答案】
由,得,,两式相加得,
又,所以,即,当且仅当与反向时等号成立,而,
当且仅当时等号成立,,当且仅当与反向,时等号成立,则的最大值为.
首先对两式,平方相加,然后利用三角不等式得,基本不等式得,从而求出的最大值.
本题考查了平面向量的模,基本不等式、三角不等式的应用,是中档题.
18.【答案】解:
,由正弦定理得:
,且,
或;
当A为锐角时,,则,
所求函数的取值范围.
【解析】根据即可得出,根据正弦定理即可得出,从而求出,这样即可求出A的大小;
据条件可得出,从而得出,并可得出,可求出的范围,进而求出的范围,从而求出原函数的取值范围.
考查向量垂直的充要条件,向量数量积的坐标运算,正弦定理,以及不等式的性质,两角和的正弦公式,以及三角函数的诱导公式.
19.【答案】解:
Ⅰ证明:
因为,,
所以≌,所以.
取BD的中点E,连接AE,PE,所以,.
所以面PAE.
又面PAE,所以.
Ⅱ解:
在中,根据余弦定理,得:
又因为,所以,,
所以,即.
设点C到平面PAB的距离为h,PC与平面PAB所成角为,
因为,即,
所以PC与平面PAB所成角的正弦值为.
【解析】Ⅰ推导出≌,取BD的中点E,连接AE,PE,推导出,从而面由此能证明.
Ⅱ由余弦定理,求出推导出设点C到平面PAB的距离为h,PC与平面PAB所成角为,由,求出,由此能求出PC与平面PAB所成角的正弦值.
本题考查线线垂直的证明,考查线面角的正弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
20.【答案】解:
Ⅰ当时,,
解得.
根据已知条件转换为,
当时,
得,
即,
由于正数数列,
即常数
故数列是首项为1,公差为2的等差数列.
Ⅱ.
令前n项和为.
得.
整理得.
【解析】直接利用数列的递推关系式的应用,求出数列的通项公式.
利用的结论,进一步利用分组法的应用和裂项相消法的应用求出数列的和.
数列的通项公式的求法及应用,分组法和裂项相消法在求和中的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.
21.【答案】解:
由题意,左右顶点的坐标分别为、,
,即,
又点P在椭圆上,,即
,则,
又,,
所以椭圆的离心率;
设,,
由得:
又点O到直线的距离
的面积为,
,则
椭圆C的方程为.
【解析】写出左右顶点的坐标,计算出斜率之积,再结合椭圆的方程及a,b,c之间的关系即可得到离心率e的值;
联立直线与椭圆的方程,利用弦长公式求出,再求出原点到直线的距离,根据面积即可求出椭圆方程.
本题考查椭圆中三角形面积问题,属于中档题.
22.【答案】解:
函数,由
由
所以切线方程为,
当时,,所以.
故只需证,
构造,
又
在上单调递增,且
,知在上单调递增,
故因此,得证.
由知在点处的切线方程为.
0'
/>
所以
在上单调递减,在上单调递增.
,所以在上单调递减,在上单调递增.
设方程的根
,由在R上单调递减,所以
另一方面,在点处的切线方程为.
构造.
,所在上单调递减,在上单调递增.
,由在R上单调递增,
,得证.
【解析】由,,可得利用点斜式可得切线方程.
根据,当时,,所以故“在上恒成立”等价于“在上恒成立”,构造函数,只需证明最小值大于等于0即可.
由知在处的切线方程,令,求得导数和单调性,可得,解方程得其根
,运用函数的单调性,所以
,;
另一方面,在点处的切线方程为,构造,同理可得,解方程得其根
根据不等式的基本性质即可得出结论.
本题考查了导数的综合运用:
求切线的斜率切线方程,求函数单调性和最值,考查分类讨论思想方法和构造函数法,考查化简运算能力和推理能力,属于难题.