基于ABAQUS的悬臂梁的弹塑性弯曲分析Word文件下载.docx

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其中为弯曲后梁轴的曲率，规定梁的挠度w以与y同向为正，则在小变形

情况有

-d2w

（2）

dx2

当弯矩M由零逐渐增大时，起初整个截面都处于弹性状态，这是

Hooke定

律给出

y

E

Ey

（3）

再由平衡方程，可得到

M

EI

（4）

其中，

I

1

3

是截面的惯性矩。

将

M/EI带入（）式，可知

bh

12

My/I

显然，最外层纤维的应力值最大。

当M增大时，最外层纤维首先达到屈服，

即

yh/2

M/1bh2

Y

（5）

6

这时的弯矩是整个截面处于弹性状态所能承受的最大弯矩，

即为弹性极限弯

矩，它等于

Me1

Ybh2

（6）

对应的曲率可由式（4）求得

eMe/EI2Y/Eh

（7）

当M

Me时，梁的外层纤维的应变继续增大，但应力值保持为Y不再增加，

塑性区将逐渐向内扩大。

弹塑性的交界面距中性面为ye

h（0

1）。

2

在弹性区：

0y

Y；

ye，

ye

h

在塑性区：

yey2，

在弹塑性区的交界处，Y，因而E（h）Y，由此可求出此时的曲率

和弯矩分别为

2Y

e/

（8）

Eh

Me

（9）

从这两个式子消去

，可得M

Me时的弯矩-曲率关系为

e

（10）

或

（12）

当M继续增加使得

0时，截面全部进入塑性状态。

这时M

3Me，而

。

当梁的曲率无限增大时，弯矩趋向一极限值，此极限值即为塑性极限弯

矩。

可得矩形截面梁的塑性极限弯矩为

Mp

（13）

4

采用以下量纲为一的量：

mM/Me，/e

（14）

矩形截面梁的弯矩-曲率关系可以写成

m,m

（15）

1/

2m,1m

1.5

2.2梁在横向载荷作用下的弹塑性弯曲

考虑端点受集中力F作用的矩形截面悬臂梁，若l

h（本例中l

10满足

此要求），则梁中的剪应力可以忽略，平截面假定近似成立，于是就可以利用弹

塑性纯弯曲的分析结果来研究横向载荷作用下的弹塑性弯曲问题。

本例中，显然根部弯矩最大，因而根部截面的最外层纤维（图1中的A点

与B点）应力的绝对值最大。

当F增加时，A、B点将进入塑性，这时的载荷是梁的弹性极限载荷

FeMe/lYbh2/6l

（16）

__

当FFe时，弯矩仍沿梁轴方向呈线性分布。

设在xx处有F（lx）Me，

则xl（Me/F）。

在xx范围内的各截面，都有部分区域进入塑性，且由式（9）

可知各截面上弹塑性区域的交界线决定于

（32

）21

[3

2F（lx）]

（17）

Fel

其中已用到MFlx。

式（17）证明，弹塑性区域的交界线是两段抛

物线。

当F

F

3F

bh2

l时，梁的根部（

x=0

）处的弯矩达到塑性极限弯

2e

/4

矩，即M

FYl

3Me,这时梁内塑性区如图

中的阴影部分所示，且塑性

区域分界线连接成一条抛物线，梁的根部形成塑性铰。

这时，由于根部的曲率可

以任意增长，悬臂梁丧失了进一步承载的能力。

因此，

FYMp/l即为悬臂梁的

极限载荷，悬臂梁不能承受超过FY的载荷。

图4受集中力作用的悬臂梁

在小挠度情形下，利用y'

'

的关系可以求得梁的挠度。

具体来说，在悬臂

梁受端部集中载荷的问题中，以MFlx带入式（15）可得

m

p（1

）,1

y'

p

（18）

2p3p,0

2m

其中，m

M/Me，f

F/Fe

，

x/l，y'

d2y2，利用边界条件y（0）y'

（0）0

dx

和在1-

1处的关于y和y'

的连续性条件，可对式（

18）积分两次，得到梁端

挠度y（l）的表达式

e[5（3f）32p]/f2

（19）

其中e是f=1（即F

Fe）时的

，可按材料力学方法求出为

el2/3

（20）

当f

3（即F

FY

3Fe）时，式（19）给出相应的梁端挠度为

20

（21）

9

代入题目所给数据可得到

Fe

Ybh2

6.33106N

6l

2Fe

9.50

10N

Mel2

2Yl

3EI

12.7mm

3Eh

28.2mm

3.有限元分析

3.1有限元模型

此问题属于平面应力问题，采用二维有限元模型，选取平面图形作为分析模

型，其长度l=10m，高度h=1m。

3.2材料属性定义

圆筒材料为钢材，弹性模量200Gpa，屈服强度380Mpa，泊松比0.3，截面

属性选用实体、匀质，采用理想弹塑性本构关系。

3.3分析步的定义

由于是非线性分析，Step中设置分析过程和输出要求选择静态分析，最小分

析步取0.05，最大分析步取0.1，输出要求采用默认输出。

3.4载荷施加和边界条件

布置载荷边界条件和位移边界条件，将模型左端固支，右上端顶点施加集中

力载荷。

3.5网格划分

按照四节点四边形平面应力单元CPS4I（如图5）划分网格，定义不同大小

位移载荷进行分析计算，分析采用Mises准则。

图5悬臂梁的有限元网格

3.6结果及分析

3.6.1弹性极限载荷和塑性载荷压力的确定

当取F6.76106N时，等效塑性应变分布如图6所示，结构的等效塑性应

变均为0，可以看出系统处于弹性状态并未产生塑性应变，此时悬臂梁处于弹性

阶段。

图6F6.76106N等效塑性应变云图

当取F

6.77106N时，等效塑性应变分布如图7所示，最大等效塑性应变

均为3.811e-6，最小等效塑性应变为0，可以看出系统部分处于弹性状态，部分

处于塑性阶段，此时结构处于弹塑性阶段。

图7F6.77106N等效塑性应变云图

9.84106N时，应力分布如图8所示，可以看出根部还没有形成塑

性铰，即根部还没有完全进入塑性，也就是说系统部分处于弹性状态，部分处于

塑性阶段，此时结构仍处于弹塑性阶段。

图8

F9.84

106N应力云图

9.85106N时，应力分布如图

9所示，可以看出根部形成塑性铰，

悬臂梁不能再承受超过F9.85

106N的载荷。

图9F9.85106N应力云图

综上分析可知，有限元模拟所得的弹性极限载荷在6.76

106~6.77106N之

间，塑性极限载荷在9.84106~9.85106N之间。

与理论解相比，有限元所得弹

6.77-6.33

性极限载荷的误差大约为6.9%，有限元所得塑性极限压力的误差大

约为9.85-9.50

6.33

3.6%，与理论解相比，误差较小。

不仅如此，图

9表明，弹塑

性区域的交界线是两段抛物线，与塑性力学解式（17）相同。

3.6.2悬臂梁弹塑性弯曲过程分析

对于这种悬臂梁在端部受集中力的问题，在ABAQUS中施加位移载荷模拟，

取位移30mm，可以得到载荷作用点的载荷-位移曲线，如图10所示，

图10有限元所得的载荷-位移曲线

将有限元所得的载荷-位移曲线与式（19）相比可知，有限元中悬臂梁的变形与理论分析结果基本一致，刚开始都是弹性阶段，随着载荷增大，进入弹塑性阶段，直到载荷增大到塑性极限载荷，根部形成塑性铰，悬臂梁丧失进一步承载的能力。

由上图也可看出，Fe大约为6.77106N，FY大约为9.85106N，同时可以

得到e大约为13.6mm，p大约为30.0mm，与理论解相比，弹性极限位移误差

大约为13.612.7

7.1%，塑性极限位移误差大约为

30.0-28.2

6.4%，位移误

12.7

28.2

差相对于载荷误差较大。

原因可能有：

一是随着位移增加，可能会进入弹塑性大挠度情形；

二是模型所采用的单元不独有弯曲应力，即不满足平截面假设。

4.总结

首先，本文通过理论分析理想弹塑性材料悬臂梁受集中力作用的弹塑性弯

曲，得到悬臂梁的弹塑性弯曲变形的一般规律和塑性区形状，确定了弹性极限载

荷Fe和塑性极限载荷FY；

其次，利用ABAQUS模拟了该悬臂梁受集中载荷作用

的变形过程，得出弹性极限载荷Fe、塑性极限载荷FY、塑性区形状和载荷-位移

曲线，与理论分析的结果进行对比，结果相差不大，验证了有限元分析悬臂梁弹

塑性弯曲的准确性。