勾股定理Word格式文档下载.docx

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[重要的数学思想和方法]

转化思想、方程思想、数形结合思想

[专题训练]

专题一直接运用勾股定理求边长

1、一只雄鹰在空中水平飞行，某时刻恰好飞到一个人的头顶正上方120米处，过了40秒钟雄鹰距离这个人的头顶200米，如果按照这个速度，它每小时能飞行多少千米？

2、甲、乙两船上午11时同时从港口A出发，甲船以每小时20海里的速度向东北方向航行，乙船以每小时15海里的速度向东南方向航行，求下午1时两船之间的距离。

3、在直角三角形中，∠ACB=90°

，CD⊥AB于D，CA=CB，AD=2，求△ABC的面积。

4、如图所示，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形面积依次是S1S2S3S4，求S1+S2+S3+S4的值。

5、如图所示，若在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长至少需要多少米？

若楼梯宽2米，每平方米地毯需30元，那么这块地毯需花多少钱？

6、如图，以直角三角形三边为直径的半圆的面积之间有什么关系？

7、有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少要飞行多少米？

8、如图，一架长2.5m的梯子，斜靠在一面竖直的墙上，这时梯子底端离墙0.7m，为了安装壁灯，梯子顶端需离地面2m，求此时梯子底端应再向远离墙的方向拉多远？

9、如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BC=12，CF=5，求△DEF的面积。

[感悟与反思]

将实际问题抽象成几何图形，在图中找出或构造直角三角形，利用勾股定理求线段的长度是解答此类问题的关键。

你还有哪些感悟与反思呢？

专题二方程思想在勾股定理中的应用

9、已知一个等腰三角形的周长是16cm，底边上的高是4cm，求此三角形的面积。

10、一棵高32米的大树在一次强烈的地震中断裂，树顶落在离树根16米处，研究人员要查看断痕，需要从树底开始爬多高？

11、在rt△ABC中，BD平分∠ABC，把rt△bcd沿bd折叠，C点落在ab边上E点处，若AC=6，BC=8，求AD。

12、如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10KM，现在要在铁路AB上建设一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A多少km处？

13、八年级学生准备测量学校后边一段河水的深度，他们把一根竹竿插到离岸边1米远的水底，只见竹竿高出水面1尺，把竹竿的顶端拉向岸边，竹竿和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度和竹竿的长度分别为多少尺？

14、已知AD、AE分别是BC边上的高和中线，AB=9CM，AC=7CM，BC=8CM，求DE的长。

当直角三角形中不具备已知两边求第三边的条件时，通常需要设未知数，建立方程求解，勾股定理是常用来建立方程的一个十分重要的等量关系。

专题三三图形的面积验证勾股定理

15、请你用四个全等的直角三角形拼图验证勾股定理。

16、请你用两个全等的直角三角形拼图验证勾股定理。

所谓用图形的面积验证勾股定理的思想方法和操作过程是什么？

专题四利用勾股定理证明含平方的式子问题

17、已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（图1）时，推证PA2+PC2=PB2+PD2，请你探究：

当点P分别在图

（2）、图（3）中的位置时，PA2，PB2，PC2和PD2又有怎样的数量关系？

请写出探究结论并证明。

18、如图所示，在rt△ABC中，∠C=90°

，D是BC的中点，DE⊥AB于E，求证：

AE2=AC2+BE2

19、△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°

，如图

（1），根据勾股定理，则a2+b2=c2，若ABC不是直角三角形，如图

（2）和图（3），请你类比勾股定理，试猜想a2+b2和c2的关系，并证明你的结论。

专题五分类讨论

20、在直角三角形ABC中，a=5，c=13，求△ABC的面积。

21、有一个长方体，其长、宽、高分别为6、5、3，一只蚂蚁在下底面A点处在上底面G点处有一块食物，求蚂蚁沿长方体表面从A到G的最短路程。

在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，求△ABC的周长。

专题六最值问题

22、如图，A、B是笔直公路l同侧的两个村庄，这两个村庄到公路的距离分别是300m和500m，AB2=400000m2，在公路上建一车站，使两村到车站的距离之和最小。

23、如图正方形ABCD中，边长为4，BE=1，P是线段AC上一动点，当P在AC上运动时，PB+PE的最小值是多少？

24、如图在锐角△ABC中，AB2=32，∠BAC=45°

，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，求BM+MN的最小值。

25、如图，已知在四边形ABCD中，AC、BC，将四边形ABCD沿AE对折，使CE、BE在同一条直线上，那么点B落在点F上，已知FC：

CB=7：

9，AB=12，求折痕AE的平方。

26、如图，正方体ABCD-AˊBˊCˊDˊ的棱长为2，P为棱AAˊ之中点，Q为棱BBˊ上任意一点。

（1）请问Q在什么位置时，PQ+QC最小；

（2）若x=PQ+QC，求x的最小值；

27、如图，一个圆锥的侧面展开是扇形OBC，∠BOC=120°

，OA=4，从点A出发到达OB中点P，以这个运动过程中的最短路线长为边长的正方形面积是多少？

专题七勾股定理的逆定理的应用

28、已知△ABC中，AB=12，AC=5，BC=13，求BC边上的高。

29、如图已知AB=5，AC=3，边BC上的中线AD=2，求BC的值。

30、已知三角形的三边长分别是m2-1，2m，m2+1（m为大于1的自然数），试判断这个三角形的形状。

31、已知△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，请你判断△ABC的形状，说明理由。

32、若△ABC的三边长a、b、c，且a3-a2b+ab2-ac2+bc2-b3=0，试判断△ABC的形状。

专题八赛题精练

33、已知a、b是互质的正整数，且a+b，3a，a+4b恰为一直角三角形的三条边长，求a+b的值。

34、若直角三角形的两条直角边的为定值4，求它斜边的最短长度。

35、如图所示，△ABC是直角三角形，∠ABC=15°

，∠BAC=90°

，以BC为斜边作等腰直角三角形BDC，若BC=2

，求△BEC的面积。

是否存在这样的直角三角形，它的两条直角边是整数但它的周长与面积在数值上相等？

右存在，求出它的直角边长，若不存在，说明理由。

36、如图若P为△ABC内任意一点，作PD⊥BC于D，PE⊥CA于E，PF⊥AB于F，求证AF2+BD2+CE2=AE2+CD2+BF2。

37、如图所示，P为△ABC边BC的一点，且PC=2PB，已知∠ABC=45°

，∠APC=60°

，求∠ACB的度数。

38、如图所示的方格纸中，点A、B、C都在方格纸线的交点，则∠ABC=（）

A、120°

B、135°

C、150°

D、165°