（理）（2016·四川卷，8）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px（p>0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM斜率的最大值为（ C ）
A．B．
C．D．1
[解析] 设P（，t），则F（，0），则由|PM|＝2|MF|，得M（，），当t＝0时，直线OM的斜率k＝0，当t≠0时，直线OM的斜率k＝＝，所以|k|＝≤＝，当且仅当＝时取等号，于是直线OM的斜率的最大值为，故选C．
7．（2017·河南洛阳统考）已知F1，F2分别是双曲线3x2－y2＝3a2（a>0）的左、右焦点，P是抛物线y2＝8ax与双曲线的一个交点，若|PF1|＋|PF2|＝12，则抛物线的准线方程为__x＝－2__.
[解析] 将双曲线方程化为标准方程得－＝1，抛物线的准线为x＝－2a，联立⇒x＝3a，即点P的横坐标为3a.而由⇒|PF2|＝6－a，又易知F2为抛物线的焦点，∴|PF2|＝3a＋2a＝6－a，得a＝1，∴抛物线的准线方程为x＝－2．
8．（2017·南昌一模）已知抛物线C：
x2＝4y的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点．设直线l是抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，则·的最小值为__－14__.
[解析] 由题意知F（0,1），所以过点F且斜率为1的直线方程为y＝x＋1，代入x2＝4y，整理得x2－4x－4＝0，解得x＝2±2，所以可取M（2－2，3－2），N（2＋2，3＋2），因为l∥MN，所以可设l的方程为y＝x＋m，代入x2＝4y，整理得x2－4x－4m＝0，又直线l与抛物线相切，所以Δ＝（－4）2－4（－4m）＝0，所以m＝－1，l的方程为y＝x－1.设点P（x，x－1），则＝（2－x－2，4－x－2），＝（2－x＋2，4－x＋2），·＝（2－x）2－8＋（4－x）2－8＝2x2－12x＋4＝2（x－3）2－14≥－14．
9．（2017·石家庄质检）设抛物线C：
y2＝4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，M为抛物线C的准线与x轴的交点，若tan∠AMB＝2，则|AB|＝__8__.
[解析] 依题意作出图象如图所示，
设l：
x＝my＋1，A（x1，y1），B（x2，y2），由得，
y2－4my－4＝0，∴y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，x1x2＝·＝1，x1＋x2＝m（y1＋y2）＋2＝4m2＋2．
∵tan∠AMB＝tan（∠AMF＋∠BMF），
∴＝2，
＝2，
y1－y2＝4m2，
∴4＝4m2，m2＝1，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝4m2＋4＝8．
10．（文）已知圆M：
x2＋（y－2）2＝1，直线l：
y＝－1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切．设动圆圆心P的轨迹为E.
（1）求E的方程；
（2）若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且·＝－16，求证：
直线AB恒过定点．
[解析]
（1）⊙O的圆心M（0,2），半径r＝1，设动圆圆心P（x，y），由条件知|PM|－1等于P到l的距离，
∴|PM|等于P到直线y＝－2的距离，∴P点轨迹是以M（0,2）为焦点，y＝－2为准线的抛物线．
方程为x2＝8y．
（2）设直线AB：
y＝kx＋b，A（x1，y1），B（x2，y2）
将直线AB的方程代入到x2＝8y中得x2－8kx－8b＝0，所以x1＋x2＝8k，x1x2＝－8b，
又因为·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋＝－8b＋b2＝－16⇒b＝4
所以直线BC恒过定点（0,4）．
（理）（2017·青岛检测）已知点F（1,0），直线l：
x＝－1，动点P到点F的距离等于它到直线l的距离.
（1）试判断点P的轨迹C的形状，并写出其方程；
（2）是否存在过N（4,2）的直线m，使得直线m被截得的弦AB恰好被点N所平分？
[解析]
（1）因为P到点F的距离等于它到直线l的距离，所以点P的轨迹C是以F为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，其方程为y2＝4x．
（2）解法一：
假设存在满足题设的直线m.设直线m与轨迹C交于A（x1，y1）、B（x2，y2），
依题意，得
①当直线m的斜率不存在时，直线m方程为x＝4，
由得y＝±4与y1＋y2＝4矛盾，不合题意．
②当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y－2＝k（x－4），联立方程组
消去y，得k2x2－（8k2－4k＋4）x＋（2－4k）2＝0，（*）
∴x1＋x2＝＝8，解得k＝1．
此时，方程（*）为x2－8x＋4＝0，其判别式大于零，
∴存在满足题设的直线m．
且直线m的方程为：
y－2＝x－4，即x－y－2＝0．
解法二：
假设存在满足题设的直线m.设直线m与轨迹C交于A（x1，y1）、B（x2，y2），
依题意，得
易判断直线m不可能垂直于y轴，
∴设直线m的方程为x－4＝a（y－2），
联立方程组
消去x，得y2－4ay＋8a－16＝0，
∵Δ＝16（a－1）2＋48>0，
∴直线与轨迹C必相交．
又y1＋y2＝4a＝4，∴a＝1．
∴存在满足题设的直线m，
且直线m的方程为：
y－2＝x－4，即x－y－2＝0．
解法三：
假设存在满足题设的直线m.设直线m与轨迹C交于A（x1，y1），B（x2，y2），
依题意，得
∵A（x1，y1），B（x2，y2）在轨迹C上，
∴有由①－②得，y－y＝4（x1－x2）．
当x1＝x2时，弦AB的中点不是N，不合题意，
∴＝＝1，即直线AB的斜率k＝1，
注意到点N在曲线C的张口内（或：
经检验，直线m与轨迹C相交），
∴存在满足题设的直线m，且直线m的方程为：
y－2＝x－4，即x－y－2＝0．
B组
1．如图，椭圆E：
＋＝1（a>b>0）经过点A（0，－1），且离心率为.
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）经过点（1,1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：
直线AP与AQ的斜率之和为2．
[解析] （Ⅰ）由题意知＝，b＝1，结合a2＝b2＋c2，解得a＝，所以，椭圆的方程为＋y2＝1．
（Ⅱ）证明：
由题设知，直线PQ的方程为y＝k（x－1）＋1（k≠2），代入＋y2＝1，得（1＋2k2）x2－4k（k－1）x＋2k（k－2）＝0．
由已知Δ＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x2≠0，
则x1＋x2＝，x1x2＝．
从而直线AP与AQ的斜率之和
kAP＋kAQ＝＋
＝＋
＝2k＋（2－k）
＝2k＋（2－k）×
＝2k＋（2－k）×
＝2k－2（k－1）
＝2．
2．设椭圆E：
＋＝1的焦点在x轴上.
（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；
（2）设F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：
当a变化时，点P在某条定直线上．
[解析]
（1）因为椭圆E的焦点在x轴上，焦距为1，
所以2a2－1＝，解得a2＝．
故椭圆E的方程为＋＝1．
（2）设P（x0，y0），F1（－c,0），F2（c,0），
其中c＝.由题设知x0≠c，
则直线F1P的斜率kF1P＝．
直线F2P的斜率kF2P＝．
故直线F2P的方程为y＝（x－c）．
当x＝0时，y＝，即点Q坐标为（0，）．
因此，直线F1Q的斜率为kF1Q＝．
由于F1P⊥F1Q，所以kF1P·kF1Q＝·＝－1．
化简得y＝x（2a2－1）．①
将①代入椭圆E的方程，由于点P（x0，y0）在第一象限，解得x0＝a2，y0＝1－a2，即点P在定直线x＋y＝1上．
3．（文）设点P是曲线C：
x2＝2py（p>0）上的动点，点P到点（0,1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为.
（1）求曲线C的方程；
（2）若点P的横坐标为1，过P作斜率为k（k≠0）的直线交C于点Q，
升级会员 