最新审定苏教版九年级上册数学第一章图形与证明讲学稿名校教案Word文件下载.docx
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（1）∵∠BAD＝∠CAD
∴＿＿＿＿，＿＿＿＿。
（2）∵BD＝CD
（3）∵AD⊥BC
5、思考与探索
“等腰三角形的两个底角相等”
（1）写出它的逆命题：
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（2）画出图形，写出已知、求证，并进行证明。
6、通过上面的证明，我们又得到了等腰三角形的判定定理：
思考：
1、在△ABC中，∠A=1100，∠C=350，则△ABC是三角形。
2、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=360，D是AC上一点，若∠BDC=720，则图形中共有（）个等腰三角形。
A、1B、2C、3D、4
3有一个三角形，它的内角分别是200，400，1200，怎样把这个三角形分成两个等腰三角形？
分成的两个等腰三角形的内角分别是多少？
三、典例分析
1、已知：
如图，AB=AC，BD⊥AC，垂足为点D。
求证：
∠DBC=
∠A。
2、已知：
如图
（1）∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC。
AB＝AC
（1）
（2）
2、在上图
（2）中，如果AB＝AC，AD∥BC，那么AD平分∠EAC吗？
如果结论成立，你能证明这个结论吗？
思：
如图，△ABC中∠ABC与∠ACB的平分线交于点D．过点D作EF∥BC交AB于点E、交AC于点F．
EF＝BE+CF．
四练习巩固
（一）基础练习
1、如果等腰三角形有两边长为3和7，那么周长为＿＿＿＿＿。
2、如果等腰三角形有一个角等于30°
，那么另两个角为＿＿＿＿＿。
3、如果等腰三角形的周长为12，一边长为5，那么另两边长分别为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
4如果等腰三角形有一个角等于120°
，那么另两个角为＿＿＿＿。
（二）提高练习
1、如图，在等边△ABC中，AF=BD=CE，求证：
△DEF也是等边三角形。
五拓展提高
1△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC延长线上，且BD=CE，DE交BC于P，求证：
DP=EP.
2如图村庄A、B位于一条小河的两侧；
若河岸l1，l2彼此平行，现在要架设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近.
六小结与作业1、在本节课中，我们用基本事实又证明了哪些定理。
2、要等腰三角形中，底边上的中线，底边上的高，顶角的平分线是常用的辅助线，能过画辅助线，把一个等腰三角形分成一对全等的三角形。
3、实际上，我们以前曾学习过很多图形的知识，（如：
直角三角形全等，平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等）。
对于这些图形，我们通过动手操作也得到了它们的性质和判定，在今后的学习中，我们将进一步证明它们的正确性
评价与反思
1、2直角三角形全等的判定
（一）
教学目标
1．使学生能熟练地应用判定一般三角形全等的方法判定两个直角三角形全等．
2．使学生掌握斜边、直角边公理及其应用．
教学重点和难点
斜边、直角边公理的应用．
1、直角三角形全等的条件有哪些？
2、你认为具备这样条件的两个直角三角形一定全等吗？
为什么？
我们知道：
斜边和一对锐角相等的两个直角三角形，可以根据“AAS”判定它们全等；
一对直角边和一对锐角相等的两个直角三角形，可以根据“ASA”或“AAS”判定它们全等；
两对直角边相等的两个直角三角形，可以根据“SAS”判定它们全等．
如果两个直角三角形的斜边和一对直角边相等（边边角），这两个三角形是否可能全等呢？
如图1
（1），在△ABC与△A＇B＇C＇中，若AB＝A＇B＇，AC＝A＇C＇，∠C＝∠C＇＝Rt∠，这时Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇是否全等？
研究这个问题，我们先做一个实验：
把Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇拼合在一起（教师演示）如图1
（2），因为∠ACB＝∠A＇C＇B＇＝Rt∠，所以B、C（C＇）、B＇三点在一条直线上，因此，△ABB＇是一个等腰三角形，可以知道∠B＝∠B＇．根据AAS公理可知Rt△A＇B＇C＇≌Rt△ABC．
下面，我们再用画图的方法来验证：
画一个Rt△ABC，使∠C＝90°
，直角边AC的长为2cm，斜边AB的长为3cm．
（5）把△ABC剪下，两位同学比较一下，看看两人剪下的Rt△是否可以重合．
2．上面的实验和操作，说明“斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等”．这就是判定直角三角形的“斜边、直角边”公理（简称HL）．
三、例题教学：
1、如图，在△ABC中，已知D是BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，DE＝DF.
AB=AC
2、如图：
如果∠BAC=
，那么BC=
AB，你能证明这个结论吗？
四、小结
由于直角三角形是特殊三角形，因而不仅可以应用判定一般三角形全等的四种方法，还可以应用“斜边、直角边”公理判定两个直角三角形全等．“HL”只能用于判定直角三角形全等，不能用于判定一般三角形全等．所以判定两个直角三角形全等的方法有五种：
“SAS、ASA”、“AAS”、“SSS”“HL”．
五、练习巩固
（一）、基础练习
1具有下列条件的Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇（其中∠C＝∠C＇＝Rt∠）是否全等？
如果全等，在（）里填写理由；
如果不全等，在（）里打“×
”：
（1）AC＝A＇C＇，∠A＝∠A＇………………………（）
（2）AC＝A＇C＇，BC＝B＇C＇……………………（）
（3）∠A＝∠A＇，∠B＝∠B＇…………………………（）
（4）AB＝A＇B＇，∠B＝∠B＇…………………………（）
（5）AC＝A＇C＇，AB＝A＇B＇………………………（）
2如图3，已知∠ACB＝∠BDA＝Rt∠，若要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件？
把它们分别写出来（有几种不同的方法就写几种）：
3．已知，如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，则下列说法
正确的有几个（）
（1）AD平分∠EDF；
（2）△EBD≌△FCD；
（3）BD=CD；
（4）AD⊥BC．
（A）1个（B）2个
（C）3个（D）4个
1、P10、第1题、第2题
2．已知：
如图，在△ABC中，∠ACB=90°
，CD⊥AB于D，∠A=30°
BD=1，.求AB，AD
3过等腰直角三角形ABC的直角顶点C任画一条直线L，分别作AD⊥L，BE⊥L，垂足分别为D、E．
（a）试画出本题的图形．（提示：
有两种不同的图形）
（b）在你所画的两种图形中分别说明△ACD≌△CBE的理由．
（c）若已知：
AD=4cm，BE=3cm，求DE的长．
六布置作业
1、2直角三角形全等的判定
（二）
1、能证明角平分线的性质定理和逆定理、三角形三条角平分线交与一点；
2、从简单的数学例子中体会反证法的含义；
3、逐步学会分析的思考方法，发展演绎推理能力。
。
角平分线的性质定理和逆定理、
逐步学会分析的思考方法，发展演绎推理能力
一、复习引入：
1．角平分线的定义：
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线
叫这个角的平分线．
表达方式：
如图∵ OC是∠AOB的平分线，
∴ ∠1=∠2（或∠AOB=2∠1=2∠2或∠1=∠2=
∠AOB）．
2．角平分线的画法：
你能用什么方法作出∠AOB的平分线OC？
（可由学生任选方法画出OC）．
可以用尺规作图，可以用折纸的方法，
二、探索活动
一、角平分线性质定理：
角平分线上的点到这个角两边的距离相等.
【要点】条件：
1.点在角平分线上，2.点到两边的距离，结论：
3.距离相等.
【符号语言】如图1∵点P在∠AOB的平分线上，①
PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，②
∴PD=PE.③
【作用】证线段相等.
【辅助线添加提示】存在角平分线上的点，
作此点到角两边的垂线段.
【错误警示】1.学生在具体应用角平分线性质时，在做题步骤中往往出现类似漏写，
A
2.对定理的图形语言认识不足.
D
角平分线上的点到角两边的距离是指这个
P
C
点到角两边的垂线段的长度，而不是过此
点与角平分线垂直（或仅仅相交）的直线
O
与角两边相交所得的线段的长度.
B
E
学生往往出现如下错误：
图2
如图2∵点P在∠AOB的平分线上，
∴PD=PE.
二、角平分线判定定理：
在一个角的内部，并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
1.点在角的内部，
2.点到角两边的距离相等，
结论：
3.点在角的平分线上.
【解释】到角两边距离相等的点所在的射线有4条，如图3，图中的虚线即是，所以要点1不可缺少.
【符号语言】如图1，
∵PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，
∴PD=PE，
∴点P在∠AOB的平分线上.
【作用】：
证点在角平分线上，证角相等.
三、例题教学
例1、“如果一个点到角的两边的距离不相等，那么这个点不在这个角的平分线上。
”你认为这个结论正确吗？
如果正确，你能证明它吗？
例2、如图，△ABC的角平分线AD、BE相交与点O。
（1）点O到△ABC各边的距离相等吗？
点O在∠C的平分线上吗？
即证明：
三角形的三条角平分线交于一点
三角形两条外角平分线会交于一点吗？
三条呢？
与上题中的交点重合吗？
四、分层练习
1.如果用“反证法”证明“等腰三角形的底角是锐角”，那么提出的假设应该是
2.△ABC中，∠C=90°
，AD为角平分线，BC=32，BD∶DC=9∶7,则点D到AB的距离为（）
A.18cmB.16cmC.14cmD.12cm
3．在△ABC内部取一点P使得点P到△ABC的三边距离相等，则点P应是△ABC的哪三条线交点．（）
（A）高（B）角平分线（C）中线（D）边的垂直平分
4.如下图所示，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有：
（）
A.一处B.两处C.三处D.四处
5.如图，在△ABC中，∠C=90°
，AC=BC，AD是∠BAC平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB=10，求△DBE的周长。
（二）能力提高
1已知（如右图）BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E，BD、CE交点F，CF=BF，求证：
点F在∠A的平分线上.
2如图，已知∠B=∠C=90º
，M是BC中点，MN⊥AD，
若∠1＝∠2，求证∠3=∠4
你还有什么发现？
五小结与作业
平行四边形的性质
教学目标：
1、理解平行四边形定义,能根据定义探究平行四边形性质。
2、了解平行四边形在生活中的应用,能根据平行四边形的性质解决简单的实际问题.
3、经历探索平行四边形性质的过程，培养学生的动手能力、观察能力及推理能力。
情感目标：
在探究的过程中发展学生的探究意识、创新精神和合作交流的习惯，培养学生用数学的意识和严谨的科学态度。
教学重点难点：
平行四边形性质的探究和应用。
一．复习提问：
（1）什么样的四边形是平行四边形？
四边形与平行四边形的关系是：
（2）平行四边形的性质：
知识回顾：
①___________________________________________叫平行四边形
②平行四边形性质有__________________________________
__________________________________
③平行四边形对称性——————————————————————
二例题教学：
例1．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB＝15cm，AD＝12cm，AC⊥BC，求小路BC，CD，OC的长，并算出绿地的面积．
例2：
已知：
如图，
ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：
BE=DF．
例3 已知：
如图（a），
ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F．
OE＝OF，AE=CF，BE=DF．
【引申】若例1中的条件都不变，将EF转动到图b的位置，那么例1的结论是否成立？
若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图c和图d），例1的结论是否成立，说明你的理由．
三练习巩固
1.在□ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是（）
A.1∶2∶3∶4B.1∶2∶2∶1
C.1∶1∶2∶2D.2∶1∶2∶1
2.如图4.4-11，EF过□ABCD的对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若AB＝4，BC＝5，OE＝1.5，那么四边形EFCD的周长是（）
A.16B.14C.12D.10
3如图所示，在
ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，∠ABC的平分线BF交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF=________cm．
4．已知平行四边形的周长为28cm，相邻两边的差为4cm，求两边的长．
5
中，
的平分线分
为长是
和
的两线段则
的
6在□ABCD中，已知AC、BD相交于点O，两条对角线的和为30cm，△OCD的周长为20cm，求AB
四材料阅读
在笔直的铁轨上，夹在两根铁轨之间的枕木是否一样长？
夹在两条平行线之间的平行线段相等。
如图，直线a∥b，AB∥CD，则AB=CD
要注意：
必须有两个平行，即夹两条平行线段的两条直线平行，被夹的两条线段平行，缺一不可，如图中的几种情况都不可以推出
．
2平行线间的距离
从推论可以知道，如果两条直线平行，那么从一条直线上所有各点到另一条直线的距离相等，如下图．
我们把两条平行线中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做平行线的距离．
注意：
（1）两相交直线无距离可言．
（2）连结两点间的线段的长度叫两点间的距离，从直线外一点到一条直线的垂线段的长，叫点到直线的距离．两条平行线中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离，一定要注意这些概念之间的区别与联系．
1、平行四边形对边相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分2、是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心。
3、夹在两条平行线之间的平行线段相等。
平行线之间的距离处处相等。
1、3矩形性质
1.使学生能应用矩形定义、性质等知识，解决有关问题,进一步培养学生逻辑推理能力。
2.能将矩形的性质定理综合应用,激发学生的探索精神。
矩形的性质
矩形性质定理的综合应用
一情境创设：
用教具演示如，从平行四边形到矩形的演变过程，得到矩形的概念，并理解矩形与平行四边形的关系．（要求学生制作一个平行四边形作为道具，既增强了学生的动手能力和参与感，有在教学中有切实的体例，使学生对知识的掌握更轻松）
1）在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状．
随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？
当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？
它的两条对角线的长度有什么关系？
操作，思考、交流、归纳后得到矩形的性质．
矩形的性质：
既然矩形是一种特殊的平行四边形，就应具有平行四边形的性质，同时矩形又是特殊的平行四边形，比平行四边形多了一个角是直角的条件，因而它就增加了一些特殊性质。
2）、矩形与平行四边形的对比：
性质
类别
边
角
对角线
对称性
开行四边形
矩形
3）如图矩形ABCD，对角线相交于E，图中全等三角形有哪些？
准备说说看。
将目光锁定在Rt△ABC中，你能看到并想到它有什么特殊的性质吗？
现在我们借助于矩形来证明
“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
”
三、精讲例题
例1如图矩形ABCD的两条对角线相交于点O，且AC=2CD，
求证△OCD为正三角形。
四、巩固练习
1.矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是（）
A.16B.22C.26D.22或26
2.矩形的两条对角线的夹角是60°
，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为_______，短边长为_______.
3、若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线等于
4如图矩形ABCD中，若AB=4，BC=9，E、F分别为BC，DA上的
点，则S四边形AECF等于（）
A.12B.24C.36D.48
5.如图，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（）
A.98B.196C.280D.284
（4）（5）
6课本第16页练习1，2
7如图，E为矩形ABCD对角线AC上一点，DE⊥AC于E，∠ADE:
∠EDC=2:
3,求：
∠BDE的度数.
五．活动与探究
1．取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下；
第一步：
先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图
（1）．
第二步：
再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′,得Rt△AB′E．如图
（2）．
第三步：
沿EB′，线折叠得折痕EF．如图（3）．
利用展开图（4）探究：
（1）△AEF是什么三角形?
证明你的结论．
（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形?
请说明理由．
六小结与作业
从位置、形状、大小等不同的角度，观察和比较平行四边形、矩形的对角线把它们分成的三角形的异同，发现并应用直角三角形的判定证明矩形的特殊性质；
反过来，我们又利用矩形的性质证明“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”。
菱形的性质
掌握菱形的性质判定，使学生能够灵活运用菱形知识解决有关问题，提高能力
通过把矩形和菱形的定义、性质将易混淆的知识点分清楚，并以此培养学生辨正观点
教学重点：
菱形的性质
教学难点：
性质定理的运用生活数学与理论数学的相互转化。
教学过程
一以旧引新
你能从一个平行四边形中剪出一个菱形来吗？
学生活动，由平行四边形较短的边折叠到较长的边上，剪去不重合部分，可得到一个菱形。
有的学生可由其他方式得到一个菱形，也认可。
小组内互相交流学习，拓展思维，并由语言叙述自己的发现，引出菱形的概念（尽量由学生归纳）。
菱形
概念：
组邻边相等
1.____________________________________________________________叫菱形。
菱形也是特殊的平行四边形，它有平行四边形的性质
①________________________________________②___________________________________
③______________________________________
且具特有性质①——————————————————————————————
②————————————————————————————————————
2、菱形的面积计算公式：
①S=底×
高
②S=对角线乘积的一半
二．定理探索：
证明:
菱形四条边相等
1.
已知平行四边形ABCD，且AB=AD，求证
1AB=BC=CD=DA
2.已知菱形ABCD，对角线相交于O，求证：
对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组内角。
三．例题讲解
例1．如图3个全等的菱形构成的活动衣帽架，顶点A、E、F、C、G、H是上、下两排挂钩，根据需要可以改变挂钩之间的距离（比如AC两点可以自由上下活动），若菱形的边长为13厘米，要使两排挂钩之间的距离为24厘米，并在点B、M处固定，则B、M之间的距离是多少？
例2、
如图是菱形花坛ABCD，它的边长为20m，∠ABC=60°
，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（分别精确到0.01m和0.01m2）.
四．巩固练习
1若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为
2菱形的两邻角之比为1：
2，边长为2，则菱形的面积为__________．
3．已知四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，AC=8cm，DB=6cm，菱形的边长是________cm．
4．菱形ABCD的周长为40cm，两条对角线AC：
BD=4：
3，那么对角线AC=______cm，BD=______cm．
5．已知菱形的面积为30平方厘米，如果一条对角线长为12厘米，则别一条对角线长为________厘米
6．菱形ABCD的对角线交于点O，AC＝8，BD＝6，求：
菱形的高
7．课本P18练习1
8．已知：
如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：
∠AEF=∠AFE．
五：
课后小结
矩形、菱形各具有哪些性质？
填写下表：
矩
形
菱
共有性质
特有性质
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