高考数学总复习第四讲参数问题Word格式文档下载.docx
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0
求a、b及f（x）
解
当a=0时，显然不符合题设条件，故a≠0，于是可由题设条件画出f（x）的草图．如图所示
由图知，x=-2和x=6是方程
的两根，a<
0利用一元二次方程的根与系数的关系，得：
解得
∴
例2．已知函数
是奇函数，当x>
0时，f（x）有最小值2，并且x>
0时，f（x）的递增区间
求函数f（x）的解析式．
解∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x）
即
，从而求得c=0
∵a>
0,b>
0,当x>
0时，
当且仅当
，即
时取等号．
即当
时，f（x）取最小值
，得a=b2
∵x>
0时，f（x）的递增区间是
，故
时，f（x）取得最小值
，故a=4，从而b=2
∴
．
注：
本题给出函数f（x）的表达形式，欲求f（x）的解析式，就是利用待定系数法，根据题设条件求出a、b、c的值，
例3．已知数列{an}的通项
，是否存在等差数列{bn}，使
，对一切自然数n都成立，并说明理由．
分析
题目给出的条件是等式，等差数列{bn}具有确定的形式，可设bn=a1+（n-1）d或bn=pn+q，这两者是等价的，可利用待定系数法，根据题设条件看参数a1,d或p,q的值是否存在．
解法一：
假设存在等差数列{bn}，使
对一切自然数n都成立．
设
（p,q为待定系数），则
令n=1，得p+q=4
①
令n=2，得5p+3q=18
②
由①②联立，解得p=3,q=1故bn=3n+1，但这样得到的{bn}只是必要条件，也就是还必须证明其充分性，需用数学归纳法证明：
对一切自然数n，等式：
成立
（证明略）
解法二：
可设
，请同学们自行完成．
（2）用待定系数法求曲线方程
含参数的曲线方程中，参数值确定，方程随之确定，这就为求曲线方程提供了一种有效方法——待定系数法，这是平面解析几何的重要内容．
例4．已知抛物线的对称轴与y轴平行，顶点到原点的距离为5；
若将抛物线向上移3个单位，则在x轴上截得的线段为原抛物线在x轴上截得线段的一半；
若将抛物线向左平移1个单位，则抛物线过原点，求抛物线的方程．
解
根据题设可设所求的抛物线方程为：
其中h,a,k为待定系数，因此，必须建立关于h,a,k的三个独立等式．
由顶点到原点的距离为5，知
由抛物线（*）向上平移3个单位后的方程为：
令y=0，得方程：
，设其二根为x1,x2，则在x轴上截得线段长为：
在原抛物线（*）中，令y=0，得
设其二根式为x3,x4，则在x轴上截得的线段长为：
依题意有：
②
又由抛物线（*）向左平移1个单位后的方程：
过原点，得
③
由①②③联立，解方程组得：
故所求抛物线方程为：
例5．若双曲线C满足下列三个条件：
①C的实轴在y轴上；
②渐近线方程为：
；
③当A（5,2）到此双曲线上动点P的最小距离为3．
求双曲线C的方程．
由
故所求双曲线的中心为（0，2），又实轴在y轴上，故设双曲线方程
为
（*）
由渐近线的斜率知：
即b=2a
故所求方程（*）化简为：
设双曲线上点P（x,y）到点A（5,2）的距离为d，则
=
时，d2最小值5+a2
依题意有：
5+a2=9，∴a2=4
故所求双曲线C的方程为：
说明
引入含参数的曲线方程，用以表示具有某种共同性质的曲线系，再利用题设条件确定参数的值，从而求得曲线的方程，这种待定系数法，体现了引参求变，变中求定的思维策略．
2．含参数的方程与不等式
例6．设a∈R，且a≥0，在复数集C内解关于z的方程：
由原方程可得
，可知z为实数或纯虚数．
若z∈R，则
，由原方程化为
由于a≥0，判别式Δ=4+4a>
0恒成立．
故
若z为纯虚数，设
，原方程化为
判断式Δ=4（1-a），当
时，
此时，
当a>
0时，△＜0，方程无实根，原方程无解，
综上，当
时，原方程的解是
0时，原方程的解是
例7．已知a∈R，解不等式
若a=0，则不等式等价于两个不等式组：
（Ⅰ）
（Ⅱ）
当a<
0时，（Ⅰ）
（Ⅱ）
0时（Ⅰ）
解集为φ
综上：
当a＜0时，解集为
当a=0时，解集为φ；
当a＞0时，解集为
通过这一组含参数的方程与不等式的问题的分析研究可以看出，方程或不等式的解集与各项系数之间有着相互确定的密切关系，引入参数的思想方法，可深化对这种关系的认识提高相互转化的能力．
3．含参数的曲线方程与曲线的参数方程．
（1）含参数的曲线方程的应用．
例8．已知函数
（m为参数）
求证（Ⅰ）不论m取何值，此抛物线的顶点总在同一直线L上，（Ⅱ）任意一条平行于L且与抛物线相交的直线被各抛物线截得的线段长都相等．
将解析式变形为：
可知抛物线的顶点坐标是
即顶点轨迹的参数方程是
消去参数m，得
，说明不论m取何值，顶点均在直线L：
上．
（Ⅱ）设平行于L的直线L的方程为y=x+b，代入抛物线方程，得
当
时，直线L与抛物线有两个交点A和B．
=
与m无关
说明直线L被各抛物线截得的线段长都相等．
（2）曲线的参数方程的应用
例9．点P（x,y）在椭圆
上移动时，求函数
的最大值．
解析
显然，要设法将二元函数的最值问题转化为求一元函数的最值问题，因此选用该椭圆的参数方程．
由于
代入函数解析式中，
于是
令
于是
时，u有最大值．
时，u的最大值为
三、解题训练
１．函数
在一个周期内，当
时，y有最大值1，当
时，y有最小值–3，求函数解析式．
2．已知二次函数
，满足
，
，求f（-2）的取值范围．
3．是否存在常数a,b,c使得等式
对于一切自然数n都成立？
并证明．
4．已知
，试求a的取值范围，使
5．已知关于x的二次函数
在区间
内单调递增，求a的取值范围．
6．已知两点P（-2,2），Q（0,2）以及直线L∶y=x，设弦长为
的线段AB在直线L上移动，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程．
7．已知两定点A（-1,0）、B（1,0），P是圆C：
上任意一点，求使
的最小值及相应的点P坐标．
8．过椭圆
的一个焦点F1作一直线交椭圆于M,N两点，设
，问α取何值时，|MN|等于椭圆短轴的长．
四、练习答案
1．
2．
3．存在常数a=3,b=11,c=10
4．
5．
6．
7．选用圆的参数方程：
最小值为20，此时点P坐标为
8．
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