1819 第1章 11 111 四种命题Word下载.docx

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1．四种命题的概念

一般地，对于两个命题：

（1）如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们称这两个命题为互逆命题．

（2）如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么称这两个命题为互否命题．

（3）如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这样的两个命题称为互为逆否命题．

以上定义中，把第一个命题叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题．

2．命题的四种形式

1．判断（正确的打“√”，错误的打“×

（1）命题“若非p则q”的否命题为“若非p则非q”．（　　）

（2）同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题．（　　）

（2）√

2．命题“若x＞3，则x＞2”的否命题为________．

[解析]　由命题“若p则q”的否命题为“若非p则非q”，可知命题“若x＞3，则x＞2”的否命题为“若x≤3，则x≤2”．

[答案]　若x≤3，则x≤2

3．命题“若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角相等”的逆命题为________.【导学号：

71392000】

[解析]　由命题“若p则q”的逆命题为“若q则p”，可知命题“若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角相等”的逆命题为“若两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行”．

[答案]　若两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行

教材整理3　四种命题的关系

阅读教材P5以下部分，完成下列问题．

1．四种命题之间的关系

图111

2．四种命题的真假

一般地，互为逆否命题的两个命题，要么都是真命题，要么都是假命题；

两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系．

给出下列命题：

①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；

②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；

③正方形的四条边相等；

④圆内接四边形对角互补；

⑤对角不互补的四边形不内接于圆；

⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．

其中互为逆命题的有________；

互为否命题的有________；

互为逆否命题的有________．

[解析]　命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；

命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；

命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”．因此互为逆命题的有③和⑥，②和④；

互为否命题的有①和⑥，②和⑤；

互为逆否命题的有①和③，④和⑤.

[答案]　③和⑥，②和④　①和⑥，②和⑤　①和③，④和⑤

[合作探究·

攻重难]

命题及真假判定

　判断下列语句是否为命题，若是命题，则判断其真假．

（1）

是无限循环小数；

（2）x2－3x＋2＝0；

（3）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？

（4）一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；

（5）高中数学真难学啊！

（6）把门关上.【导学号：

71392001】

[精彩点拨]　首先判断是不是命题，如果是，然后再判断它是真命题还是假命题．

[自主解答]　

（1）能判断真假，是命题，是假命题．

（2）不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，无法判断语句的真假（这种语句叫“开语句”）．

（3）不能判断真假，不是命题．

（4）是命题，当等比数列的首项a1<

0，公比q>

1时，该数列是递减数列，因此是一个假命题．

（5）感叹句不能判断真假，因此不是命题．

（6）因为没有作出判断，所以不是命题．

[名师指津]　

1．判断一个语句是不是命题，关键是看能不能判断真假．一般情况下，感叹句，一般疑问句，开语句，祈使句都不是命题．

2．判定一个命题是真命题时，一般需要经过严格的推理论证，论证要有推理依据，有时应综合各种情况作出正确的判断；

而判定一个命题为假命题时，只需举出一个反例即可．

[再练一题]

1．判断下列语句是不是命题，若是，判断真假，并说明理由．

（1）求证2是质数；

（2）若x∈R，则x2＋4x＋7>

0；

（3）你是高一学生吗？

（4）一个正整数不是质数就是合数；

（5）x＋y是有理数，则x，y也都是有理数；

（6）2x>

5.

[解]　

（1）祈使句，不是命题．

（2）是真命题，因为x2＋4x＋7＝（x＋2）2＋3>

0对于x∈R，不等式恒成立．

（3）是疑问句，不涉及真假，不是命题．

（4）是假命题，正整数1既不是质数，也不是合数．

（5）是假命题，如x＝

，y＝－

.

（6）不是命题，这种含有未知数的语句，无法确定未知数的取值能否使不等式成立．

四种命题的概念

　把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题．

（1）相似三角形的对应角相等；

（2）当x＞3时，x2－4x＋3＞0；

（3）正方形的对角线互相平分.【导学号：

71392002】

[精彩点拨]　先要找出条件和结论，写成若p则q，写出逆命题、否命题和逆否命题时要清楚它们的定义．

[自主解答]　

（1）原命题：

若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等；

逆命题：

若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似；

否命题：

若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角对应不相等；

逆否命题：

若两个三角形的三个角对应不相等，则这两个三角形不相似．

（2）原命题：

若x＞3，则x2－4x＋3＞0；

若x2－4x＋3＞0，则x＞3；

若x≤3，则x2－4x＋3≤0；

若x2－4x＋3≤0，则x≤3.

（3）原命题：

若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分；

若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形；

若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分；

若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形．

1．由原命题写出其它三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件和结论互换即得逆命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时，进行否定即得逆否命题．

2．如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．

2．设“若x2＋y2≠0，则x，y至少有一个不为0”是命题A的逆否命题，请写出命题A，并写出命题A的逆命题，否命题．

[解]　命题A：

若x＝0且y＝0，则x2＋y2＝0.

命题A的逆命题：

若x2＋y2＝0，则x＝0且y＝0.

命题A的否命题：

若x≠0或y≠0，则x2＋y2≠0.

四种命题真假的判断

　分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．

（1）若q≤1，则关于x的方程x2＋2x＋q＝0有实根；

（2）若ab＝0，则a＝0或b＝0；

（3）若x2＋y2＝0，则x，y全为零.【导学号：

71392003】

[精彩点拨]　依据写出的命题进行真假判定或用等价命题进行判定．

[自主解答]　

（1）逆命题：

若关于x的方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1.是真命题．

若q>

1，则关于x的方程x2＋2x＋q＝0无实根．是真命题．

若关于x的方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q>

1.是真命题．

（2）逆命题：

若a＝0或b＝0，则ab＝0.是真命题．

若ab≠0，则a≠0且b≠0.是真命题．

若a≠0且b≠0，则ab≠0.是真命题．

（3）逆命题：

若x，y全为零，则x2＋y2＝0.是真命题．

若x2＋y2≠0，则x，y不全为零．是真命题．

若x，y不全为零，则x2＋y2≠0.是真命题．

[名师指津]　判断命题真假的方法

1．解决此类问题的关键是牢记四种命题的概念，正确地写出所涉及的命题，判定为真的命题需要简单的证明，判定为假的命题要举出反例加以印证．

2．原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与它的逆命题同真同假，故二者只判断一个即可．

3．判断下列四个命题的真假，并说明理由．

（1）“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；

（2）“若x＞y，则x2＞y2”的逆否命题；

（3）若“x≤3，则x2－x－6＞0”的否命题；

（4）“对顶角相等”的逆命题.【导学号：

71392004】

[解]　

（1）命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，则逆命题为真命题，因为原命题的逆命题和否命题具有相同的真假性，所以“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题是真命题．

（2）令x＝1，y＝－2，满足x＞y，但x2＜y2，所以“若x＞y，则x2＞y2”是假命题，因为原命题与其逆否命题具有相同的真假性，所以“若x＞y，则x2＞y2”的逆否命题也是假命题．

（3）该命题的否命题为“若x＞3，则x2－x－6≤0”，令x＝4，满足x＞3，但x2－x－6＝6＞0，不满足x2－x－6≤0，故该否命题是假命题．

（4）该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”是假命题，如等边三角形的任意两个内角都相等，但它们不是对顶角．

四种命题的关系

[探究问题]

1．给出一个原命题时，如何写出它的逆命题和否命题？

当原命题真假确定时，它的逆命题和否命题真假确定吗？

[提示]　先把原命题写成“若p则q”的形式，它的逆命题就是“若q则p”，它的否命题就是“若非p则非q”；

当原命题的真假确定时，它的逆命题和否命题真假不确定，但逆命题和否命题同真同假．如真命题“若x＝1，则x2＋2x－3＝0”的逆命题和否命题均为假；

又如真命题“若a>

b，则a＋c>

b＋c”的逆命题和否命题均为真命题．

2．四种命题的真假性，有且只有哪几种情况？

能对这几种情况归纳成结论吗？

[提示]　有且仅有下面四种情况：

原命题

逆命题

否命题

逆否命题

真

假

结论：

①原命题和它的逆否命题同真同假；

②一个命题的逆命题和否命题同真同假；

③原命题和它的逆命题、否命题真假不一定相同．

　证明：

已知函数f（x）是（－∞，＋∞）上的增函数，a，b∈R，若f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b），则a＋b≥0.

[精彩点拨]　根据原命题与逆否命题的等价性，先证逆否命题即可．

[自主解答]　原命题的逆否命题为“已知函数f（x）是（－∞，＋∞）上的增函数，a，b∈R，若a＋b<

0，则f（a）＋f（b）<

f（－a）＋f（－b）．”

证明如下：

若a＋b<

0，则a<

－b，b<

－a.

又∵f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，

∴f（a）<

f（－b），f（b）<

f（－a），

∴f（a）＋f（b）<

f（－a）＋f（－b）．

即原命题的逆否命题为真命题．

∴原命题为真命题．

[名师指津]　由于原命题与它的逆否命题具有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题.

4．判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假．

[解]　法一：

原命题的逆否命题：

已知a，x为实数，若a<

1，则关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集为空集．

真假判断如下：

∵抛物线y＝x2＋（2a＋1）·

x＋a2＋2开口向上，

判别式Δ＝（2a＋1）2－4（a2＋2）＝4a－7，

若a<

1，则4a－7<

0.

即抛物线y＝x2＋（2a＋1）x＋a2＋2与x轴无交点．

所以关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集为空集．

故原命题的逆否命题为真．

法二：

先判断原命题的真假．

因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集不是空集，

所以Δ＝（2a＋1）2－4（a2＋2）≥0，即4a－7≥0，所以a≥

≥1.

所以原命题成立．

又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．

[当堂达标·

固双基]

1．下列语句不是命题的个数有________个．

①2<

1；

②x<

③若x<

2，则x<

④函数f（x）＝x2是R上的偶函数.

【导学号：

71392005】

[解析]　①③④是命题，含未知数的不等式不是命题．

[答案]　1

2．命题“若α＝

，则tanα＝1”的逆命题是________.

[解析]　根据逆命题的定义可知，命题“若α＝

，

则tanα＝1”的逆命题是：

若tanα＝1，则α＝

[答案]　若tanα＝1，则α＝

3．命题“对于正数a，若a>

1，则lga>

0”及其逆命题、否命题、逆否命题四个命题中真命题的个数为________个．

[解析]　原命题是真命题，逆命题“对于正数a，若lga>

0，则a>

1”也是真命题．根据四种命题的真假关系，其否命题和逆否命题也是真命题．

[答案]　4

4．与命题“能被4整除的整数，一定能被2整除”的等价命题为________.

71392006】

[解析]　与命题“能被4整除的整数，一定能被2整除”等价的命题是它的逆否命题：

若一个整数不能被2整除，则这个整数一定不能被4整除．

[答案]　若一个整数不能被2整除，则这个整数一定不能被4整除

5．将命题“当a＞0时，函数f（x）＝ax2＋bx＋c的图象是开口向上的抛物线”写成“若p则q”的形式，写出其否命题和逆否命题，并判断真假．

[解]　命题“当a＞0时，函数f（x）＝ax2＋bx＋c的图象是开口向上的抛物线”写成“若p则q”的形式为：

若a＞0，则函数f（x）＝ax2＋bx＋c的图象是开口向上的抛物线，是真命题；

若a≤0，则函数f（x）＝ax2＋bx＋c的图象不是开口向上的抛物线，是真命题；

若函数f（x）＝ax2＋bx＋c的图象不是开口向上的抛物线，则a≤0，是真命题．