直线上的相遇与追及问题Word格式.docx
《直线上的相遇与追及问题Word格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《直线上的相遇与追及问题Word格式.docx(10页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
这类应用题叫做相遇问题。
数量关系:
总路程=(甲速+乙速)×
相遇时间
相遇时间=总路程÷
(甲速+乙速)
(甲速+乙速)=总路程÷
2、追及问题
含义:
两个运动物体在不同地点同时出发(或者在同一地点而不是同时出发,或者在不同地点又不是同时出发)作同向运动,在后面的,行进速度要快些,在前面的,行进速度较慢些,在一定时间之,后面的追上前面的物体。
这类应用题就叫做追及问题。
追及路程=(快速-慢速)×
追及时间
追及时间=追及路程÷
(快速-慢速)
(快速-慢速)=追及路程÷
3、注意点:
①在处理相遇与追及问题的时候,一定要注意公式的使用时二者发生关系那一时刻时候所处的状态。
②在行程问题里面所用的时间都是时间段,不是时间点(非常重要)。
③无论在哪一类行程问题里面,只要是相遇,就与速度和有关,只要是追及,就与速度差有关。
相遇例题:
例1
到的水路长392千米,同时从两港各开出一艘轮船相对而行,从开出的船每小时行28千米,从开出的船每小时行21千米,经过几小时两船相遇?
解
392÷
(28+21)=8(小时)
答:
经过8小时两船相遇。
例2
小和小在周长为400米的环形跑道上跑步,小每秒钟跑5米,小每秒钟跑3米,他们从同一地点同时出发,反向而跑,那么,二人从出发到第二次相遇需多长时间?
“第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。
因此总路程为400×
2
相遇时间=(400×
2)÷
(5+3)=100(秒)
二人从出发到第二次相遇需100秒时间。
例3
甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行,甲每小时行15千米,乙每小时行13千米,两人在距中点3千米处相遇,求两地的距离。
“两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。
从题中可知甲骑得快,乙骑得慢,甲过了中点3千米,乙距中点3千米,就是说甲比乙多走的路程是(3×
2)千米,因此,
相遇时间=(3×
(15-13)=3(小时)
两地距离=(15+13)×
3=84(千米)
两地距离是84千米。
追及例题:
好马每天走120千米,劣马每天走75千米,劣马先走12天,好马几天能追上劣马?
(1)劣马先走12天能走多少千米?
75×
12=900(千米)
(2)好马几天追上劣马?
900÷
(120-75)=20(天)
列成综合算式
12÷
(120-75)=900÷
45=20(天)
好马20天能追上劣马。
例2小明和小亮在200米环形跑道上跑步,小明跑一圈用40秒,他们从同一地点同时出发,同向而跑。
小明第一次追上小亮时跑了500米,求小亮的速
度是每秒多少米。
小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈,即200米,此时小亮跑了(500-200)米,要知小亮的速度,须知追及时间,即小明跑500米所用的时间。
又知小明跑200米用40秒,则跑500米用[40×
(500÷
200)]秒,所以小亮的速度是
(500-200)÷
[40×
200)]=300÷
100=3(米)
小亮的速度是每秒3米。
我人民解放军追击一股逃窜的敌人,敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑,解放军在晚上22点接到命令,以每小时30千米的速度开始从乙地追击。
已知甲乙两地相距60千米,问解放军几个小时可以追上敌人?
敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是(22-16)小时,这段时间敌人逃跑的路程是[10×
(22-6)]千米,甲乙两地相距60千米。
由此推知
追及时间=[10×
(22-6)+60]÷
(30-10)=220÷
20=11(小时)
解放军在11小时后可以追上敌人。
例4
一辆客车从甲站开往乙站,每小时行48千米;
一辆货车同时从乙站开往甲站,每小时行40千米,两车在距两站中点16千米处相遇,求甲乙两站的距离。
这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。
从题中可知客车落后于货车(16×
2)千米,客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间,
这个时间为
16×
2÷
(48-40)=4(小时)
所以两站间的距离为
(48+40)×
4=352(千米)
[16×
(48-40)]=88×
甲乙两站的距离是352千米。
例5
兄妹二人同时由家上学,哥哥每分钟走90米,妹妹每分钟走60米。
哥哥到校门口时发现忘记带课本,立即沿原路回家去取,行至离校180米处和妹妹相遇。
问他们家离学校有多远?
要求距离,速度已知,所以关键是求出相遇时间。
从题中可知,在相同时间(从出发到相遇)哥哥比妹妹多走(180×
2)米,这是因为哥哥比妹妹每分钟多走(90-60)米,那么,二人从家出走到相遇所用时间为
180×
(90-60)=12(分钟)
家离学校的距离为
90×
12-180=900(米)
家离学校有900米远。
例6
亮打算上课前5分钟到学校,他以每小时4千米的速度从家步行去学校,当他走了1千米时,发现手表慢了10分钟,因此立即跑步前进,到学校恰好准时上课。
后来算了一下,如果亮从家一开始就跑步,可比原来步行早9分钟到学校。
求亮跑步的速度。
手表慢了10分钟,就等于晚出发10分钟,如果按原速走下去,就要迟到(10-5)分钟,后段路程跑步恰准时到学校,说明后段路程跑比走少用了(10-5)分钟。
如果从家一开始就跑步,可比步行少9分钟,由此可知,行1千米,跑步比步行少用[9-(10-5)]分钟。
所以
步行1千米所用时间为
1÷
[9-(10-5)]=0.25(小时)=15(分钟)
跑步1千米所用时间为
15-[9-(10-5)]=11(分钟)
跑步速度为每小时
11/60=1×
60/11=5.5(千米)
亮跑步速度为每小时5.5千米。
第二讲环形跑道的相遇与追及
1、了解什么是环形跑道问题
2、掌握环形跑道上相遇与追及的特点
1、环形跑道相遇问题:
如上图,我们可以看到甲、乙两人背向而行会在圆周上一点相遇,相遇的时候他们刚好走过一个圆周的周长,如果在进行多次相遇的时候,与第一次相遇的情况一样,新的起点,再次相遇。
重点:
因此,圆周上的相遇告诉我们,每相遇一次,他们两个人的路程和为一个圆周的周长。
相遇几次,就是几个圆周的周长。
由此,也可以建立等量关系,来进行解题
公式:
一个圆周的周长=(快速+慢速)×
相遇时间
2、环形跑道上的追及问题
如上图,我们可以看到甲、乙两人同向而行,快的会再一次在圆周上追上慢的,当追上的时候,快的刚好比慢的多走一个圆周的周长,如果在进行多次追及的时候,与第一次相遇的情况一样,新的起点,再次追及。
因此,圆周上的追及告诉我们,每追及一次,快的就应该比慢的多走一个圆周的周长。
追及几次,就是几个圆周的周长。
一个圆周的周长=(快速-慢速)×
1.在400米的环形跑道上,A、B两点相距100米,。
甲、乙两人分别从A、B两点同时出发,按照逆时针方向跑步,甲每秒跑5米,乙每秒跑4米,每人每跑100米,都要停10秒钟。
那么,甲追上乙需要的时间是多少秒?
答案:
假设没有休息那么100/(5—4)=100秒钟在100/5=20秒100/20-1=4(次)100+4*10=140秒
2.小明在360米的环形跑道上跑一圈,已知他前半时间每秒跑5米,后半时间每秒跑4米,为他后半路程用了多少时间?
x÷
4=(360-x)÷
5×
=160(360÷
2-160)÷
5+160÷
4=44分
3.林琳在450吗长的环形跑道上跑一圈,已知她前一半时间每秒跑5米,后一半时间每秒跑4米,那么她的后一半路程跑了多少秒
设总时间为X,则前一半的时间为X/2,后一半时间同样为X/2
X/2*5+X/2*4=360
X=80
总共跑了80秒
前40秒每秒跑5米,40秒后跑了200米
后40秒每秒跑4米,40秒后跑了160米
后一半的路程为360/2=180米
后一半的路程用的时间为(200-180)/5+40=44秒
4.小君在360米长的环形跑道上跑一圈。
已知他前一半时间每秒跑5米,后一半时间每秒跑4米。
那么小君后一半路程用了多少秒?
设时间X秒5X=360-4X9X=360X=40后一半时间的路程=40*4=160米后一半路程=360/2=180米后一半路程用每秒跑5米路程=180-160=20米后一半路程用每秒跑5米时间=20/5=4秒后一半路程时间=4+40=44秒答:
后一半路程用了44秒
5.小明在420米长的环形跑道上跑了一圈,已知他前一半时间每秒跑8米,后一半时间每秒跑6米.求他后一半路程用了多少时间?
设总用时X秒。
前一半时间和后一半时间都是X/2。
然后前一半跑8*(X/2)米,后一半跑6*(X/2)米,总共加起来等于420米。
所以列下方程8*(X/2)+6*(X/2)=420.解得X=60。
所以后一半跑了30秒。
又因为后一半为6M/S,所以后一半跑了6*30=180M。
6.二人沿一周长400米的环形跑道均速前进,甲行一圈4分钟,乙行一圈7分钟,他们同时同地同向出发,甲走10圈,改反向出发,每次甲追上乙或迎面相遇时二人都要击掌。
问第十五次击掌时,甲走多长时间乙走多少路程?
前10圈甲跑一圈击掌一次,即10下此时已跑了5+5/7圈;
后面2人跑了2/7时击掌一次,然后2人共一圈击掌1次耗时(4+2/7)/(1/4+1/7)=30/7*(11/28)=165/98;
甲共总走了40+165/98H已走了(40+165/98)*(400/7)M
第三讲多人相遇与追及问题
1、了解多人相遇与追及的解题技巧。
2、会运用一些其他应用题手段来解决问题。
多人相遇与追及问题,与之前我们所接触的行程问题有所不同,因为它是三个人或者三个人以上的行程问题,这样发现多了很多关系,整体处理起来就比较难以入手。
解决技巧:
数学思想就是把复杂问题简单化,因此,我们可以把多人的看成是两个人两个人的行程关系。
对于行程关系,我们前面已经说过了,除了有相遇与追及之外,有时还会出现,超越与背向而行产生距离。
超越的关系:
路程公式:
(快速-慢速)×
超越的时间=拉开的距离
会发现,超越与追及的公式一样,因此可以把它们归为一类。
背向而行产生距离:
(快速+慢速)×
相遇时间=两个人产生的距离
会发现,背向而行产生距离与相遇的公式一样,因此可以把它们归为一类。
例题解析
1、从甲市到乙市有一条公路,它分为三段。
在第一段上,汽车速度是每小时40千米,在第二段上,汽车速度是每小时90千米,在第三段上,汽车速度是每小时50千米。
已知第一段公路的长恰好是第三段的2倍。
现有两辆汽车分别从甲、乙两市同时出发,相向而行,1小时20分后,在第二段的1/3处(从甲到乙方向的1/3处)相遇。
问:
甲、乙相距多少千米?
2、当两只小狗刚走完铁桥长的1/3时,一列火车从后面开来,一只狗向后跑,跑到桥头B时,火车刚好到达B;
另一只狗向前跑,跑到桥头A时,火车也正好跑到A,两只小狗的速度是每秒6米,问火车的速度是多少?
3、小明沿着向上移动的自动扶梯从顶向下走到底,他走了150级,他的同学小刚沿着自动扶梯从底向上走到顶,走了75级,如果小明行走的速度是小刚的3倍,那么可以看到的自动抚梯的级数是多少?
4、一辆车从甲地开往乙地,如果把车速提高20%,可以比原定时间提前一小时到达;
如果以原速行驶120千米后,再将原速提高25%,则可提前40分钟到达,求甲乙两地相距多少千米?
5、一只狗追赶一只兔子,狗跳跃6次的时间,兔只能跳跃5次,狗跳跃4次的距离和兔跳跃7次的距离相同,兔跑了5.5千米以后狗开始在后面追,兔又跑了多远被狗追上。
6、三种动物赛跑,狐狸的速度是兔子的4/5,兔子的速度是松鼠的2倍,一分钟松鼠比狐狸少跑12米,问:
半分钟兔子比狐狸多跑几米?
7、A、B分别以每小时160千米和20千米的速度,在长为210千米的环形公路上同时、同地、同向出发。
每当A车追上B车一次,A车减速1/3而B车增速1/3.问:
在两车速度刚好相等的时候,它们分别行驶了多少千米?
8、A、B两地相距125千米,甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地同时出发,相向而行。
丙骑摩托车每小时63千米。
与甲同时从A出发,在甲乙二人间穿梭(与乙相遇立即返回,与甲相遇也立即返回),若甲车速为每小时9千米,且当丙第二次到甲处时(甲、丙同时出发的那一次为丙第0次回到甲处),甲、乙两人相距45千米,问:
当丙第四次回到甲处时,甲乙相距多少米?
第八讲多次相遇与追及问题
1、了解多次相遇与追及问题的特点。
2、掌握多次相遇与追及问题与全程数的关系
3、会用比例解多次相遇与追及问题
4、相遇点的定位
相遇问题
1、相遇次数与两个人走过全程数的关系:
第一次相遇
第二次相遇
由以上两个图可以知道,第一次相遇走的全程数为1个,第二次相遇走的全程数为3个,以此类推,第n次相遇走的全程数为(2n-1)。
2、相遇点的定位:
①确定甲乙两辆车的速度比m:
n
②把全程分为(m+n)份
③根据相遇次数与全程数的关系,定位相遇点
④然后求解
追及问题
其实追及问题与相遇问题一样,只不过追及问题是从同地出发,追及问题与全程数的关系为:
相遇次数N,走过的全程数为2N.
注意点:
这里的相遇,我们只考虑迎面相遇的情况。
这里的追及,我们只考虑背后追及的情况。