高考一轮复习教案选修44极坐标与参数方程精品推荐.docx

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高考一轮复习教案选修44极坐标与参数方程精品推荐

选修4－4　坐标系与参数方程

1．坐标系与极坐标

（1）理解坐标系的作用．

（2）能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标与直角坐标的互化．

（3）能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程．通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示图形时选择坐标系的意义．

2．参数方程

（1）了解参数方程，了解参数的意义．

（2）能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．

（3）掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题．

知识点一　极坐标系

1．极坐标系的概念

（1）极坐标系

如图所示，在平面内取一个定点O，点O叫作极点，自极点O引一条射线Ox，Ox叫作极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位及其正方向，这样就建立了一个极坐标系．

（2）极坐标

①极径：

设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫作点M的极径，记为ρ.

②极角：

以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫作点M的极角，记为θ.

③极坐标：

有序数对（ρ，θ）叫作点M的极坐标，记作M（ρ，θ）．

2．极坐标与直角坐标的互化

设M是平面内任意一点，它的直角坐标是（x，y），极坐标是（ρ，θ），则它们之间的关系为：

易误提醒　

1．极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式．在解决此类问题时考生要注意两个方面：

一是准确应用公式，二是注意方程中的限制条件．

2．在极坐标系下，点的极坐标不唯一性易忽视．

注意极坐标（ρ，θ）（ρ，θ＋2kπ），（－ρ，π＋θ＋2kπ）（k∈Z）表示同一点的坐标．

[自测练习]

1．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sinx的方程变为________．

解析：

由知

代入y＝sinx中得y′＝3sin2x′.

答案：

y′＝3sin2x′

2．点P的直角坐标为（1，－），则点P的极坐标为________．

解析：

因为点P（1，－）在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为－，所以点P的极坐标为.

答案：

3．（2015·高考北京卷）在极坐标系中，点到直线ρ（cosθ＋sinθ）＝6的距离为________．

解析：

点的直角坐标为（1，），直线ρ（cosθ＋sinθ）＝6的直角坐标方程为x＋y－6＝0，所以点（1，）到直线的距离d＝＝1.

答案：

1

知识点二　参数方程

参数方程的概念

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点P的坐标x，y是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由函数式所确定的点P（x，y）都在曲线C上，那么方程叫作这条曲线的参数方程，变数t叫作参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫作普通方程．

易误提醒　

1．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致，否则不等价．

2．直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义，且其几何意义为：

|t|是直线上任一点M（x，y）到M0（x0，y0）的距离，即|M0M|＝|t|.

[自测练习]

4．在平面直角坐标系中，曲线C：

（t为参数）的普通方程为________．

解析：

依题意，消去参数可得x－2＝y－1，即x－y－1＝0.

答案：

x－y－1＝0

5．在平面直角坐标系xOy中，过椭圆（θ为参数）的右焦点，且与直线（t为参数）平行的直线截椭圆所得的弦长为________．

解析：

椭圆的普通方程为＋＝1，则右焦点的坐标为（1,0）．直线的普通方程为x－2y＋2＝0，过点（1,0）与直线x－2y＋2＝0平行的直线方程为x－2y－1＝0，由得4x2－2x－11＝0，所以所求的弦长为×＝.

答案：

考点一　曲线的极坐标方程|

1．在极坐标系下，已知圆O：

ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：

ρsin＝.

（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；

（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．

解：

（1）圆O：

ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，

圆O的直角坐标方程为：

x2＋y2＝x＋y，

即x2＋y2－x－y＝0，

直线l：

ρsin＝，即ρsinθ－ρcosθ＝1，则直线l的直角坐标方程为：

y－x＝1，即x－y＋1＝0.

（2）由得故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.

2．（2016·长春模拟）已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2.

（1）将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．

解：

（1）由ρ＝2知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4.

因为ρ2－2ρcos＝2，

所以ρ2－2ρ＝2.

所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.

（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.

化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，

即ρsin＝.

直角坐标化为极坐标的关注点

（1）根据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M的极坐标（ρ，θ）的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．

当限定ρ≥0，θ∈[0,2π）时，除极点外，点M的极坐标是唯一的．

（2）当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意判断点M所在的象限（即角θ的终边的位置），以便正确地求出角θ∈[0,2π）的值．

　　　考点二　曲线的参数方程|

1．已知曲线C1：

（t为参数）曲线C2：

（θ为参数）

（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（2）若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：

（t为参数）的距离的最小值．

解：

（1）曲线C1：

（x＋4）2＋（y－3）2＝1，曲线C2：

＋＝1，

曲线C1是以（－4,3）为圆心，1为半径的圆；

曲线C2是以坐标原点为中心，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．

（2）当t＝时，P（－4,4），Q（8cosθ，3sinθ），故M.曲线C3为直线x－2y－7＝0，M到C3的距离d＝|4cosθ－3sinθ－13|，从而当cosθ＝，sinθ＝－时，d取最小值.

2．已知曲线C：

＋＝1，直线l：

（t为参数）．

（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

解：

（1）曲线C的参数方程为（θ为参数）

直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.

（2）曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）到l的距离为

d＝|4cosθ＋3sinθ－6|.

则|PA|＝＝|5sin（θ＋α）－6|，

其中α为锐角，且tanα＝.当sin（θ＋α）＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.

当sin（θ＋α）＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.

参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等．在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形．

考点三　极坐标方程、参数方程的综合应用|

　（2015·高考全国卷Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C1：

（t为参数，t≠0），其中0≤α<π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：

ρ＝2sinθ，C3：

ρ＝2cosθ.

（1）求C2与C3交点的直角坐标；

（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．

[解]　

（1）曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.

联立解得或

所以C2与C3交点的直角坐标为（0,0）和.

（2）曲线C1的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R，ρ≠0），其中0≤α<π.

因此A的极坐标为（2sinα，α），B的极坐标为（2cosα，α）．

所以|AB|＝|2sinα－2cosα|＝4.

当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.

涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．

（2016·昆明模拟）在直角坐标系xOy中，l是过定点P（4,2）且倾斜角为α的直线，在极坐标系（以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ.

（1）写出直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；

（2）若曲线C与直线l相交于不同的两点M、N，求|PM|＋|PN|的取值范围．

解：

（1）直线l的参数方程：

（t为参数）．

∵ρ＝4cosθ，∴ρ2＝4ρcosθ，∴C：

x2＋y2＝4x.

（2）直线l的参数方程：

（t为参数），

代入x2＋y2＝4x，得t2＋4（sinα＋cosα）t＋4＝0，

∴sinα·cosα>0，又0≤α<π，

∴α∈，且t1<0，t2<0.

∴|PM|＋|PN|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|

＝4（sinα＋cosα）＝4sin，

由α∈，得α＋∈，

∴

故|PM|＋|PN|的取值范围是（4,4].

　　33.直线参数方程中参数t几何意义的应用

【典例】　已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l经过定点P（3，5），倾斜角为.

（1）写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；

（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．

[思维点拨]　

（1）根据条件写出l的参数方程及化曲线C为标准方程．

（2）利用t的几何意义求解|PA|·|PB|的值．

[解]　

（1）曲线C：

（x－1）2＋（y－2）2＝16，

直线l：

（t为参数）．

（2）将直线l的参数方程代入圆C的方程可得t2＋（2＋3）t－3＝0，

设t1，t2是方程的两个根，则t1t2＝－3，

所以|PA||PB|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝3.

[方法点评]　过定点M0（x0，y0），倾斜角为α的直线的参数方程为（t为参数）

该参数t经常用在直线截圆锥曲线的距离问题中，解题时通常过某定点作一直线与圆锥曲线相交于A，B两点，所求问题与定点到A，B两点的距离有关．解题时主要应用定点在直线AB上，利用参数t的几何意义，结合根与系数的关系进行处理，巧妙求出问题的解．

[跟踪练习]　（2016·大庆模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过点P，倾斜角α＝.在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos.

（1）写出直线l的参数方程，并把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设l与圆C相交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值．

解：

（1）直线l的参数方程为（t为参数），即（t为参数）．

由ρ＝2cos得：

ρ＝2cosθ＋2sinθ，

∴ρ2＝2ρcosθ＋2ρsinθ，∴x2＋y2＝2x＋2y，

故圆C的直角坐标方程为（x－1）2＋（y－1）2＝2.

（2）把（t为参数）代入（x－1）2＋（y－1）2＝2得t2－t－＝0，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝，t1t2＝－，

∴|PA|＋|PB|＝|t1－t2|＝＝.

A组　考点能力演练

1．

（1）化圆的直角坐标方程x2＋y2＝r2（r>0）为极坐标方程；

（2）化曲线的极坐标方程ρ＝8sinθ为直角坐标方程．

解：

（1）将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋y2＝r2，得ρ2cos2θ＋ρ2sin2