知识梳理与训练第九章 平面解析几何 第3节 圆的方程Word文档格式.docx

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（3）方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆.（　　）

（4）方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>

0.（　　）

解析　

（2）当a＝0时，x2＋y2＝a2表示点（0，0）；

当a＜0时，表示半径为|a|的圆.

（3）当（4m）2＋（－2）2－4×

5m＞0，即m＜或m＞1时表示圆.

答案　

（1）√　

（2）×

　（3）×

　（4）√

2.（必修2P124A1改编）圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是（　　）

A.（2，3），3B.（－2，3），

C.（－2，－3），13D.（2，－3），

解析　圆的方程可化为（x－2）2＋（y＋3）2＝13，所以圆心坐标是（2，－3），半径r＝.

答案　D

3.（必修2P130例3改编）过点A（1，－1），B（－1，1），且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是（　　）

A.（x－3）2＋（y＋1）2＝4B.（x＋3）2＋（y－1）2＝4

C.（x－1）2＋（y－1）2＝4D.（x＋1）2＋（y＋1）2＝4

解析　设圆心C的坐标为（a，b），半径为r.因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，所以b＝2－a.又|CA|2＝|CB|2，所以（a－1）2＋（2－a＋1）2＝（a＋1）2＋（2－a－1）2，所以a＝1，b＝1.所以r＝2.所以方程为（x－1）2＋（y－1）2＝4.

答案　C

4.（2018·

成都调研）若点（1，1）在圆（x－a）2＋（y＋a）2＝4的内部，则实数a的取值范围是（　　）

A.（－1，1）　　B.（0，1）

C.（－∞，－1）∪（1，＋∞）　　D.a＝±

1

解析　因为点（1，1）在圆的内部，

所以（1－a）2＋（1＋a）2<

4，所以－1<

a<

1.

答案　A

5.（2019·

荆州模拟）若圆（x－1）2＋（y－1）2＝2关于直线y＝kx＋3对称，则k的值是（　　）

A.2B.－2C.1D.－1

解析　由题意知直线y＝kx＋3过圆心（1，1），

即1＝k＋3，解得k＝－2.

答案　B

6.（2016·

浙江卷）已知a∈R，方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________.

解析　由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，

解得a＝2或a＝－1.

当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去.

当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，

化为标准方程为（x＋2）2＋（y＋4）2＝25，

表示以（－2，－4）为圆心，半径为5的圆.

答案　（－2，－4）　5

考点一　圆的方程

【例1】

（1）（一题多解）（2018·

天津卷）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为________________.

（2）（一题多解）（2019·

安徽“江南十校”联考）已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，则圆C的方程为________.

解析　

（1）法一　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F>

0），则解得D＝－2，E＝0，F＝0，

故圆的方程为x2＋y2－2x＝0.

法二　设O（0，0），A（1，1），B（2，0），则kOA＝1，kAB＝－1，所以kOA·

kAB＝－1，即OA⊥AB，所以△OAB是以角A为直角的直角三角形，则线段BO是所求圆的直径，则圆心为C（1，0），半径r＝|OB|＝1，圆的方程为（x－1）2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.

（2）法一　∵所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，

∴设所求圆的圆心为（a，－a）.

又∵所求圆与直线x－y＝0相切，

∴半径r＝＝|a|.

又所求圆在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，圆心（a，－a）到直线x－y－3＝0的距离d＝，

∴d2＋＝r2，即＋＝2a2，解得a＝1，

∴圆C的方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝2.

法二　设所求圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r>

0），则圆心（a，b）到直线x－y－3＝0的距离d＝，

∴r2＝＋，即2r2＝（a－b－3）2＋3.①

由于所求圆与直线x－y＝0相切，∴（a－b）2＝2r2.②

又∵圆心在直线x＋y＝0上，∴a＋b＝0.③

联立①②③，解得

故圆C的方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝2.

法三　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为，半径r＝，

∵圆心在直线x＋y＝0上，∴－－＝0，即D＋E＝0，①

又∵圆C与直线x－y＝0相切，

∴＝，

即（D－E）2＝2（D2＋E2－4F），

∴D2＋E2＋2DE－8F＝0.②

又知圆心到直线x－y－3＝0的距离d＝，

由已知得d2＋＝r2，

∴（D－E＋6）2＋12＝2（D2＋E2－4F），③

故所求圆的方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，

即（x－1）2＋（y＋1）2＝2.

答案　

（1）x2＋y2－2x＝0　

（2）（x－1）2＋（y＋1）2＝2

规律方法　求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：

（1）几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：

①圆心在过切点且垂直切线的直线上；

②圆心在任一弦的中垂线上；

③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；

（2）代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.

【训练1】

（1）（2019·

新乡模拟）若圆C：

x2＋＝n的圆心为椭圆M：

x2＋my2＝1的一个焦点，且圆C经过M的另一个焦点，则圆C的标准方程为________.

（2）（2018·

枣庄模拟）已知圆M与直线x－y＝0及x－y＋4＝0都相切，且圆心在直线y＝－x＋2上，则圆M的标准方程为________.

解析　

（1）∵圆C的圆心为，∴＝，m＝.又圆C经过M的另一个焦点，则圆C经过点（0，1），从而n＝4.故圆C的标准方程为x2＋（y＋1）2＝4.

（2）∵圆M的圆心在y＝－x＋2上，

∴设圆心为（a，2－a），

∵圆M与直线x－y＝0及x－y＋4＝0都相切，

∴圆心到直线x－y＝0的距离等于圆心到直线x－y＋4＝0的距离，

即＝，解得a＝0，

∴圆心坐标为（0，2），圆M的半径为＝，

∴圆M的标准方程为x2＋（y－2）2＝2.

答案　

（1）x2＋（y＋1）2＝4　

（2）x2＋（y－2）2＝2

考点二　与圆有关的最值问题　

多维探究

角度1　斜率型、截距型、距离型最值问题

【例2－1】已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.

（1）求的最大值和最小值；

（2）求y－x的最大值和最小值；

（3）求x2＋y2的最大值和最小值.

解　原方程可化为（x－2）2＋y2＝3，表示以（2，0）为圆心，为半径的圆.

（1）的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，

所以设＝k，即y＝kx.

当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±

（如图1）.

所以的最大值为，最小值为－.

（2）y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±

（如图2）.

所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.

（3）x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值（如图3）.

又圆心到原点的距离为＝2，

所以x2＋y2的最大值是（2＋）2＝7＋4，x2＋y2的最小值是（2－）2＝7－4.

规律方法　把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化较为常见：

（1）形如m＝的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；

（2）形如m＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；

（3）形如m＝（x－a）2＋（y－b）2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题.

角度2　利用对称性求最值

【例2－2】已知圆C1：

（x－2）2＋（y－3）2＝1，圆C2：

（x－3）2＋（y－4）2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为（　　）

A.5－4B.－1

C.6－2D.

解析　P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C′1（2，－3）.所以|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝5，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5－4.

规律方法　求解形如|PM|＋|PN|（其中M，N均为动点）且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：

（1）“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；

（2）“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.

【训练2】

（1）设点P是函数y＝－图象上的任意一点，点Q坐标为（2a，a－3）（a∈R），则|PQ|的最小值为________.

（2）已知A（0，2），点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：

x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________.

解析　

（1）函数y＝－的图象表示圆（x－1）2＋y2＝4在x轴及下方的部分，令点Q的坐标为（x，y），则得y＝－3，即x－2y－6＝0，作出图象如图所示，

由于圆心（1，0）到直线x－2y－6＝0的距离d＝＝>

2，所以直线x－2y－6＝0与圆（x－1）2＋y2＝4相离，因此|PQ|的最小值是－2.

（2）因为圆C：

x2＋y2－4x－2y＝0，故圆C是以C（2，1）为圆心，半径r＝的圆.设点A（0，2）关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′（m，n），故

解得故A′（－4，－2）.

连接A′C交圆C于Q，由对称性可知

|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝2.

答案　

（1）－2　

（2）2

考点三　与圆有关的轨迹问题

【例3】已知圆x2＋y2＝4上一定点A（2，0），B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点.

（1）求线段AP中点的轨迹方程；

（2）若∠PBQ＝90°

，求线段PQ中点的轨迹方程.

解　

（1）设AP的中点为M（x，y），由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x－2，2y）.

因为P点在圆x2＋y2＝4上，

所以（2x－2）2＋（2y）2＝4.

故线段AP中点的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝1（x≠2）.

（2）设PQ的中点为N（x，y）.

在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.

设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，

所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，

所以x2＋y2＋（x－1）2＋（y－1）2＝4.

故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.

规律方法　求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：

（1）直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；

（2）定义法，根据圆、直线等定义列方程；

（3）几何法，利用圆的几何性质列方程；

（4）代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.

【训练3】已知过原点的动直线l与圆C1：

x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.

（1）求圆C1的圆心坐标；

（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程.

解　

（1）由x2＋y2－6x＋5＝0得（x－3）2＋y2＝4，

所以圆C1的圆心坐标为（3，0）.

（2）设M（x，y），

因为点M为线段AB的中点，

所以C1M⊥AB，

所以kC1M·

kAB＝－1，当x≠3时可得·

＝－1，整理得＋y2＝，

又当直线l与x轴重合时，M点坐标为（3，0），代入上式成立.

设直线l的方程为y＝kx，与x2＋y2－6x＋5＝0联立，

消去y得：

（1＋k2）x2－6x＋5＝0.

令其判别式Δ＝（－6）2－4（1＋k2）×

5＝0，得k2＝，此时方程为x2－6x＋5＝0，解上式得x＝，因此<

x≤3.所以线段AB的中点M的轨迹方程为

＋y2＝.

[思维升华]

1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数.

2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算.

[易错防范]

1.求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程.

2.求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线.

基础巩固题组

（建议用时：

40分钟）

一、选择题

1.已知圆C的圆心为（2，－1），半径长是方程（x＋1）（x－4）＝0的解，则圆C的标准方程为（　　）

A.（x＋1）2＋（y－2）2＝4　B.（x－2）2＋（y－1）2＝4

C.（x－2）2＋（y＋1）2＝16　D.（x＋2）2＋（y－1）2＝16

解析　根据圆C的半径长是方程（x＋1）（x－4）＝0的解，可得半径长为4，故要求的圆的标准方程为（x－2）2＋（y＋1）2＝16.

2.（2019·

合肥模拟）已知圆C：

（x－6）2＋（y－8）2＝4，O为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程为（　　）

A.（x－3）2＋（y＋4）2＝100　B.（x＋3）2＋（y－4）2＝100

C.（x－3）2＋（y－4）2＝25　D.（x＋3）2＋（y－4）2＝25

解析　圆C的圆心的坐标C（6，8），

则OC的中点坐标为E（3，4），

则所求圆的半径|OE|＝＝5，

则以OC为直径的圆的方程为（x－3）2＋（y－4）2＝25.

3.若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是（　　）

A.（－∞，－2）∪B.

C.（－2，0）D.

解析　方程为＋（y＋a）2＝1－a－表示圆，则1－a－＞0，解得－2＜a＜.

4.点P（4，－2）与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是（　　）

A.（x－2）2＋（y＋1）2＝1B.（x－2）2＋（y＋1）2＝4

C.（x＋4）2＋（y－2）2＝4D.（x＋2）2＋（y－1）2＝1

解析　设圆上任一点为Q（x0，y0），PQ的中点为M（x，y），则解得因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即（2x－4）2＋（2y＋2）2＝4，

化简得（x－2）2＋（y＋1）2＝1.

5.（2018·

兰州模拟）已知点A是直角三角形ABC的直角顶点，且A（2a，2），B（－4，a），C（2a＋2，2），则△ABC外接圆的方程是（　　）

A.x2＋（y－3）2＝5B.x2＋（y＋3）2＝5

C.（x－3）2＋y2＝5D.（x＋3）2＋y2＝5

解析　由题意，得2a＝－4，∴a＝－2，

∴△ABC外接圆的半径为

＝＝，圆心为（－3，0），

∴△ABC外接圆的方程为（x＋3）2＋y2＝5.

二、填空题

6.已知圆C：

（x－2）2＋（y＋m－4）2＝1，当m变化时，圆C上的点与原点O的最短距离是________.

解析　圆C：

（x－2）2＋（y＋m－4）2＝1表示圆心为C（2，－m＋4），半径r＝1的圆，则|OC|＝，所以当m＝4时，|OC|的最小值为2，故当m变化时，圆C上的点与原点的最短距离是|OC|－r＝2－1＝1.

答案　1

7.（2019·

宜昌模拟）已知圆C：

x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为________.

解析　圆C的方程可化为＋（y＋1）2＝－k2＋1.所以，当k＝0时圆C的面积最大.

答案　（0，－1）

8.已知点M（1，0）是圆C：

x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________.

解析　过点M的最短弦与CM垂直，圆C：

x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C（2，1），∵kCM＝＝1，∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－（x－1），即x＋y－1＝0.

答案　x＋y－1＝0

三、解答题

9.已知以点P为圆心的圆经过点A（－1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4.

（1）求直线CD的方程；

（2）求圆P的方程.

解　

（1）由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为（1，2）.

则直线CD的方程为y－2＝－（x－1），即x＋y－3＝0.

（2）设圆心P（a，b），则由点P在CD上得

a＋b－3＝0.①

又因为直径|CD|＝4，所以|PA|＝2，

所以（a＋1）2＋b2＝40.②

由①②解得或

所以圆心P（－3，6）或P（5，－2）.

所以圆P的方程为（x＋3）2＋（y－6）2＝40或（x－5）2＋（y＋2）2＝40.

10.已知点P（2，2），圆C：

x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.

（1）求M的轨迹方程；

（2）当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积.

解　

（1）圆C的方程可化为x2＋（y－4）2＝16，所以圆心为C（0，4），半径为4.

设M（x，y），则＝（x，y－4），＝（2－x，2－y）.

由题设知·

＝0，故x（2－x）＋（y－4）（2－y）＝0，

即（x－1）2＋（y－3）2＝2.

由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是（x－1）2＋（y－3）2＝2.

（2）由

（1）可知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，为半径的圆.由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.

因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，

故l的方程为x＋3y－8＝0.

又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离为，

所以|PM|＝，S△POM＝×

×

＝，

故△POM的面积为.

能力提升题组

20分钟）

11.若圆Ω过点（0，－1），（0，5），且被直线x－y＝0截得的弦长为2，则圆Ω的方程为（　　）

A.x2＋（y－2）2＝9或（x＋4）2＋（y－2）2＝25

B.x2＋（y－2）2＝9或（x－1）2＋（y－2）2＝10

C.（x＋4）2＋（y－2）2＝25或（x＋4）2＋（y－2）2＝17

D.（x＋4）2＋（y－2）2＝25或（x－4）2＋（y－1）2＝16

解析　由于圆Ω过点（0，－1），（0，5），

所以圆心在直线y＝2上，

设圆心坐标为（a，2），

由题意得＝，

解得a＝0或a＝－4.

当a＝0时，圆心坐标为（0，2），半径为3；

当a＝－4时，圆心坐标为（－4，2），半径为5，

所以圆Ω的方程为x2＋（y－2）2＝9或（x＋4）2＋（y－2）2＝25.

12.已知圆C：

（x－3）2＋（y－4）2＝1，设点P是圆C上的动点.记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A（0，1），B（0，－1），则d的最大值为________.

解析　设P（x0，y0），d＝|PB|2＋|PA|2＝x＋（y0＋1）2＋x＋（y0－1）2＝2（x＋y）＋2.x＋y为圆上任一点到原点距离的平方，∴（x＋y）max＝（5＋1）2＝36，∴dmax＝74.

答案　74

13.（2017·

天津卷）设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°

，则圆的方程为________.

解析　由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C（－1，a）（a>

0），则A（0，a）.

又F（1，0），所以＝（－1，0），＝（1，－a）.

由题意得与的夹角为120°

，

得cos120°

＝＝－，解得a＝.

所以圆的方程为（x＋1）2＋（y－）2＝1.

答案　（x＋1）2＋（y－）2＝1

14.（2018·

全国Ⅱ卷）设抛物线C：

y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k（k>

0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.

（1）求l的方程；

（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程.

解　

（1）由题意得F（1，0），l的方程为y＝k（x－1）（k>

0）.

设A（x1，y1），B（x2，y2）.

由得k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0.

Δ＝16k2＋16>

0，故x1＋x2＝.

所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝（x1＋1）＋（x2＋1）＝.

由题设知＝8，解得k＝－1（舍去），k＝1.

因此l的方程为y＝x－1.

（2）由

（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－（x－3），即y＝－x＋5.

设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则

解得或

因此所求圆的方程为（x－3）2＋（y－2）2＝16或（x－11）2＋（y＋6）2＝144.