高中数学参数方程大题带解答.docx
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高中数学参数方程大题带解答
参数方程极坐标系
解答题
1．已知曲线C：
+=1，直线l：
（t为参数）
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的一般方程．
（Ⅱ）过曲线C上随意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
考点：
参数方程化成一般方程；直线与圆锥曲线的关系．
专题：
坐标系和参数方程．
剖析：
（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的一般
方程；
（Ⅱ）设曲线C上随意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式获得P到直线l的距离，除以
sin30°进一步获得|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．
解答：
解：
（Ⅰ）对于曲线C：
+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，
故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．
对于直线l：
，
由①得：
t=x﹣2，代入②并整理得：
2x+y﹣6=0；
（Ⅱ）设曲线C上随意一点P（2cosθ，3sinθ）．
P到直线l的距离为
．
则
，此中α为锐角．
当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|获得最大值，最大值为
．
当sin（θ+α）=1时，|PA|获得最小值，最小值为
．
评论：
本题考察一般方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，表现了数学转变思想方法，是中档题．
2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与
x轴的正半轴重合，直线
l的极坐标方程为：
，曲线C的参数方程为：
（α为参数）．
（I）写出直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．
考点：
参数方程化成一般方程．
专题：
坐标系和参数方程．
剖析：
（1）第一，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可；
（2）第一，化简曲线C的参数方程，而后，依据直线与圆的地点关系进行转变求解．
解答：
解：
（1）∵直线l的极坐标方程为：
，
∴ρ（sinθ﹣cosθ）=，
∴，
∴x﹣y+1=0．
（2）依据曲线C的参数方程为：
（α为参数）．
得
22
（x﹣2）+y=4，
它表示一个以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，
圆心到直线的距离为：
d=，
∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值=．
评论：
本题要点考察了直线的极坐标方程、曲线的参数方程、及其之间的互化等知识，属于中档题．
3．已知曲线C1：
（t为参数），C2：
（θ为参数）．
（1）化C1，C2的方程为一般方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：
（t为参数）距离的
最小值．
考点：
圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程．
专题：
计算题；压轴题；转变思想．
剖析：
（1）分别消去两曲线参数方程中的参数获得两曲线的一般方程，即可获得曲线
C1表示一个圆；曲线
C2表示
一个椭圆；
（2）把t的值代入曲线
C1的参数方程得点P的坐标，而后把直线的参数方程化为一般方程，依据曲线
C2的
参数方程设出Q的坐标，利用中点坐标公式表示出
M的坐标，利用点到直线的距离公式表示出
M到已知直线
的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可获得距离的最小值．
解答：
2
2
解：
（1）把曲线C1：
（t为参数）化为一般方程得：
（x+4）+（y﹣
3）=1，
所以此曲线表示的曲线为圆心（﹣4，3），半径1的圆；
把C2：
（θ为参数）化为一般方程得：
+=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，
焦点在x轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆；
（2）把t=代入到曲线C1的参数方程得：
P（﹣4，4），
把直线C3：
（t为参数）化为一般方程得：
x﹣2y﹣7=0，
设Q的坐标为Q（8cosθ，3sinθ），故M（﹣2+4cosθ，2+sinθ）
所以M到直线的距离d==，（此中sinα=，cosα=）
进而当cosθ=，sinθ=﹣时，d获得最小值
．
评论：
本题考察学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学识题，
灵巧运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化
简求值，是一道综合题．
4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴成立直角坐标系，圆
C的极坐标方程为
，直线l的参数方程为
（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C
上不一样于A，B的随意一点．
（Ⅰ）求圆心的极坐标；
（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．
考点：
参数方程化成一般方程；简单曲线的极坐标方程．
专题：
坐标系和参数方程．
剖析：
2
，把
（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为
，化为ρ=
代入即可得出．
（II）把直线的参数方程化为一般方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离
d，再利用弦长公式
可得|AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出．
解答：
2
，
解：
（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为
，化为ρ=
把
代入可得：
圆
C的一般方程为
2
2
2
2
．
x+y
﹣2x+2y=0，即（x﹣1）+（y+1
）=2
∴圆心坐标为（
1，﹣1），
∴圆心极坐标为
；
（Ⅱ）由直线l的参数方程（t为参数），把t=x代入y=﹣1+2t可得直线l的一般方程：
，
∴圆心到直线l的距离，
∴|AB|=2==，
点P直线AB距离的最大值为，
．
评论：
本题考察了把直线的参数方程化为一般方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴成立极
坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．
考点：
椭圆的参数方程；椭圆的应用．
专题：
计算题；压轴题．
剖析：
由题意椭圆的参数方程为
为参数），直线的极坐标方程为
．将椭
圆和直线先化为一般方程坐标，而后再计算椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．
解答：
解：
将
化为一般方程为
（4分）
点
到直线的距离
（6分）
所以椭圆上点到直线距离的最大值为
，最小值为
．（10分）
评论：
本题考察参数方程、极坐标方程与一般方程的差别和联系，二者要会相互转变，依据实质状况选择不一样的方程
进行求解，这也是每年高考必考的热门问题．
6．在直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴成立极
坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）．
（1）求直线I被曲线C所截得的弦长；
（2）若M（x，y）是曲线C上的动点，求x+y的最大值．
考点：
参数方程化成一般方程．
专题：
计算题；直线与圆；坐标系和参数方程．
剖析：
（1）将曲线C化为一般方程，将直线的参数方程化为标准形式，利用弦心距半径半弦长知足的勾股定理，即可求弦长．
（2）运用圆的参数方程，设出M，再由两角和的正弦公式化简，运用正弦函数的值域即可获得最大值．
解答：
解：
（1）直线I的参数方程为（t为参数），消去t，
可得，3x+4y+1=0；
因为ρ=
cos（θ+
）=
（
），
2
2
2
﹣x+y=0
，其圆心为（
，﹣
），半径为r=
，
即有ρ=ρcosθ﹣ρsinθ，则有x+y
圆心到直线的距离d==，
故弦长为2=2=；
（2）可设圆的参数方程为：
（θ为参数），
则设
M（
，
），
则x+y=
=sin（
），
评论：
因为θ∈R，则x+y的最大值为1．
本题考察参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考察参数的几何意义及运用，考察学生的计
算能力，属于中档题．
7．选修
4﹣4：
参数方程选讲
已知平面直角坐标系
xOy，以
O为极点，
x轴的非负半轴为极轴成立极坐标系，
P点的极坐标为
，曲
线C的极坐标方程为
．
（Ⅰ）写出点
P的直角坐标及曲线
C的一般方程；
（Ⅱ）若
Q为
C上的动点，求
PQ中点
M到直线
l：
（t为参数）距离的最小值．
考参数方程化成一般方程；简单曲线的极坐标方程．
点：
专坐标系和参数方程．
题：
分
（1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出；
析：
（2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单一性即可得出，
解
解
（1）∵P点的极坐标为，
答：
∴
=3，
=
．
∴点P的直角坐标
2
2
2
，y=ρsinθ代入
可得
，即
把ρ=x+y
∴曲线C的直角坐标方程为
．
（2）曲线C的参数方程为
（θ为参数），直线l的一般方程为x﹣2y﹣7=0
设
，则线段PQ的中点
．
那么点M到直线l的距离
.
，
∴点M到直线l的最小距离为．
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