数学八年级上册第12章 教案 新人教版Word文档格式.docx

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AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；

∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.

接着教师出示例题：

例1如图12-1-2，已知△ABN≌△ACM，∠B和∠C是对应角，AB和AC是对应边.写出其他的对应边及对应角.

师生共同分析：

对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将△ABN和△ACM从复杂的图形中分离出来.根据元素位置来找对应元素，再依据已知的对应元素找出其余的对应元素.然后学生自主完成.

解：

对应角为∠BAN与∠CAM,∠ANB与∠AMC.

对应边为AM与AN，BN与CM.

探究2：

全等三角形的性质

教师让学生把△ABC沿直线BC分别进行平移、翻折、绕定点旋转，然后观察图形的大小、形状是否发生变化（如图12-1-3）.

师生共同得出结论：

平移、翻折、旋转只能改变图形的位置，而不能改变图形的大小和形状.

教师追问：

那么在全等三角形中，有没有相等的角、相等的边呢？

学生先思考，再小组交流，得出：

全等三角形的对应边相等，对应角相等.（教师板书）

例2已知△DEF≌△ABC，AB=AC，且△ABC的周长为23cm，BC=4cm，求DE的长.

教师引导学生先画出图形，再进行分析，然后师生共同完成，教师板书：

因为△ABC的周长为23cm，BC=4cm，AB=AC，

所以AB=AC=（23-4）÷

2=9.5（cm）.

因为△DEF≌△ABC，∴DE=AB=9.5cm.

教师强调：

运用全等三角形的定义和性质时，要注意规范书写格式.

1.能够完全重合的两个图形叫作全等形.能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边,重合的角叫作对应角.全等三角形的对应边相等，对应角相等.

2.找全等三角形对应元素的方法,注意挖掘图形中隐含的条件，如公共元素、对顶角等.

12.1全等三角形

【预习速填】

1.全等形的概念与全等三角形的定义、表示方法要掌握以下三点:

一是两个图形是否全等只与这两个图形的形状和大小有关,与图形所在的位置无关,故平移、翻折、旋转后所得的图形与原图形;

二是记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上,字母顺序不能随意书写;

三是全等三角形的对应元素包括对应顶点、对应边和对应角,可以根据字母顺序、图形位置、图形大小或特征来确定对应边和对应角.

2.全等三角形的性质.要掌握以下两点:

一是两个全等三角形中,对应边、对应角,对应中线、对应高、对应角平分线、对应周长、对应面积等;

二是应用全等三角形的性质时,关键是要确定对应边或对应角.

【自我检测】

1.如图,若△ABC≌△DEF,回答下列问题:

（1）若△ABC的周长为17cm,BC=6cm,DE=5cm,则DF=cm:

（2）若∠A=65°

∠DFE=40°

则∠B=.

2.如图,△AFB≌△AEC,写出这两个全等三角形的对应顶点、对应边、对应角.

参考答案

1.【答案】全等

2.【答案】相等

1.【解析】

（1）由全等三角形的性质可知，三角形DEF的周长为17cm，因此DF=6cm

（2）由全等可知，∠ACB=∠DFE=40°

，因此∠B=180°

-65°

-40°

=75°

【答案】6,75°

2.【解析】对应顶点:

点A与点A,点B与点C,点F与点E

对应边:

AB与AC,BF与CE,AF与AE

对应角:

∠A与∠A,∠AFB与∠AEC,∠B与∠C

12.2全等三角形的判定

课时1“边边边（SSS）”

（1）明确判定两个三角形全等至少需要三个条件.

（2）掌握“边边边（SSS）”条件的内容.

（3）能初步运用“边边边（SSS）”条件判定两个三角形全等.

（4）会作一个角等于已知角.

使学生经历探索三角形全等的过程，体验用操作、归纳得出数学结论的过程.【情感态度与价值观】

探究三角形全等条件的判定过程，以观察思考，动手画图，合作交流等多种形式让学生共同探讨，培养学生的合作精神.

三角形全等的“边边边（SSS）”判定方法.

运用“边边边（SSS）”判定方法进行简单的证明.

多媒体课件.

如图12-2-1，教师在黑板上画两个三角形，请仔细观察，△ABC与△A′B′C′全等吗？

你们是如何判断的？

学生各抒己见，如动手用纸剪下一个三角形，将剪下的三角形叠到另一个三角形上，观察这两个三角形是否完全重合；

测量两个三角形的所有边与角，观察是否有三条边对应相等，三个角对应相等.

探究1：

三角形全等的条件

教师提出：

（1）只给一个条件（一条边或一个角）画三角形时，画出的三角形一定全等吗？

（2）如果给出两个条件呢?

给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下画出的三角形一定全等吗？

学生讨论有几种可能的情况，然后按照下面的条件画一画：

①三角形的一个内角是30°

，一条边是3cm；

②三角形的两个内角分别是30°

和50°

；

③三角形的两条边长分别是4cm和6cm.

学生分组讨论、画图、探索、归纳，最后以组为单位展示结果.

结果展示：

（1）只给定一条边时，如图12-2-2.

只给定一个角时，如图12-2-3.

（2）给出的两个条件：

一边一内角、两内角、两边，如图12-2-4.

可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等.

如果给出三个条件画三角形，你能说出有几种情况吗?

（三条边，两条边和一个角，一条边和两个角，三个角）在刚才的探索过程中，我们已经发现，已知三个内角不能保证两个三角形全等.下面我们就来逐一探索其余的三种情况.（这节课只讨论第一种情况）

“边边边（SSS）”

1.任意画一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使得A′B′=AB，B′C′=BC，A′C′=AC.

教师先让学生思考三角形的画法，再师生共同总结：

（1）画B′C′=BC；

（2）分别以点B′，C′为圆心，线段AB，AC的长为半径画弧，两弧相交于点A′；

（3）连接A′B′，A′C′，如图12-2-5.

2.把画出的△A′B′C′剪下来，放在△ABC上，它们能完全重合吗？

（即全等吗？

）

3.学生拿出直尺和圆规，按上面的要求作图并验证.

教师在此过程中巡视、指导.

进一步提出问题：

作图的结果反映了什么规律？

学生在思考、实践的基础上，归纳出判定三角形全等的方法.教师板演：

三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）.

教师出示教材P36例1：

在如图12-2-6的三角形钢架中，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架.求证：

△ABD≌△ACD.

要证明△ABD≌△ACD，只需看这两个三角形的三条边是否分别相等.注意：

题目中的隐含条件是AD是公共边（AD既是△ABD的边又是△ACD的边，我们称它为这两个三角形的公共边）.

分析完之后，师生共同证明，教师板书过程：

教师总结证明三角形全等的书写格式可分为三部分：

一是全等条件的证明；

二是罗列两个三角形全等的条件；

三是写三角形全等的结论.这里要求注明判定方法.（注意强调书写过程的严谨性）.

探究3：

作一个角等于已知角

教师：

由三边分别相等判定三角形全等的结论还可以得到用直尺和圆规作一个角等于已知角的方法.

师生共同展示：

已知：

∠AOB.

求作：

∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB.

作法：

（1）如图12-2-7，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；

（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；

（3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与

（2）中所画的弧相交于点D′；

（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB.

完成之后，教师让学生进行练习：

教材P37练习第1，2题（学生首先独立思考，然后让两名学生板演，最后教师点评）.

1.三边分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）.利用两个三角形全等可进行一些相关的计算和证明.

2.尺规作图：

作一个角等于已知角.

课时2“边角边（SAS）”

（1）掌握“边角边（SAS）”条件的内容.

（2）能初步运用“边角边（SAS）”条件判定两个三角形全等.

（3）知道两个三角形具备两边和一对角相等时，不一定全等.

使学生经历探索三角形全等的过程，培养学生观察图形、分析图形以及动手操作的能力.

通过探究三角形全等条件的活动，培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探索的良好品质及发现问题的能力.

对“边角边（SAS）”条件的理解和应用.

运用“边角边（SAS）”判定方法进行简单的证明.

教师出示投影，让学生认识卡钳：

如图12-2-8，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），在图中，利用这个工具就可以测量工件内的槽宽，你们能解释其中的道理吗？

学生思考之后进行简单的回答，教师点评并引入本节课题.（板书）

上节课我们学习了三边分别相等的两个三角形全等，如果已知两个三角形的两条边及一个角对应相等，那么能判定这两个三角形全等吗？

两边及其夹角分别相等〔“边角边（SAS）”〕

图12-2-91.先任意画一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，A′C′=AC，∠A′=∠A（即两边和它们的夹角相等）.

要画一个三角形，首先要确定这个三角形的三个顶点.

然后教师出示作法，学生独立完成：

如图12-2-9，

（1）画∠DA′E=∠A；

（2）在射线A′D上截取A′B′=AB，在射线A′E上截取A′C′=AC；

（3）连接B′C′.

2.引导学生剪下三角形，看是不是与原三角形全等.

两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）.

教师补充：

也就是说，如果三角形的两条边的长度和它们的夹角的大小确定，那么这个三角形的形状、大小就能确定.用符号语言表示为（教师板书）：

“SAS”中的“A”必须是两个“S”所夹的角.

教师从而解决情境导入中的问题，卡钳测量工件内的槽宽的原理是利用全等三角形的对应边相等，把不能直接测量的物体“移”到可以直接测量的位置进行测量.

接着教师出示投影，让学生完成这道练习题（学生口答）：

图12-2-10中全等的三角形有（D）.

两边及其邻角分别相等（边边角）

如果把“两边及其夹角分别相等”改为“两边及其邻角分别相等”，即“两边及其中一边的对角相等”，那么这两个三角形还全等吗？

学生分小组进行讨论，教师在此过程中及时点拨，画出反例图形，如图12-2-11.

学生通过反例说明“已知两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”不一定成立（即SSA不一定成立）.

教师出示教材P38例2：

如图12-2-12，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B.连接AC并延长到点D，使CD=CA.连接BC并延长到点E，使CE=CB.连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离，为什么？

教师引导学生把实际问题转化为数学问题，然后师生共同分析：

如果能证明△ABC≌△DEC，那么就可以得出AB=DE.由题意可知，△ABC和△DEC具备“边角边”的条件.

师生共同解答，教师板书过程：

最后教师总结：

因为全等三角形的对应边相等，对应角相等，所以在证明线段相等或角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决.

教师让学生完成：

教材P39练习第1，2题.让学生在黑板上板演，教师点评，并强调证明过程的规范书写.

1.运用“边角边（SAS）”判定两个三角形全等，注意“边边角”不能判定两个三角形全等.

2.判定两个三角形全等时，要注意使用公共边和公共角.

课时3“角边角（ASA）”“角角边（AAS）”

（1）掌握“角边角（ASA）”及“角角边（AAS）”条件的内容.

（2）能初步运用“角边角（ASA）”及“角角边（AAS）”条件判定两个三角形全等.【过程与方法】

使学生经历作图、证明等探究过程，从而提高学生分析、作图、归纳、推理等能力.

通过探索和动手操作的过程，体会数学思维的乐趣，激发应用数学的意识，通过合作交流，培养合作意识，体验成功的喜悦.

掌握三角形全等的“角边角”“角角边”判定方法.

运用“角边角”“角角边”的判定方法进行简单的证明.

1.复习旧知：

（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？

（2）到目前为止，可以作为判定两三角形全等的方法有几种？

分别是什么？

学生举手回答，教师点评并表扬.

2.教师引入：

在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，接着探究已知两角一边是否可以判定两三角形全等.（板书课题）

已知两角和一边对应相等有两种情况，首先我们研究第一种情况，即两角及这两角的夹边对应相等.

“角边角（ASA）”

教师提出问题：

如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边，那么这两个三角形全等吗？

学生完成以下活动：

1.先任意画一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使得∠A′=∠A，∠B′=∠B，A′B′=AB.

教师指导△A′B′C′的作法：

如图12-2-14，

（1）作线段A′B′，使A′B′=AB；

（2）分别以A′，B′为顶点，A′B′为一边在A′B′的同旁画∠DA′B′，∠EB′A′，使∠DA′B′=∠CAB，∠EB′A′=∠CBA；

（3）射线A′D与B′E相交于一点，记为点C′，即可得到△A′B′C′.

2.将画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC上，发现两个三角形全等.

3.教师让学生模仿上一节所学的“边角边”定理，用一句话来总结一下：

两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.

也就是说，三角形的两个角的大小和它们的夹边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就确定了.

教师出示教材P40例3：

如图12-2-15，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=

∠C.求证：

AD=AE.

证明△ACD≌△ABE，就可以得出AD=AE.

学生写出证明过程，教师点评.

“角角边（AAS）”

如果把“两角和它们的夹边分别相等”改为“两角及邻边分别相等”，即“两角分别相等且其中一组等角的对边相等”，两个三角形还全等吗？

教师出示教材P40例4：

如图12-2-16，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF.求证：

△ABC≌△DEF.

教师引导学生分析题目中的已知条件，让学生思考解题思路：

如果能证明∠C=∠F，就可以利用“角边角”证明△ABC和△DEF全等，由三角形的内角和定理可以证明∠C=∠F.

学生分小组交流想法，教师点评.师生共同完成证明过程，教师板书：

证明：

在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°

，

∴∠C=180°

-∠A-∠B.

同理∠F=180°

-∠D-∠E.又∠A=∠D，∠B=∠E，

∴∠C=∠F.

在△ABC和△DEF中，∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F，

∴△ABC≌△DEF（ASA）.

我们从这道例题可以得到两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）.也就是说，三角形的两个角的大小和其中一个角的对边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就确定了.

教师紧接着让学生完成P41练习第1，2题.学生板演，教师点评.

教师最后总结：

（1）已知两个三角形的两组角对应相等，要证明这两个三角形全等，应选择判定方法“ASA”或“AAS”.

（2）在运用“ASA”或“AAS”判定三角形全等时，同样要注意题目中的隐含条件，如公共边、公共角、对顶角等.

最后，教师提出：

到此为止，在三角形中已知三个条件探索两个三角形全等的问题已全部结束.然后让学生把两个三角形全等的判定方法做一个小结.学生自我回忆总结，然后小组讨论、交流，补充：

边边边（SSS）,边角边（SAS）,角边角（ASA）,角角边（AAS）.

1.用“角边角”“角角边”判定两个三角形全等.

2.用三角形全等来证明线段或角相等.

3.到目前已经学习了四种判定两个三角形全等的方法.

课时4“斜边直角边（HL）”

（1）探索和了解直角三角形全等的条件——“斜边、直角边（HL）”.

（2）会运用“斜边、直角边（HL）”判定两个直角三角形全等.

让学生在合作交流中获取知识，组织学生通过观察、发现、交流、体验、说理归纳等活动，感知并掌握直角三角形的判定方法.

通过创设情境，激发学生的求知欲，通过动手操作等活动，让学生乐于探究，培养学生独立思考和合作交流的能力.

探究直角三角形全等的条件.

灵活运用直角三角形全等的条件进行证明.

教师出示投影：

如图12-2-18，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但两个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量其长度.你们能帮他想个办法吗？

学生思考之后，回答：

方法一：

测量斜边和一个对应的锐角（“AAS”）；

方法二：

测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角（“ASA”或“AAS”）.

教师继续指出：

工作人员只带了一把卷尺，他测量了两个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别相等，于是他就肯定“这两个直角三角形是全等的”.你们相信他的结论吗？

学生回答：

这两个三角形都是直角三角形，也许是全等的.因为它还有直角这个特殊条件.

教师点评：

有道理，但科学是严谨的，今天我们就来探究“两个直角三角形全等的条件”.（板书课题）

“斜边、直角边（HL）”

对于两个直角三角形，除了直角相等的条件外，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了?

教师出示教材P42探究5：

师生共同按照下面的步骤做一做（如图12-2-19）：

画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°

，B′C′=BC，A′B′=AB.

图12-2-19

（1）画∠MC′N=90°

（2）在射线C′M上截取B′C′=BC；

（3）以点B′为圆心，AB长为半径画弧，交射线C′N于点A′；

（4）连接A′B′.

教师提问：

Rt△A′B′C′就是所求作的三角形吗？

接着让学生把画好的Rt△A′B′C′剪下来放在Rt△ABC上，观察这两个三角形是否全等.

学生由此可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法：

斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.教师出示教材P42例5：

如图12-2-20，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=BD.求证：

BC=AD.

要想证明BC=AD，首先应寻找和这两条线段有关的三角形，这里有△BAD和△ABC，△ADO和△BCO，其中O为DB，AC的交点，经过对条件的分析，发现△ABD和△BAC具备全等的条件.

师生共同完成证明过程，教师板书：

∵AC⊥BC，BD⊥AD，

∴∠C与∠D都是直角.

教师接着提问：

你能够用几种方法判定两个直角三角形全等？

直角三角形是特殊的三角形，所以不仅能用一般三角形判定全等的方法“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”，还能用直角三角形独有的判定全等的方法——“HL”.

对于两个直角三角形，满足一边一锐角分别相等，或两条直角边分别相等，则这两个直角三角形全等.如果满足斜边和一条直角边分别相等，这两个直角三角形也全等.在判定三角形全等的各个条件中，一个必要的条件为至少有一条边对应相等.判定两个三角形全等时，要注意对应边、角的相对位置关系，然后按照以下思路寻求解题方法：

（1）已知两边找夹角→SAS找直角→HL找第三边→SSS

（2）已知两角找夹边→ASA找一角的对边→AAS

（3）已知一边一角边为角的对边→找一角→AAS边为角的邻边找夹边的另一角→ASA找边的对角→AAS找夹角的另一边→SAS

紧接着，让学生完成：

教材P43练习第1，2题.（学生板演，教师点评）

1.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.

2.直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它.同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，“HL”定理是直角三角形全等独有的判定方法，所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件.

12.2三角形全等的判定

1.用“边边边”判定三角形全等,要注意:

（1）利用“边边边”（或记为“”）来证三角形全等时,要结合图形,找准对应边,同时要找出隐含的边,如公共边、中线、中角平分线,以及等线段或同线段的和或差相等;

（2）分别相等判定三角形全等的结论,