第六章 代数系统Word格式文档下载.docx

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|x-y|

可结合性

可交换性

存在幺元

存在零元

23、设R就是实数集合,在R上定义二元运算*如下:

任取x,y∈R,

x*y=xy－2x－2y＋6

1.验证运算*就是否满足交换律与结合律。

2.求运算*就是否有幺元与零元,如果有请求出幺元与零元。

3.对任何实数x,就是否有逆元？

如果有,求它的逆元,如果没有,说明原因。

24、设★就是X上有幺元e且可结合的二元运算,求证如果∀x∈X,都存在左逆元,则x的左逆元也就是它的右逆元。

25、、给定下面4个运算表如下所示。

分别判断这些运算的性质,并用“Y”表示“有”,用“N”表示“无”填下面表。

如果运算有幂等元、有幺元、有零元、有可逆元素,要指出这些元素就是什么。

交换性

幂等元

幂等性

有幺元

有零元

有可逆元素

a）

b）

c）

d）

26、分别说明什么叫做两个代数系统同态、满同态、单一同态、同构、自同构？

27、什么叫做同态核？

28、请举同构的两个代数系统的例子,并说明它们同构的理由。

29、给出集合A＝{0,1,2,3}与A上的二元运算“*”。

集合B＝{S,R,A,L}与B上的二元运算“”。

它们的运算表如下面所示。

验证<

A,*>

与<

B,>

同构。

30令S={<

X,*>

|X就是集合,*就是X上的二元运算},即S就是所有含有一个二元运算的代数系统构成的集合。

≅就是S中的代数系统间的同构关系。

求证,≅就是S中的等价关系。

31、令A={0,1,2,3,4,…},B={1,2,4,8,16,…},+表示加法,*表示乘法,问<

A,+>

B,*>

就是否同构？

为什么？

32已知代数系统<

S,*>

P,·

>

其中S={a,b,c}P={1,2,3}二元运算表如下所示:

abc

a

b

c

bbc

cbc

·

123

1

2

3

121

122

*

试证明它们同构。

33给定两个代数系统,<

R+,×

>

:

R+就是正实数,×

就是R+上的乘法运算;

<

R,+>

R就是实数集合,＋就是R上的加法运算。

它们就是否同构？

对您的回答给予证明或者举反例说明之。

34、已知代数系统<

X,★>

Y,ο>

同构,即X≅Y。

并设f:

X→Y就是同构映射,请证明如果运算★可结合,则运算ο也可结合。

35、已知代数系统<

X→Y就是同构映射,请证明如果运算★可交换,则运算ο也可交换。

36、已知代数系统<

X→Y就是同构映射,请证明如果运算★有幺元e★,则运算ο也有幺元eο,且f（e★）=eο。

37、已知代数系统<

X→Y就是同构映射,请证明如果运算★有零元θ★,则运算ο也有零元θο,且f（θ★）=θο。

38已知代数系统<

X→Y就是同构映射,请证明如果<

中每个x∈X可逆,即x-1∈X,则<

中每个y∈Y也可逆,即y-1∈Y。

且如果y=f（x）,则y-1=（f（x））-1=f（x-1）。

（x映像的逆元=x逆元的映像）

39集合A上两个同余关系R、S,证明R∩S也就是同余关系、

40、考察代数系统<

I,+>

定义I上如下关系R就是同余关系？

a）、<

x,y>

∈R当且仅当（x<

0∧y<

0）∨（x≥0∧y≥0）

b）、<

∈R当且仅当|x-y|<

10

c）、<

∈R当且仅当（x=y=0）∨（x≠0∧y≠0）

d）、<

∈R当且仅当x≥y

41、填空:

★就是A上二元运算,代数<

A,★>

就是半群,当且仅当（）。

42、填空:

就是独异点,当且仅当（）。

43列举出5个您所熟悉的就是半群的例子。

44、列举出5个您所熟悉的就是独异点的例子。

45列举出1个您所熟悉的就是半群但不就是独异点的例子。

46、给定代数系统<

R,★>

★就是实数R上二元运算,定义为:

∀a,b∈R,

a★b=a+b+a·

求证<

就是独异点。

47、<

就是个半群,∀a,b∈A,若a≠b则a★b≠b★a,试证:

a）∀a∈A,有a★a=a

b）∀a,b∈A,a★b★a=a

c）∀a,b,c∈A,a★b★c=a★c

48、设<

S,*>

就是个半群,且左右消去律都成立,证明S就是交换半群的充要条件就是对任何

a,b∈S,有（a*b）2=a2*b2

49、设<

S,★>

就是半群,如果S就是有限集合,则必存在a∈S,使得a★a=a。

50、设A就是有理数集合,在笛卡尔积A×

A上,定义二元运算△如下:

任取<

a,b>

<

c,d>

∈A×

A<

△<

=<

a⨯c,a⨯d+b>

其中:

⨯就是乘法。

+就是加法。

A×

A,△>

就是独异点。

51、、设<

M,★>

就是交换独异点,A就是M中所有幂等元构成的集合,证明<

就是<

的子独异点。

52、令I:

就是整数集合;

N:

自然数集合,R:

实数集合。

＋就是加法运算,×

就是乘法运算。

给定代数系统<

R,+>

<

I,×

N,×

R,×

P（E）,⋂>

P（E）,⋃>

P（E）,⊕>

。

请问哪些代数系统不就是群？

只要说明一条理由即可。

又问哪些代数系统就是群？

并说明理由。

53、X=R－{0,1},X上定义六个函数,如下所示:

∀x∈X,

f1（x）=xf2（x）=x-1f3（x）=1-x

f4（x）=（1-x）-1f5（x）=（x-1）x-1f6（x）=x（x-1）-1

令F={f1,f2,f3,f4,f5,f6},ο就是F上的复合运算,试证明<

F,ο>

就是群。

54、令R就是实数,F={f|f（x）=ax+b,a,b,x∈R,a≠o},ο就是F上的函数左复合运算,试证明<

55、设<

就是半群,e就是左幺元,且对每个x∈A,∃x’∈A,使得x’★x=e,

a）证明,∀a,b,c∈A,若a★b=a★c,则b=c。

b）证明<

56、、设<

就是群,且|A|=2n,n就是正整数,证明A中至少存在一个元素a,使得a*a=e。

57、填空:

令<

G,*>

就是群,其中G={a,b,c},设a就是幺元,则b2=（）,b*c=（）,b与c的阶分别就是（）与（）。

58、A就是非空的有限集合,且|A|＝n。

令

F＝｛f|f就是A→A的双射函数｝

1.求|F|等于多少？

2.令*就是函数的左复合运算。

问<

F,*>

就是群不？

如果就是,给予证明。

如果不就是,要说明理由。

59、设<

就是4阶群,其中G＝{a,b,c,d},已知a就是幺元,b与c互为逆元。

首先计算c*d（要有计算过程）,再分别求元素b与d的阶。

60、设<

就是4阶群,其中G＝{a,b,c,d},已知a就是幺元,且所有元素的逆元都就是它自身。

求满足方程式b*x=c*d中的x。

61、判断下列各命题的真值,并说明理由。

1.<

就是个n阶群,则对于任何a,b∈G,有（a*b）-n=（b*a）n。

2.设f就是群<

到群<

S,+>

的满同态映射,则对任何a,b∈G,有f（b*a-1）=（f（a*b-1））-1。

62、设<

G,★>

就是个群,证明G中除幺元外,无其它幂等元。

63、设<

就是个群,则对任何a,b∈G,证明存在唯一元素x∈G,使得a★x=b。

64、<

就是个群,对任何a,b∈G,证明（a★b）-1=b-1★a-1。

65、<

就是个有限群,证明G中每个元素在★运算表中的每一行必出现且仅出现一次。

66、填空:

就是个n阶群,则★运算表有（）特征。

67、什么叫做群的阶？

68、什么叫做群中运算的阶？

69指出整数集合加法群<

中,各个元素的阶就是什么？

70、<

就是群,a∈G,如果a的阶为n,证明ak=e,当且仅当k=mn（m∈I）（即k就是n的整数倍）

71、证明群中的元素与其逆元具有相同的阶。

72、设<

就是有限群,任何a∈G,证明a的阶都就是有限的。

73、设<

就是群,而a∈G,f:

G→G就是映射,

对∀x∈G,f（x）=a★x★a-1求证f就是G到G的自同构。

74、设<

就是个群,而a∈G,如果f就是从G到G的映射,使得对任何x∈G,都有

f（x）=a-1*x*a

试证明f就是从G到G的自同构、

75、设<

A,*>

B,ο>

都就是群,在A与B的笛卡尔积A×

B上,定义二元运算△如下:

a1,b1>

a2,b2>

B<

a1*a2,b1οb2>

B,△>

也就是群。

76、设<

已知<

定义映射f:

A×

B→A,对任意<

B,

f（<

）=a

求证f就是<

到<

的同态映射,并求出f的同态核。

77、令G＝{2m3n|m,n∈Q,Q就是有理数},“•”就是G中乘法运算。

1.证明<

G,•>

就是个群。

2.给定映射f:

G→G,f定义为f:

2m3n→2m,证明f就是G到G的同态映射;

并求出f的同态核。

78、给出两个群<

G,★>

S,ο>

的运算表如下:

证明它们同构。

p1p2p3p4

p1p1p2p3p4

p2p2p1p4p3

p3p3p4p1p2

p4p4p3p2p1

★

q1q2q3q4

q1q3q4q1q2

q2q4q3q2q1

q3q1q2q3q4

q4q2q1q4q3

79、判断下面命题的真值。

并简单说明原因。

1.R为实数集合,×

为乘法运算,则<

就是个交换群。

2.设<

就是n阶群,则对任何a,b∈G,有a-n=bn。

3.设<

就是群,且对G中任何元素的逆元都就是它自身,则它就是交换群。

80、<

就是交换群,当且仅当对任何a,b∈G有

（a★b）★（a★b）=（a★a）★（b★b）（即（a★b）2=a2★b2）

81、令G={km|k∈Z},m就是某个确定的自然数,Z就是整数集合,＋就是加法运算。

证明<

G,+>

就是交换群。

82、设I就是整数集合,在I上定义二元运算*如下:

对于任何a,b∈Ia*b=a＋b－2

I,*>

就是个交换群、

83、已知<

G,*>

就是交换群,a∈G,在G上又定义一个二元运算“∙”如下:

对于任何x,y∈G,x∙y=x*a-1*y（其中a-1就是a对于*运算的逆元）

G,∙>

也就是交换群。

84、令G就是所有非0实数构成的集合,在G上定义二元运算*如下:

任何a,b∈G,a*b

G,*>

85、设I就是整数集合,在I上定义二元运算*如下:

对于任何a,b∈Ia*b=a＋b－4

86设<

就是群,∀x∈G,有x★x=e,证明<

就是交换群。

87、证明任何阶数为1,2,3,4的群都就是交换群,并举一个6阶群,它不就是交换群。

88、给定集合Ｇ＝{x|x就是有理数且x≠－1},在Ｇ上定义二元运算*如下:

对任何a,b∈Ｇ,a*b=a+b+ab。

Ｇ,*>

就是交换群。

89、设<

就是群,∀a,b∈G,有a3★b3=（a★b）3,a4★b4=（a★b）4,a5★b5=（a★b）5,证明<

90、什么叫做循环群？

什么叫做循环群的生成元？

什么叫做循环群的循环周期？

91、证明循环群都就是交换群。

92、给定群<

N4,+4>

其中N4={0,1,2,3},+4就是以4为模的加法运算。

就是循环群不？

如果就是循环群请指出它的循环周期。

93、给定群<

它就是循环群不？

94、填空:

设<

就是个以g为生成元的有限循环群,|G|=n,则G=（）。

95、令I就是整数集合,在I上定义二元运算*如下:

对于I中任何a元素,

a*b=a＋b－2

就是个循环群

96、设I就是整数集合,在I上定义二元运算*如下:

对于任何a,b∈Ia*b=a－1＋b

就是个循环群、

97、设G={1,2,3,4,5,6},×

7就是7为模的乘法运算,即

x,y∈G,x×

7y=（xy）（mod7）,例如4×

75＝20（mod7）=6

G,×

7>

如就是,指出生成元。

98、循环群的任何子群都就是循环群。

99、填空题:

就是以g为生成元的n阶循环群,则元素g的阶为（）。

100判断题下面命题的真值:

循环群的生成元也就是其任何子群的生成元。

101、什么叫做子群？

102名词解释:

平凡子群与真子群

103、设<

就是群,B就是G的有限子集,如果★在B上满足封闭性,则<

B,★>

的子群。

104、填空:

H,★>

就是群<

的子群,a∈G,定义集合:

aH=（）

则称aH为a确定的H在G中的左（右）陪集。

105设H3={0,2,4},就是以6为模的加法运算。

H3,+6>

N6,+6>

并分别求左陪集1H3与2H3。

106、设N6={0,1,2,3,4,5},＋6就是N6上以6为模的加法运算。

即

任何x,y∈N6,x＋6y=（x+y）（mod6）,例如4＋65＝9（mod6）=3

1.画出<

N6,＋6>

2.<

就是否为群？

3.如果就是群,它有几个子群？

分别列出子群的运算表。

107、设<

就是群、∀a∈G,令H={y|y★a=a★y,y∈G}

求证,<

108、设<

就是个群,R就是G中等价关系,定义为:

对于任何a,b,c∈G,

如果有<

a*b,a*c>

∈R,则<

b,c>

∈R、又定义集合H为

H＝{x|x∈G,且<

x,e>

∈R,e就是G中幺元}

H,*>

109、设<

的子群,定义集合A如下:

A={x|x∈G,x★H★x-1=H}

A,★>

的子群、

110p就是个质数,证明pm阶群中必包含着一个p阶子群、

111、证明25阶群必含有5阶子群。

112、p就是个素数,<

就是个p阶循环群,则G中有多少个生成元？

113<

的子群,任取a,b∈G,则aH=bH的充分且必要条件就是（）

114、设<

就是个群,且|G|=11,任取a,b∈G,且a,b不就是幺元,设a,b的阶分别就是m与n,令A={a1,a2,…am},B={b1,b2,…bn}。

试问A、B以及G三者有什么关系？

115<

就是群,定义G上关系R如下;

R={<

|∃z∈G,使得y=z★x★z-1}

116设<

就是个群,<

K,*>

就是其子群,在G上定义关系R为:

任意a,b∈G,aRb⇔存在h∈H,k∈K使得b=h*a*k

证明R就是G上等价关系、

117、设<

就是群<

的子群,R就是G上关系,定义如下:

aRb当且仅当a-1*b∈H,a,b∈G

1.求证R就是G上等价关系、

2.e就是G中幺元,由e确定的相对R的等价类[e],求证[e]=H。

118、设f与g都就是群<

G1,★>

到<

G2,ο>

的同态,证明<

C,★>

的一个子群,其中

C={x|x∈G1且f（x）=g（x）}

119、设f就是从群<

G2,⊗>

的同态映射,则f为入射,当且仅当Ker（f）={e1},其中e1就是G1中的幺元。

120、、G就是个6阶群,证明G中一定有且只有一个3阶子群。

121设<

就是群,S就是G的非空子集,如果任何a,b∈S有a★b-1∈S,则<

122已知<

H1,★>

H2,★>

的子群,求证<

H1∩H2,★>

就是<

、<

123设<

就是其子群,且已知|H|＝6,|K|＝35,试求H⋂K。

并对您的回答说明原因。

124、设<

的子群,且H⊂G,|G|=15,则<

此说法正确否？

125、填空:

设<

就是个群,且已知|G|＝n,如果元素a∈G,a的阶为m,则m与n的关系就是（）

126、填空:

设f就是从群<

Y,⊗>

的同态映射,x1,x2∈X,且y1＝f（x1）,y2＝f（x2）,

则f（（x1-1★x2）-1）=（）。

127、设f就是从群<

的同态映射,K为f的同态核,即ker（f）=K。

求证,对任何X中元素x,y,如果x与y在K的同一个陪集中,则有f（x）=f（y）。

128、填空:

代数系统<

R,*,∙>

就是个环,当且仅当<

R,*>

就是个（）,<

R,∙>

就是个（）,并且还满足条件（）。

129、填空:

就是个交换环,当且仅当<

R,∙>

R,*,>

130、填空:

就是个含幺环,当且仅当<

131填空:

就是个整环,当且仅当<

就是个（）,并且还满足条件（）与（）。

132填空:

就是个域,当且仅当（）就是个交换群,（）就是个交换群,并且还满足条件（）。

133填空:

F,*,∙>

就是个域,当且仅当<

就是（）,<

F－{0},∙>

就是（）,并且还满足条件（）。

134、令N就是自然数集合,I就是整数集合,R就是实数集合,+与·

分别就是加法与乘法,<

N,+,·

I,+,·

R,+,·

中哪些不就是环不？

如果就是环,那些不就是整环？

哪些不就是域？

135、判断<

P（E）,∪,∩>

P（E）,⊕,∪>

P（E）,⊕,∩>

就是否为环？

136、试证<

I,⊕,ο>

就是有幺元的交换环,其中⊕与ο的

定义为:

对任何a,b∈I,

a⊕b=a+b-1aοb=a+b-ab

137、、设<

A,+,∙>

就是一个环,并且对于任何a∈A,有a∙a=a,证明

a）、对于任何a∈A,都有a+a=θ,其中θ就是+的幺元、

就是一个交换环、

138、下面的说法就是否正确？

说明理由

、设<

F,+,*>

就是个域,对任何a,b∈F,如果a*