第五届峨眉校区数学建模知识竞赛复赛题文档格式.docx

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现在假设中山梁一栋教案楼的房屋的屋顶都是矩形，长12M，从屋脊到檐沟的宽为6M，屋顶对水平面的倾角还未定，但大致将在20度和50度之间。

一家檐沟生产公司急欲与学校基建处签定供货合同，该公司声称他们的新型塑料檐沟经久耐用，无论什么样的天气情况都能有效地满足要求，对这批屋顶，设计的檐沟横截面是半径为7.5厘M的半圆，用一条直径为10厘M的排水管就够了。

学校的领导不能确信檐沟供应单位的声称，因此找到了对数学建模感兴趣的你，希望建一个数学模型，在批量定货前对此作一个全面分析，其中至关重要的是这种尺寸在暴雨时是否足以排水。

并提交合理的建议。

3、雇员问题

峨眉校区的后勤部门一周中每天需要不同数目的全时雇员来对学校的卫生，教案楼的财务安全，以及水电设施的维修进行管理。

每个人每天工作8小时：

周一到周四每天至少50人，周五和周日每天至少80人，周六至少90人。

现规定应聘者须连续工作5天，试确定聘用方案，即周一到周六每天聘用多少人，使在满足需要的条件下聘用的总人数最少？

如果周日的需要量由80增加至90人，方案怎样改变？

如果可以用两个临时聘用的半时雇员（一天工作4小时，不需要连续工作）代替一个全时雇员，但规定半时雇员的工作量不得超过总工作量的四分之一。

又设全时雇员和半时雇员每小时的酬金分别为5元和3元，试确定聘用方案，使在满足需要的条件下所付酬金总额最小？

4、医疗站选址问题

今年我国提出了“建设社会主义新农村”的伟大举措，国家将拿出1000多亿元建设农村公路，数百亿元解决农民看病难。

到“十一五”期末，我国要基本实现村村通公路，基本建立起县、乡、村三级农村医疗卫生服务网络。

我们交大的好邻居——黄湾乡也不例外。

现假定黄湾乡有7个村，7个村的位置坐标大致如下表所示（单位：

公里）：

村

1

2

3

4

5

6

7

坐标x

0.00

6.39

32.23

5.09

20.96

2.23

15.01

坐标y

-5.92

-12.85

24.18

17.37

14.47

4.82

并且各村之间已经建设起了非常发达的“纵横交叉”的公路网络。

但黄湾乡乡长在完成国家任务的时候遇到了如下问题，他来寻求峨眉校区的大学生——你的帮助，作为一名交大学子，用你的数学知识来帮助他解决下面两个问题：

（1）现欲修建一个大型的医疗站来解决黄湾乡的各村看病难的问题，问应该建医疗站在什么位置？

（2）如果要修建两个医疗站呢？

试建立问题的数学模型，并给出你的算法、程序及结果。

5、图书馆购书计划的制定

西南交大峨眉校区图书馆馆藏图书，主要目的不是为了收藏而是为了使用，是为了满足广大师生对图书的需要。

图书馆每年用于购书的经费是有限的，如何合理分配使用，以便使有限的购书经费最大限度地发挥其特定的经济效益是图书馆工作的重要环节之一。

假设今年图书馆计划投入100万元用于购置各种图书，并且准备按照表1中的中图分类进行购置。

现请你帮助解决以下问题：

（1）图书最终的实现价值取决于图书的被利用率。

因而评价一本书的真正价值必须考虑到它的流通量大小和借用时间的长短，请分析这一问题，并根据09年各类图书的出借情况（表1），提出一种评价一本书籍在该校实际使用价值的办法。

（2）依据你对前问的研究，通过建立数学模型的方法来确定10年购书资金的分配方案。

购书方案要使所购的图书能够产生最大的实际效益，此外，图书馆还应当注意到各类馆藏图书的更新率不得低于8%。

（3）11本科教案水平评估在即，按优秀评估要求，学校还差39.1万册图书。

如果学校决定加大投入，下大力气，确保优秀，则应如何制定购书方案，使得投入经费尽可能少，而同时图书使用价值尽可能大。

表1：

09年图书馆统计数据

类别

内容

种类数

册数

图书总价：

元

出借种类数

出借册次

总出借时间：

天

A、B

马克思主义、列宁主义、毛泽东思想、哲学

2997

8991

225674.1

1858

7433

252707

C、N

社会科学总论、自然科学总论

1827

5481

121130.1

1078

3773

147137

D

法律

5774

17322

486748.2

4042

20209

909405

E、R、S、U、V

军事、医药、卫生、农业科学、交通运输、航空、航天、劳动保护科学（安全科学）

2906

7266

188916

1686

5900

247800

X

环境科学

618

1731

65951.1

383

1725

87966

F

经济

9793

35256

1131718

7639

38194

1756924

G

文化、科学、教育、体育

2277

6375

128137.5

1252

4007

164293

H3

常用外国语

5401

19983

561522.3

4267

23893

1218553

I

文学

11091

29946

733976.5

7764

34937

1222795

J

艺术

2731

7101

199538.1

1775

5681

272678

K

历史、地理

3543

7794

304745.4

2055

6164

246574

O

数理科学和化学

2569

8220

206322

1927

8670

476824

P

人文学、地球科学

266

744

20182.4

159

462

23579

Q

生物科学

891

2850

100035

695

2987

161306

TH

机械仪表工业

905

2715

98011.5

652

152865

TM、TS

电工技术轻工业、手工业

1402

3645

102424.5

771

2236

71554

6、室内装修的光源安装决策

假设学校准备重新装饰一个会客厅，以便在有高层领导来访之时作为接待之用。

现已知该会客厅长为20M，宽为16M，在距离地面高3.2M的位置安放多个光源，光源可以排列成矩形阵列（如图1，即将所需的光源均匀地排列成一个

型的矩阵）；

也可以排成其它形状（如图2的椭圆形），其中半长轴长：

8M，半短轴长6M，椭圆的中心位于大厅顶部的中心，有3个灯放置于椭圆的焦点和中心处，其余的椭圆上均匀地放置几个光源。

假设每个光源的亮度P均相同，例如P=100[W]。

下面要求你来运用数学建模知识，帮助学校完成下列问题：

（1）不考虑墙面和地面的反射，就图1给出如何计算大厅内任意一点处距离地面1.2M处的光照强度？

（光源对目标点的光照强度与该光源到目标点距离的平方成反比，与该光源的强度成正比）。

（2）对图1，画出距离地面1.2M各个点的光照强度与位置（横纵坐标）之间的函数关系曲面图，试同时给出一个用于近似计算的函数关系式。

（3）对图1，结合成本、人体感光舒适度等因素，问应该设置多少个光源为最合适，应该如何安装？

（4）对图1，如果考虑墙面和地面有部分的反射能力，重做问题

（1）到（3）。

7、面试问题

现有10名同学来数学建模协会面试，协会要求每位同学必须经过招新咨询、部长复试以及会长面试三个阶段，且不许插队（10同学在任意阶段面试的顺序一致）。

由于个同学的经历不同，每个地点面试所需要的时间也不同。

具体如下表（单位：

min）：

同学1

同学2

同学3

同学4

同学5

同学6

同学7

同学8

同学9

同学10

招新咨询

15

10

20

17

16

25

11

13

14

部长复试

22

会长面试

8

18

19

10位同学约定面试完之后一起回去，现请你帮他们设计一种面试顺序，让他们能尽可能早的结束面试。

假设中途不得休息，且面试开始为早上8点，问最早可以几点离开。

8、配送问题

一公司有二厂，分处A、B两市，另外还有4间具有存贮库房的机构，分别在P、Q、R和S市。

公司出售产品给6家客户Ci，i=1,2,…,6，由各库房或者直接由工厂向客户供货。

配送货物的费用由公司负担，单价见下表：

受货者

供货者

A市厂

B市厂

P库房

R

S

0.5

--

Q库房

0.3

R库房

1.0

S库房

0.2

客户C1

2.0

C2

1.5

C3

C4

C5

C6

注：

单位：

元/吨；

“--”表示无供货关系。

某些客户表示喜欢有某厂或者某库房供货。

计有：

C1----A市厂；

C2----P库房；

C5----Q库房；

C6----R库房或S库房

A市厂月供货不能超过150千吨，B市厂月供货量不能超过200千吨。

各库房的月最大流通量千吨数为：

库房

流通量

70

100

40

各客户每月所必须满足的供货量为（单位：

千吨）：

客户

C1

要求货量

35

60

公司希望确定以下事项（不考虑供货者的喜好选择）：

（1）如何配货，总费用最低？

（2）增加工厂和库房的配送能力对配送费用的影响是什么？

（3）费用单价、工厂和库房生产能力以及客户对供货量的最低要求等，各项微小变化对配货方案的影响是什么？

（4）能不能满足各客户对供货者的喜好选择？

如果满足，会引起配送费用提高多少？

9，银行工作时间问题

同学们的银行卡，饭卡都是与校内的中国银行有着千丝万缕的关系。

假设中国银行每天的营业时间是上午9:

00到下午5:

00.根据经验，每天不同的时间段所需要的服务员数量如下：

时间段（时）

9-10

10-11

11-12

12-1

1-2

2-3

3-4

4-5

服务员数量

银行可以雇佣全时和半时两类服务员。

全时服务员每天报酬100元，从上午9:

00工作，但中午12:

00到下午2:

00之间必须安排1小时的午餐时间。

银行每天可以雇佣不超过3名的半时服务员，每个半时服务员必须连续工作4小时，报酬40元。

请你解决下面的问题：

（1）中国银行应如何雇佣全时和半时两类服务员？

（2）如果不能雇佣半时服务员，每天至少增加多少费用？

（3）如果雇佣半时服务员数量没限制，每天可以减少多少费用？

并结合你的结论对银行的管理人员提一定的建议。

10、工件加工次序问题

现有14件工件等待在一台机床上加工，某些工件的加工必须安排在另一些工件完工以后才能开始，第j号工件的加工时间

及先期必须完工的工件号i由表一给出。

（1）若给出一个加工顺序，则确定了每个工件的完工时间（包括等待与加工两个阶段）。

试设计一个满足条件的加工顺序，使各个工件的完工时间之和最小。

（2）若第j号工件紧接着第i号工件完工后开工，机床需要花费的准备时间是

。

试设计一个满足条件的加工顺序，使机床花费的总时间最小。

（3）假定工件的完工时间（包括等待与加工两个阶段）超过一确定时限u时，则需支付一定的补偿费用，其数值等于超过的时间与费用率之积，各工件的补偿费用率见表二。

设u=100，

，试安排一个加工顺序，使得总补偿费用最小。

表一加工顺序

工件号j

9

12

tj

28

42

32

24

36

前期工件号

表二补偿费率

费率

11、配送问题

峨眉一公司有二厂，分处A、B两市，另外还有4间具有存贮库房的机构，分别在P、Q、R和S市。

12、飞机运输问题

一个运输公司每天有100吨的航空运输能力。

公司每吨收空运费250美元。

粗除了重量的限制外，由于飞机货场容积有限，公司每天只能运50000立方英尺的货物。

每天要运送的货物数量如下：

货物

重量（吨）

体积（立方英尺/吨）

550

800

400

（1）求使得利润最大的每天航空运输的各种货物的吨数。

（2）计算每个约束的影子价格，解释它们的含义。

（3）公司有能力对它的一些旧的飞机进行改装来增大货运区域的空间。

每架飞机的改造要花费200000美元，可以增加2000立方英尺的容积。

重量限制仍保持不变。

假设飞机每年飞行250天，这些旧飞机剩余的使用寿命约为5年。

在这种情况下，是否值得改装？

有多少架飞机时才值得改装？