世纪金榜高考数学文科全国通用一轮复习练习75直线平面垂直的判定及其性质 含答案解析.docx

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世纪金榜高考数学文科全国通用一轮复习练习75直线平面垂直的判定及其性质含答案解析

课时提升作业四十三

直线、平面垂直的判定及其性质

（25分钟　60分）

一、选择题（每小题5分,共25分）

1.关于直线l,m及平面α,β,下列命题中正确的是　（　　）

A.若l∥α,α∩β=m,则l∥m

B.若l∥α,m∥α,则l∥m

C.若l⊥α,l∥β,则α⊥β

D.若l∥α,m⊥l,则m⊥α

【解析】选C.A中,l与m可能平行,异面,B中,l与m可能平行、相交、异面,故A,B错;D中,m与α也可能平行,斜交,故D错;C中,由l∥β知,平面β中存在直线n∥l,则由l⊥α,可得n⊥α,由面面垂直的判定定理知α⊥β,故C正确.

2.（2016·临沂模拟）设a,b,c是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则a⊥b的一个充分条件是　（　　）

A.a⊥c,b⊥cB.α⊥β,a⊂α,b⊂β

C.a⊥α,b∥αD.a⊥α,b⊥α

【解析】选C.对于选项C,在平面α内存在m∥b,因为a⊥α,所以a⊥m,故a⊥b;A,B选项中,直线a,b可能是平行直线,相交直线,也可能是异面直线;D选项中一定推出a∥b.

3.（2016·聊城模拟）在下列四个正方体中,能得出AB⊥CD的是　（　　）

【解析】选A.A选项中,因为CD⊥平面AMB,所以CD⊥AB,B选项中,AB与CD成60°角;C选项中,AB与CD成45°角;D选项中,AB与CD夹角的正切值为.

4.（2016·泰安模拟）已知ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,下列判断中正确的是　（　　）

A.AB⊥PC

B.AC⊥平面PBD

C.BC⊥平面PAB

D.平面PBC⊥平面PDC

【解析】选C.由题意画出几何体的图形,

如图,显然AB⊥PC不正确;

AC不垂直PO,所以AC⊥平面PBD不正确;BC⊥AB,

PA⊥平面ABCD,PA⊥BC,

PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB正确.

5.如图,在正四面体P-ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论不成立的是　（　　）

A.BC∥平面PDF

B.DF⊥平面PAE

C.平面PDF⊥平面PAE

D.平面PDE⊥平面ABC

【解析】选D.因BC∥DF,DF⊂平面PDF,BC⊄平面PDF,所以BC∥平面PDF,A成立;易证BC⊥平面PAE,BC∥DF,所以结论B,C均成立;点P在底面ABC内的射影为

△ABC的中心,不在中位线DE上,故结论D不成立.

二、填空题（每小题5分,共15分）

6.如图所示,在三棱锥D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,点E是AC的中点,则下列命题中正确的是　　　　（填序号）.

①平面ABC⊥平面ABD;

②平面ABC⊥平面BCD;

③平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE;

④平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE.

【解析】由AB=CB,AD=CD,点E为AC中点,知AC⊥DE,AC⊥BE,

又因为DE∩BE=E,从而AC⊥平面BDE,故③正确.

答案:

③

7.在多面体ABCDE中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,

AC=AD=CD=DE=2AB,F为棱CE上异于点C、E的动点,

则下列说法正确的有　　　　　.

①直线DE与平面ABF平行;

②当F为CE的中点时,BF⊥平面CDE;

③存在点F使得直线BF与AC平行;

④存在点F使得DF⊥BC.

【解析】①因为AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,所以DE∥AB,而DE⊄平面ABF,AB⊂平面ABF,所以直线DE与平面ABF平行,正确;

②当F为CE的中点时,取CD的中点M,连接AM,MF,则MFDE,又ABDE,所以AB􀱀MF,所以四边形ABFM是平行四边形,BF∥AM.

而AM⊥CD,DE⊥AM,CD∩DE=D,所以AM⊥平面CDE.所以BF⊥平面CDE,因此正确;

③点C是平面ABF外的一点,因此BF与AC为异面直线,不可能平行,不正确;

④由②可得:

当F为CE的中点时,BF⊥DF,DF⊥CE,BF∩CE=F,所以DF⊥平面BCE,所以存在点F使得DF⊥BC,正确.

综上可得:

①②④正确.

答案:

①②④

8.（2016·泉州模拟）点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动,给出下列命题:

①三棱锥A-D1PC的体积不变;

②A1P∥平面ACD1;

③DP⊥BC1;

④平面PDB1⊥平面ACD1.

其中正确的命题序号是　　　　.

【解析】连接BD交AC于点O,连接DC1交D1C于点O1,连接OO1,则OO1∥BC1,所以BC1∥平面AD1C,动点P到平面AD1C的距离不变,所以三棱锥P-AD1C的体积不变.

又因为=,所以①正确.

因为平面A1C1B∥平面AD1C,A1P⊂平面A1C1B,所以A1P∥平面ACD1,②正确.

由于当点P在B点时,DB不垂直于BC1即DP不垂直BC1,故③不正确;由于DB1⊥D1C,DB1⊥AD1,D1C∩AD1=D1,所以DB1⊥平面AD1C.DB1⊂平面PDB1,所以平面PDB1⊥平面ACD1,④正确.

答案:

①②④

三、解答题（每小题10分,共20分）

9.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,点E,F分别为BB1,AC的中点.

（1）求证:

BF∥平面A1EC.

（2）求证:

平面A1EC⊥平面ACC1A1.

【证明】

（1）连接AC1交A1C于点O,连接OE,OF,

在正三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形ACC1A1为平行四边形,

所以OA=OC1,

又因为点F为AC中点,所以OF∥CC1且OF=CC1,

因为点E为BB1中点,

所以BE∥CC1且BE=CC1,

所以BE∥OF且BE=OF,所以四边形BEOF是平行四边形,所以BF∥OE,

又因为BF⊄平面A1EC,OE⊂平面A1EC,

所以BF∥平面A1EC.

（2）由

（1）知BF∥OE,因为AB=CB,点F为AC中点,

所以BF⊥AC,所以OE⊥AC.

又因为AA1⊥底面ABC,

而BF⊂底面ABC,所以AA1⊥BF.

由BF∥OE,得OE⊥AA1,

而AA1,AC⊂平面ACC1A1,且AA1∩AC=A,

所以OE⊥平面ACC1A1.

因为OE⊂平面A1EC,

所以平面A1EC⊥平面ACC1A1.

10.（2015·四川高考）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.

（1）请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）.

（2）判断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明你的结论.

（3）证明:

DF⊥平面BEG.

【解析】

（1）由展开图可知,F在B的上方,G在C的上方,H在D的上方,如图

（2）平面BEG∥平面ACH.证明如下:

连接AH,AC,CH,BE,BG,EG,

因为四边形BEHC和四边形ABGH为平行四边形,

所以BE∥CH,BG∥AH,

又因为BE,BG⊂平面BEG,且CH,AH⊄平面BEG,

所以CH∥平面BEG,AH∥平面BEG.

又因为CH,AH⊂平面ACH,且CH∩AH=H,

所以平面BEG∥平面ACH.

（3）连接DF,HF,CF,交点如图,取DH,DC中点分别为J,K,连接EJ,JG,JM,KB,KN,KG,

因为J,M,K,N分别为DH,HF,DC,FC的中点,所以DF∥JM∥KN.

设正方体棱长为2a,则EJ=GJ=BK=GK=a,

所以三角形JEG,KBG为等腰三角形,

所以JM⊥EG,KN⊥BG,

那么DF⊥EG,DF⊥BG.

又因为EG,BG⊂平面BEG,且EG∩BG=G,

所以DF⊥平面BEG.

【加固训练】（2016·秦皇岛模拟）如图所示,△ABC和△BCE是边长为2的正三角形,且平面ABC⊥平面BCE,AD⊥平面ABC,AD=2,

（1）证明:

DE⊥BC.

（2）求三棱锥D-ABE的体积.

【解析】

（1）取BC的中点F,连接AF,EF,BD,DF,

因为△BCE是正三角形,所以EF⊥BC,

又因为平面ABC⊥平面BCE,且交线为BC,所以EF⊥平面ABC,

又因为AD⊥平面ABC,所以AD∥EF,所以D,A,F,E共面,

又易知在正三角形ABC中,AF⊥BC,AF∩EF=F,

所以BC⊥平面DAFE,又因为DE⊂平面DAFE,故DE⊥BC.

（2）由

（1）知EF∥AD,所以VD-ABE=VE-DAB=VF-DAB=VD-ABF,而S△ABF=BF·AF=.

所以VD-ABF=S△ABF·AD=1,

即VD-ABE=1.

（20分钟　40分）

1.（5分）（2016·枣庄模拟）如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,

∠BAC=90°,BC1⊥AC,则点C1在底面ABC上的射影H必在

　（　　）

A.直线AB上

B.直线BC上

C.直线AC上

D.△ABC内部

【解析】选A.连接AC1,因为BC1⊥AC,BA⊥AC,BA∩BC1=B,所以AC⊥平面ABC1,

所以平面ABC⊥平面ABC1,

因为平面ABC∩平面ABC1=AB,

所以C1在底面ABC上的射影H在直线AB上.

2.（5分）（2016·滨州模拟）如图,在正四棱锥S-ABCD中,E是BC的中点,P点在侧面△SCD内及其边界上运动,并且总是保持PE⊥AC,则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形是　（　　）

【解析】选A.取CD的中点F,连接EF,BD,则AC⊥EF,

又因为点S在平面ABCD内的射影在BD上,且AC⊥BD,所以AC⊥SB,取SC的中点Q,

连接EQ,FQ,则EQ∥SB,

所以AC⊥EQ,又因为AC⊥EF,EQ∩EF=E,

所以AC⊥平面EQF,

因此点P在FQ上移动时总有AC⊥EP.

3.（5分）如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点F在线段AA1上,当AF=　　　　时,CF⊥平面B1DF.

【解析】因为B1D⊥平面A1ACC1,

所以CF⊥B1D,所以为了使CF⊥平面B1DF,

只要使CF⊥DF,

设AF=x,则CD2=DF2+FC2,

所以x2-3ax+2a2=0,所以x=a或x=2a.

答案:

a或2a

4.（12分）如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.

求证:

（1）直线PA∥平面DEF.

（2）平面BDE⊥平面ABC.

【证明】

（1）因为D,E分别为棱PC,AC的中点,

所以PA∥DE,

又因为PA⊄平面DEF,DE⊂平面DEF,

所以PA∥平面DEF.

（2）由

（1）知PA∥DE,又因为PA⊥AC,

所以DE⊥AC,

又因为F是AB的中点,E是AC的中点,

所以DE=PA=3,EF=BC=4,

又因为DF=5,所以DE2+EF2=DF2,

所以DE⊥EF,因为EF,AC是平面ABC内两条相交直线,所以DE⊥平面ABC,

又因为DE⊂平面BDE,

所以平面BDE⊥平面ABC.

5.（13分）（2016·聊城模拟）如图,AB为圆O的直径,E是圆O上不同于A,B的动点,四边形ABCD为矩形,且AB=2,AD=1,平面ABCD⊥平面ABE.

（1）求证:

BE⊥平面DAE.

（2）当点E在的什么位置时,四棱锥E-ABCD的体积为.

【解析】

（1）因为四边形ABCD为矩形,所以DA⊥AB,

又因为平面ABCD⊥平面ABE,且平面ABCD∩平面ABE=AB,所以DA⊥平面ABE,而BE⊂平面ABE,所以DA⊥BE,

又因为AB为圆O的直径,E是圆O上不同于A,B的动点,所以AE⊥BE,

因为DA∩AE=A,所以BE