届高考数学二轮复习第1部分专题三三角函数与解三角形必考点.docx
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届高考数学二轮复习第1部分专题三三角函数与解三角形必考点
专题三 三角函数与解三角形
必考点一 三角恒等变换与求值
[高考预测]——运筹帷幄
1．三角函数定义、诱导公式与和差倍半角公式结合进行三角恒等变换、求三角函数值．
2．结合简单的三角函数图象，求三角函数值或角度．
[速解必备]——决胜千里
1．诱导公式都可写为sin或cos的形式．
根据k的奇偶性：
“奇变偶不变（函数名），符号看象限”．
2．公式的变形与应用
（1）两角和与差的正切公式的变形
tanα＋tanβ＝tan（α＋β）（1－tanαtanβ）；
tanα－tanβ＝tan（α－β）（1＋tanαtanβ）．
（2）升幂公式
1＋cosα＝2cos2；1－cosα＝2sin2.
（3）降幂公式
sin2α＝；cos2α＝.
（4）其他常用变形
sin2α＝＝；
cos2α＝＝；
1±sinα＝2；
tan＝＝.
3．角的拆分与组合
（1）已知角表示未知角
例如，2α＝（α＋β）＋（α－β），2β＝（α＋β）－（α－β），
α＝（α＋β）－β＝（α－β）＋β，
α＝－＝＋.
（2）互余与互补关系
例如，＋＝π，
＋＝.
（3）非特殊角转化为特殊角
例如，15°＝45°－30°，75°＝45°＋30°.
[速解方略]——不拘一格
类型一 三角函数概念，同角关系及诱导公式
[例1]
（1）（2016·高考全国乙卷）已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.
解析：
基本法：
将θ－转化为－.
由题意知sin＝，θ是第四象限角，所以
cos>0，所以cos＝＝.
tan＝tan＝－
＝－＝－＝－.
答案：
－
速解法：
由题意知θ＋为第一象限角，设θ＋＝α，
∴θ＝α－，
∴tan＝tan＝－tan.
如图，不妨设在Rt△ACB中，∠A＝α，由sinα＝可得，
BC＝3，AB＝5，AC＝4，
∴∠B＝－α，∴tanB＝，
∴tanB＝－.
答案：
－
（2）若tanα＞0，则（ ）
A．sinα＞0 B．cosα＞0
C．sin2α＞0D．cos2α＞0
解析：
基本法：
由tanα＞0得α是第一或第三象限角，若α是第三象限角，则A，B错；由sin2α＝2sinαcosα知sin2α＞0，C正确；α取时，cos2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝－＜0，D错．故选C.
速解法：
∵tanα＝＞0，即sinαcosα＞0，
∴sin2α＝2sinαcosα＞0，故选C.
答案：
C
方略点评：
1基本法根据α的可能象限判断符号.,速解法是根据tanα及sin2α的公式特征判断符号，更简单.
2知弦求弦.利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解.
3知弦求切.常通过平方关系、对称式sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα建立联系，注意tanα＝的灵活应用.
4知切求弦.通常先利用商数关系转化为sinα＝tanα·cosα的形式，然后利用平方关系求解.
1．（2016·河北唐山模拟）已知2sin2α＝1＋cos2α，则tan2α＝（ ）
A．－B.
C．－或0D.或0
解析：
基本法：
∵，
∴或
∴tan2α＝0或tan2α＝.
答案：
D
2．已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是________．
解析：
基本法：
由sinα＋2cosα＝0得tanα＝－2.
∴2sinαcosα－cos2α＝＝＝＝＝－1.
答案：
－1
类型二 三角函数的求值与化简
[例2]
（1）sin20°cos10°－cos160°sin10°＝（ ）
A．－B.
C．－D.
解析：
基本法：
原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin（20°＋10°）＝sin30°＝，故选D.
速解法：
从题目形式上看应是sin（α＋β）公式的展开式．
又∵20°＋10°＝30°，故猜想为sin30°＝.
答案：
D
方略点评：
基本法是构造sinα＋β的形式，再逆用公式.速解法是根据三角函数的特征猜想，大胆猜想也是一种方法.
（2）设α∈，β∈，且tanα＝，则（ ）
A．3α－β＝B．3α＋β＝
C．2α－β＝D．2α＋β＝
解析：
基本法：
由tanα＝得＝，即sinαcosβ＝cosα＋sinβcosα，所以sin（α－β）＝cosα，又cosα＝sin，所以sin（α－β）＝sin，又因为α∈，β∈，所以－＜α－β＜，0＜－α＜，因为α－β＝－α，所以2α－β＝，故选C.
速解法一：
∵tan＝，
由tanα＝知，α、β应为2倍角关系，A、B项中有3α，不合题意，C项中有2α－β＝.
把β＝2α－代入
＝
＝＝tanα，题设成立．故选C.
速解法二：
＝＝tan
∴tanα＝tan
又∵α∈，β∈，∴∈，
∴＋∈，∴α＝＋，
∴2α＝＋β，∴2α－β＝.故选C.
答案：
C
方略点评：
1基本法是切化弦，利用正弦等式寻找角的关系.速解法都是利用tan的公式及特征，代入验证或者转化正切等式.
2已知值求角时，注意角的范围，要尽量使范围“小”一点.
1．若tanα＝2tan，则＝（ ）
A．1B．2
C．3D．4
解析：
基本法：
＝
＝＝
＝，
∵tanα＝2tan，∴＝＝3.故选C.
答案：
C
2．（2016·河北石家庄模拟）已知tan（3π－α）＝－，tan（β－α）＝－，则tanβ＝________.
解析：
基本法：
依题意得tanα＝，又tan（β－α）＝－，
∴tanβ＝tan[（β－α）＋α]＝＝.
答案：
[终极提升]——登高博见
解选择题、填空题的方法——特征分析法
方法诠释
特征分析法：
不同的选择题各有其不同的特点，某些选择题的条件、结论或条件与结论之间存在一些特殊关系，只要发现了这些特殊关系就能很快作出选择．特征分析法是指根据题目所提供的信息，抓住数值特征、结构特征、位置特征（比如：
定点、定线、拐点）进行大跨度、短思维链的推理、判断的方法．它体现了对知识的数、形、结构的深刻认识与状态把握，直觉、联想、猜想是思维的联结点．
适用范围
从表面上看已知条件式子，庞大而复杂，直接进行代数推理计算会很麻烦，可考虑各种方法.
限时速解训练八 三角恒等变换与求值
（建议用时40分钟）
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1．已知sin＝，那么cosα＝（ ）
A．－ B．－
C.D.
解析：
选C.sin＝sin＝cosα＝.
2．若tanα＝，tan（α＋β）＝，则tanβ＝（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选A.tanβ＝tan
＝
＝＝＝，故选A.
3．设cos（－80°）＝k，那么tan100°＝（ ）
A.B．－
C.D．－
解析：
选B.sin80°＝
＝＝，所以tan100°＝－tan80°＝－＝－，故选B.
4．已知sinα＋cosα＝，α∈（0，π），则tanα＝（ ）
A．－1B．－
C.D．1
解析：
选D.法一：
由sinα＋cosα＝得（sinα＋cosα）2＝1＋2sinαcosα＝2，即2sinαcosα＝1，又因为α∈（0，π），则当cosα＝0时，sinα＝1，不符合题意，所以cosα≠0，所以＝＝1，解得tanα＝1，故选D.
法二：
由sinα＋cosα＝得：
sin＝，即sin＝1，∵0＜α＜π，
∴＜α＜，
∴α＋＝，即α＝
故tanα＝1，故选D.
5．若＝，则sinαcosα＝（ ）
A．－B．－
C．－D.
解析：
选B.法一：
由＝，得2（sinα＋cosα）＝sinα－cosα，即tanα＝－3.又sinαcosα＝＝＝－，故选B.
法二：
由题意得＝，即
4＋8sinαcosα＝1－2sinαcosα
∴10sinαcosα＝－3
即sinαcosα＝－，故选B.
6．若θ∈，sin2θ＝，则tanθ＝（ ）
A.B.
C．2D.
解析：
选C.法一：
∵sin2θ＝2sinθcosθ＝，且sin2θ＋cos2θ＝1，θ∈，∴sinθ＋cosθ＝，
sinθ－cosθ＝，
∴sinθ＝，cosθ＝，∴tanθ＝2，故选C.
法二：
由θ∈知tanθ≥1，
∴sin2θ＝，∴＝
∴＝解得tanθ＝（舍）或tanθ＝2.
7．在△ABC中，若3cos2＋5sin2＝4，则tanA·tanB等于（ ）
A．4B.
C．－4D．－
解析：
选B.由条件得3×＋5×＝4，即3cos（A－B）＋5cosC＝0，所以3cos（A－B）－5cos（A＋B）＝0，所以3cosAcosB＋3sinAsinB－5cosAcosB＋5sinAsinB＝0，即cosAcosB＝4sinAsinB，所以tanAtanB＝，故选B.
8．已知α为第二象限角，sinα＝，则sin的值等于（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选A.∵α为第二象限角，sinα＝，所以cosα＝－，则sin＝×－×＝，故选A.
9．若α是第四象限角，tan＝－，则cos＝（ ）
A.B．－
C.D．－
解析：
选D.由题意知，sin＝－，cos＝cos＝sin＝－.
10．（2016·贵州贵阳检测）已知sin＝，则cos的值是（ ）
A.B.
C．－D．－
解析：
选D.cos＝2cos2－1
＝2sin2－1＝2×－1＝－.
11．已知α满足sinα＝，那么sin·sin的值为（ ）
A.B．－
C.D．－
解析：
选A.原式＝sincos
＝sin＝cos2α＝（1－2sin2α）＝，故选A.
12．（2016·山西运城高三质检）已知向量a＝，b＝（4,4cosα－），若a⊥b，则sin＝（ ）
A．－B．－
C.D.
解析：
选B.∵a⊥b，
∴a·b＝4sin＋4cosα－
＝2sinα＋6cosα－
＝4sin－＝0，
∴sin＝.
∴sin＝－sin＝－.
二、填空题（把答案填在题中横线上）
13.已知tan（3π－x）＝2，则＝________.
解析：
tan（3π－x）＝tan（π－x）＝－tanx＝2，故tanx＝－2.故＝＝＝－3.
答案：
－3
14．若tanθ＝2，则2sin2θ－3sinθcosθ＝________.
解析：
法一：
原式＝cos2θ（2tan2θ－3tanθ）＝（2tan2θ－3tanθ）＝×（2×22－3×2）＝.
法二：
原式＝＝＝＝.
答案：
15．已知α∈，tan＝，则sinα＋cosα＝________.
解析：
依题意，＝，解得tanα＝－＝，因为sin2α＋cos2α＝1且α∈，解得sinα＝，cosα＝－，故sinα＋cosα＝－＝－.
答案：
－
16．已知＜β＜α＜，cos（α－β）＝，sin（α＋β）＝－，则sinα＋cosα的值为________．
解析：
根据已知得sin（α－β）＝，cos（α＋β）＝－，所以sin2α＝sin[（α＋β）＋（α－β）]＝sin（α＋β）cos（α－β）＋cos（α＋β）sin（α－β
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