届高考数学二轮复习第1部分专题三三角函数与解三角形必考点.docx
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届高考数学二轮复习第1部分专题三三角函数与解三角形必考点
专题三 三角函数与解三角形
必考点一 三角恒等变换与求值
[高考预测]——运筹帷幄
1.三角函数定义、诱导公式与和差倍半角公式结合进行三角恒等变换、求三角函数值.
2.结合简单的三角函数图象,求三角函数值或角度.
[速解必备]——决胜千里
1.诱导公式都可写为sin或cos的形式.
根据k的奇偶性:
“奇变偶不变(函数名),符号看象限”.
2.公式的变形与应用
(1)两角和与差的正切公式的变形
tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ);
tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ).
(2)升幂公式
1+cosα=2cos2;1-cosα=2sin2.
(3)降幂公式
sin2α=;cos2α=.
(4)其他常用变形
sin2α==;
cos2α==;
1±sinα=2;
tan==.
3.角的拆分与组合
(1)已知角表示未知角
例如,2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β),
α=(α+β)-β=(α-β)+β,
α=-=+.
(2)互余与互补关系
例如,+=π,
+=.
(3)非特殊角转化为特殊角
例如,15°=45°-30°,75°=45°+30°.
[速解方略]——不拘一格
类型一 三角函数概念,同角关系及诱导公式
[例1]
(1)(2016·高考全国乙卷)已知θ是第四象限角,且sin=,则tan=________.
解析:
基本法:
将θ-转化为-.
由题意知sin=,θ是第四象限角,所以
cos>0,所以cos==.
tan=tan=-
=-=-=-.
答案:
-
速解法:
由题意知θ+为第一象限角,设θ+=α,
∴θ=α-,
∴tan=tan=-tan.
如图,不妨设在Rt△ACB中,∠A=α,由sinα=可得,
BC=3,AB=5,AC=4,
∴∠B=-α,∴tanB=,
∴tanB=-.
答案:
-
(2)若tanα>0,则( )
A.sinα>0 B.cosα>0
C.sin2α>0D.cos2α>0
解析:
基本法:
由tanα>0得α是第一或第三象限角,若α是第三象限角,则A,B错;由sin2α=2sinαcosα知sin2α>0,C正确;α取时,cos2α=2cos2α-1=2×2-1=-<0,D错.故选C.
速解法:
∵tanα=>0,即sinαcosα>0,
∴sin2α=2sinαcosα>0,故选C.
答案:
C
方略点评:
1基本法根据α的可能象限判断符号.,速解法是根据tanα及sin2α的公式特征判断符号,更简单.
2知弦求弦.利用诱导公式及平方关系sin2α+cos2α=1求解.
3知弦求切.常通过平方关系、对称式sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα建立联系,注意tanα=的灵活应用.
4知切求弦.通常先利用商数关系转化为sinα=tanα·cosα的形式,然后利用平方关系求解.
1.(2016·河北唐山模拟)已知2sin2α=1+cos2α,则tan2α=( )
A.-B.
C.-或0D.或0
解析:
基本法:
∵,
∴或
∴tan2α=0或tan2α=.
答案:
D
2.已知sinα+2cosα=0,则2sinαcosα-cos2α的值是________.
解析:
基本法:
由sinα+2cosα=0得tanα=-2.
∴2sinαcosα-cos2α=====-1.
答案:
-1
类型二 三角函数的求值与化简
[例2]
(1)sin20°cos10°-cos160°sin10°=( )
A.-B.
C.-D.
解析:
基本法:
原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=,故选D.
速解法:
从题目形式上看应是sin(α+β)公式的展开式.
又∵20°+10°=30°,故猜想为sin30°=.
答案:
D
方略点评:
基本法是构造sinα+β的形式,再逆用公式.速解法是根据三角函数的特征猜想,大胆猜想也是一种方法.
(2)设α∈,β∈,且tanα=,则( )
A.3α-β=B.3α+β=
C.2α-β=D.2α+β=
解析:
基本法:
由tanα=得=,即sinαcosβ=cosα+sinβcosα,所以sin(α-β)=cosα,又cosα=sin,所以sin(α-β)=sin,又因为α∈,β∈,所以-<α-β<,0<-α<,因为α-β=-α,所以2α-β=,故选C.
速解法一:
∵tan=,
由tanα=知,α、β应为2倍角关系,A、B项中有3α,不合题意,C项中有2α-β=.
把β=2α-代入
=
==tanα,题设成立.故选C.
速解法二:
==tan
∴tanα=tan
又∵α∈,β∈,∴∈,
∴+∈,∴α=+,
∴2α=+β,∴2α-β=.故选C.
答案:
C
方略点评:
1基本法是切化弦,利用正弦等式寻找角的关系.速解法都是利用tan的公式及特征,代入验证或者转化正切等式.
2已知值求角时,注意角的范围,要尽量使范围“小”一点.
1.若tanα=2tan,则=( )
A.1B.2
C.3D.4
解析:
基本法:
=
==
=,
∵tanα=2tan,∴==3.故选C.
答案:
C
2.(2016·河北石家庄模拟)已知tan(3π-α)=-,tan(β-α)=-,则tanβ=________.
解析:
基本法:
依题意得tanα=,又tan(β-α)=-,
∴tanβ=tan[(β-α)+α]==.
答案:
[终极提升]——登高博见
解选择题、填空题的方法——特征分析法
方法诠释
特征分析法:
不同的选择题各有其不同的特点,某些选择题的条件、结论或条件与结论之间存在一些特殊关系,只要发现了这些特殊关系就能很快作出选择.特征分析法是指根据题目所提供的信息,抓住数值特征、结构特征、位置特征(比如:
定点、定线、拐点)进行大跨度、短思维链的推理、判断的方法.它体现了对知识的数、形、结构的深刻认识与状态把握,直觉、联想、猜想是思维的联结点.
适用范围
从表面上看已知条件式子,庞大而复杂,直接进行代数推理计算会很麻烦,可考虑各种方法.
限时速解训练八 三角恒等变换与求值
(建议用时40分钟)
一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)
1.已知sin=,那么cosα=( )
A.- B.-
C.D.
解析:
选C.sin=sin=cosα=.
2.若tanα=,tan(α+β)=,则tanβ=( )
A.B.
C.D.
解析:
选A.tanβ=tan
=
===,故选A.
3.设cos(-80°)=k,那么tan100°=( )
A.B.-
C.D.-
解析:
选B.sin80°=
==,所以tan100°=-tan80°=-=-,故选B.
4.已知sinα+cosα=,α∈(0,π),则tanα=( )
A.-1B.-
C.D.1
解析:
选D.法一:
由sinα+cosα=得(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=2,即2sinαcosα=1,又因为α∈(0,π),则当cosα=0时,sinα=1,不符合题意,所以cosα≠0,所以==1,解得tanα=1,故选D.
法二:
由sinα+cosα=得:
sin=,即sin=1,∵0<α<π,
∴<α<,
∴α+=,即α=
故tanα=1,故选D.
5.若=,则sinαcosα=( )
A.-B.-
C.-D.
解析:
选B.法一:
由=,得2(sinα+cosα)=sinα-cosα,即tanα=-3.又sinαcosα===-,故选B.
法二:
由题意得=,即
4+8sinαcosα=1-2sinαcosα
∴10sinαcosα=-3
即sinαcosα=-,故选B.
6.若θ∈,sin2θ=,则tanθ=( )
A.B.
C.2D.
解析:
选C.法一:
∵sin2θ=2sinθcosθ=,且sin2θ+cos2θ=1,θ∈,∴sinθ+cosθ=,
sinθ-cosθ=,
∴sinθ=,cosθ=,∴tanθ=2,故选C.
法二:
由θ∈知tanθ≥1,
∴sin2θ=,∴=
∴=解得tanθ=(舍)或tanθ=2.
7.在△ABC中,若3cos2+5sin2=4,则tanA·tanB等于( )
A.4B.
C.-4D.-
解析:
选B.由条件得3×+5×=4,即3cos(A-B)+5cosC=0,所以3cos(A-B)-5cos(A+B)=0,所以3cosAcosB+3sinAsinB-5cosAcosB+5sinAsinB=0,即cosAcosB=4sinAsinB,所以tanAtanB=,故选B.
8.已知α为第二象限角,sinα=,则sin的值等于( )
A.B.
C.D.
解析:
选A.∵α为第二象限角,sinα=,所以cosα=-,则sin=×-×=,故选A.
9.若α是第四象限角,tan=-,则cos=( )
A.B.-
C.D.-
解析:
选D.由题意知,sin=-,cos=cos=sin=-.
10.(2016·贵州贵阳检测)已知sin=,则cos的值是( )
A.B.
C.-D.-
解析:
选D.cos=2cos2-1
=2sin2-1=2×-1=-.
11.已知α满足sinα=,那么sin·sin的值为( )
A.B.-
C.D.-
解析:
选A.原式=sincos
=sin=cos2α=(1-2sin2α)=,故选A.
12.(2016·山西运城高三质检)已知向量a=,b=(4,4cosα-),若a⊥b,则sin=( )
A.-B.-
C.D.
解析:
选B.∵a⊥b,
∴a·b=4sin+4cosα-
=2sinα+6cosα-
=4sin-=0,
∴sin=.
∴sin=-sin=-.
二、填空题(把答案填在题中横线上)
13.已知tan(3π-x)=2,则=________.
解析:
tan(3π-x)=tan(π-x)=-tanx=2,故tanx=-2.故===-3.
答案:
-3
14.若tanθ=2,则2sin2θ-3sinθcosθ=________.
解析:
法一:
原式=cos2θ(2tan2θ-3tanθ)=(2tan2θ-3tanθ)=×(2×22-3×2)=.
法二:
原式====.
答案:
15.已知α∈,tan=,则sinα+cosα=________.
解析:
依题意,=,解得tanα=-=,因为sin2α+cos2α=1且α∈,解得sinα=,cosα=-,故sinα+cosα=-=-.
答案:
-
16.已知<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,则sinα+cosα的值为________.
解析:
根据已知得sin(α-β)=,cos(α+β)=-,所以sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β