概率论与数理统计学1至7章课后答案Word格式文档下载.docx
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22
6.3设X!
X2，…，Xn是抽自均值为方差为二的总体的样本，S
2
E（S）
1221
ECXi-nX）['
E（Xi）-nE（X）]
n—1i4n-1i4
口:
严旳（EXi）i[Var（X）（EX）]}
」2）-n匚
n
[n（二2」2）—L•n」2）]n-1
1/22、2
（n•）-
n—1
6.4在例6.2.3中，设每箱装n瓶洗净剂.若想要n瓶灌装量的平均阻值与标定值相差不超过0.3毫升的概率近似为95%,请问n至少应该等于多少？
X—403「
解：
因为P（|X-」卜：
0.3）=P（|卜）：
2：
』（03._n）-1
cr/Jncr/Jn
依题意有，2门（0.3..n）-1=0.95，即:
:
J（0.3.n）=0.975（1.96）
于是03一n=1.96，解之得n=42.7
所以n应至少等于43.
6.5假设某种类型的电阻器的阻值服从均值’=200欧姆，标准差二=10欧姆的分布
在一个电子线路中使用了25个这样的电阻.
（1）求这25个电阻平均阻值落在199到202欧姆之间的概率；
⑵求这25个电阻总阻值不超过5100欧姆的概率.
由抽样分布定理，知X近似服从标准正态分布N（0,1），因此
（1）
P（199岂202）「：
」（
202-200
10八25
不199—200
10/25）
▽/Jn
=心
（1）一门（一0.5）=门
（1）一1亠处（0.5）
=0.8413-10.6915=0.5328
——5100—
⑵P（nX乞5100）=P（X）=P（X乞204）
25
.204-200
」（）=」
（2）=0.9772
10/、25
6.6假设某种设备每天停机时间服从均值-4小时、标准差-=0.8小时的分布
（1）求一个月（30天）中，每天平均停机时间在1到5小时之间的概率；
⑵求一个月（30天）中，总的停机时间不超过115小时的概率.
解:
5_」5-41_4
"
（6.85）-：
：
」（-20.54）1
E（T）二:
xf（x）dx二
n-[（n1）/2]
2—
6.8设总体X~N（150,25）,现在从中抽取样本大小为25的样本,P{140_X_147.5}.
已知"
=150，；
丁=25，n=25，
P（140次乞147.5）7（147.5-150）_讥140一150）
25/^2525/J25
二讥-0.5）-讥-2）二门
（2）-「（0.5）
=0.9772-0.9615=0.2857
6.9设某大城市市民的年收入服从均值J=1.5万元、标准差打=0.5万元的正态分布.现
随机调查了100个人，求他们的平均年收入落在下列范围内的概率：
（1）大于1.6万元；
⑵小于1.3万元；
⑶落在区间[1.2,1.6]内.
—052
设X为人均年收入，则X~N（1.5,0.52），则X~N（1.5,），得
100
__16—15
（1）P（X.1.6）=1—P（X冬1.6）：
1-）
0.5M/100
=1一：
.：
』
（2）=1一0.9772=0.0228
—13_15
（2）P（X：
1.3）：
「（）=门（_4）=1_门（4）：
•1_1=0
0.5/J100
16—1512—15
（3）P（1.2cXc1.6）肚①（^^=^）—6（一二）
0.5/<
1000.5/J100
=心
（2）-门（-6）=0.9772
6.10假设总体分布为N（12,22）,今从中抽取样本X1,X2,川，X5・求
⑵
⑶
样本均值X大于13的概率；
样本的最小值小于10的概率;
样本的最大值大于15的概率.
P（Xa13）=1—P（X兰13）茫1—①
2/J5
=1-：
」（1.12）=1-0.8686=0.1314
设样本的最小值为Y,则丫二Min（X1,X2/,X5），于是
P（Y：
10）=1-P（Y-10）
=1-P（X1-10）P（X2-10）P（X5-10）
10_12
胡-二[1-卩区：
1o）]=1-胃[1-讥2）]
=1[1一门（一1）]=1匸
（1）=1-（0.8413）5二0.5785
idi
55
⑶设样本的最大值为乙则Z=Max（X1,X2,…，X5），于是
P（Z15）=1—P（Z乞15）
=1—P（X!
e15）P（X2乞15）P（X5乞15）
515_125
=1-「；
」（）=1-「；
」（1.5）=1—（0.9332）5=0.2923
6.11设总体X~N（＜c2），从中抽取容量样本X1,X2,川,X16,S2为样本方差.计算
s2
二2
P2-2.04.
所以
（n-1）S2=n-1,
（n-1）S2
*
2224
E（S）=；
「，D（S）=2z/（n-1）.
当n=16时，D（S2）=2匚4/15,且
P{S2/；
「乞2.04}=P{15S2/宀30.615}/-PUSS2//30.615}
=1—0.01=0.99（Z0.01（15）=30.578）.
第六章《样本与统计量》定理、公式、公理小结及补充:
（1）数理统计的基本概念
总体
在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）。
我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。
个体
总体中的每一个单兀称为样品（或个体）。
样本
我们把从总体中抽取的部分样品x1,x2,,xn称为样本。
中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。
在一般情况下，总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相冋分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。
在泛指任一次抽取的结果时，X1,X2，…,Xn表示n个随机变量（样本）；
在具体的一次
抽取之后，x1,x2,,xn表示n个具体的数值（样本值）。
我们称之为样本的两重性。
样本函数和统计量
设Xi,X2,…,Xn为总体的一个样本，称
®
虫（Xi,X2,…,Xn）
为样本函数，其中护为一个连续函数。
如果护中不包含任何未
知参数，则称申（X4,X2,…,Xn）为一个统计量。
常见统计量及其性质
、-1n
样本均值x=—瓦Xi.
ny
样本方差
1n一
S2-1E（XjX）2.
n-1y
样本标准差s—I1送（Xjx）2.
\n-1i吕
样本k阶原点矩
Mk=—瓦Xjk,k=1,2,….
ni二
样本k阶中心矩
1"
-k
Mk=—送（Xj-x）,k=2,3,….
E（X）=P，D（X）=「，
E（S2）"
2，E（S*2）—n1L,
1n—
其中s*2=—送（Xi—x）2，为二阶中心矩。
n7
（2）正态总体下的四大分布
正态分布
设X1,X2,,Xn为来自正态总体N（巴▽）的一个样本，则样本函数
defx—A
u--~N（0,1）.
▽/Vn
t分布
设Xi,X2,…，Xn为来自正态总体N（4,CT）的一个样本，则样
本函数
defx_卩
t-_~t（n1）,
s/Jn
其中t（n-1）表示自由度为n-1的t分布。
曾分布
设Xi,X2,…,Xn为来自正态总体N（4,CT）的一个样本，则样
def（n—1）S2/小
w—2~（n_1）,
er
其中X2（n—1）表示自由度为n-1的鼻2分布。
F分布
设X1,X2,Xn为来自正态总体N（巴6）的一个样本，而
%,丫2,…,yn为来自正态总体N（巴^2）的一个样本，则样本
函数
defS'
F—_~F（m—1,n2—1）,
S2/CT2
其中
4n1_1n2-
S2—（X^X）2,S；
-〔/（yi—y）2;
f（门11,n?
1）表示第一自由度为m1，第一自由度为
n2—1的F分布。
（3）正态总体下分布的性质
X与S独立。
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