实验四傅立叶光学的空间频谱与空间滤波实验文档格式.docx

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当g（x，y）是空间周期函数时，空间频率是不连续的。

例如空间周期为x0的一维函数g（x），即g（x）=g（x+x0）。

描述空间周期为x0的一维光栅时，光栅面上光振幅分布可展成傅里叶级数

（3）

上式中，n＝0，±

1，±

2，……；

f0=1/x0，称为基频；

fn=nf0，是基频的整数倍频，称为n次谐波的频率。

Gn是g（x）的空间频率，由傅里叶变换得

（4）

2、透镜的二维傅里叶变换性质

在光学上，透镜是一个傅里叶变换器，它具有二维傅里叶变换的本领。

理论证明，若在焦距为F的正透镜L的前焦面（X-Y面）上放一光场振幅透过率为g（x，y）的物屏，并以波长为λ的相干平行光照射，则在L的后焦面（X'

-Y'

面）上就得到g（x，y）的傅里叶变换，即g（x，y）的频谱，此即夫琅禾费衍射情况。

其空间频谱

（5）

其中空间频率fx、fy与透镜像方焦面（频谱面）上的坐标有如下关系

（6）

显然，

就是空间频率为（

）的频谱项的复振幅，是物的复振幅分布的傅里叶变换，这就为函数的傅里叶变换提供了一种光学手段，将抽象的函数演算变成了实实在在的物理过程。

由于

分别正比于x'

，y'

，所以当λ、F一定时，频谱面上远离坐标原点的点对应于物频谱中的高频部分，中心点x'

=y'

=0，fx=fy=0对应于零频。

3、阿贝成像原理

现在我们知道，物体应该看成是大量空间信息的集合体，光信息处理涉及的空间信息的频谱不再是一个抽象的数学概念，它是展现在透镜焦平面上的物理实在。

然而当初，最先把物体看成是大量空间信息的集合体的是阿贝。

1873年，德国人阿贝在研究显微镜设计方案时，提出了空间频率、空间频谱及二次衍射成像的概念，并进行了相应的实验研究。

他认为：

在相干光照明下，显微镜的成像可分为两个步骤。

第一步是通过物的夫琅禾费衍射，在物镜后焦面上形成一个衍射图样，第二步是这些衍射图样发出的子波相干涉，在像平面上相干迭加形成物的像，通过目镜可以观察到这个像。

图1是阿贝成像原理示意图，图中物G是正弦振幅透射光栅，成像的第一步是光栅的夫琅禾费衍射。

在G上取代表正弦光栅中的某些透光缝A、B、C，由正弦光栅透出的所有方向的光中，经计算知，只有三个方向的平行光是彼此相长地相干，会聚于焦平面F上，形成f+1、f0和f-1。

第二步，把这些衍射图样f+1、f0和f-1看成是相干的子波源，这三列波在像平面H上相干迭加，就得到正弦光栅的像。

成像的这两步骤本质上就是两次傅立叶变换，如果物的振幅分布是g（x,y），可以证明在物镜后面焦面

，

上的光强分布正好是g（x,y）的傅立叶变换

。

（只要令

为波长，F为物镜焦距）。

所以第一步骤起的作用就是把一个光场的空间分布变成为：

空间频率分布；

而第二步骤则是又一次傅氏变换将

又还原到空间分布。

按频谱分析理论，谱面上的每一点均具有以下四点明确的物理意义：

（1）谱面上任一光点对应着物面上的一个空间频率成分。

（2）光点离谱面中心的距离，标志着物面上该频率成分的高低，离中心远的点代表物面上的高频成分，反映物的细节部分。

靠近中心的点，代表物面的低频成分，反映物的粗轮廓。

中心亮点是0级衍射即零频，反映在像面上呈现均匀背景。

（3）光点的方向，指出物平面上该频率成分的方向，例如横向的谱点表示物面有纵向栅缝。

（4）光点的强弱则显示物面上该频率成分的幅度大小。

由以上定性分析可以看出，阿贝的二次成像理论的第一次衍射是透镜对物作空间傅里叶变换，它把物的各种空间频率和相应的振幅一一展现在它的焦平面上。

一般情况下，物体透过率的分布不是简单的空间周期函数，它们具有复杂的空间频谱，故透镜焦平面上的衍射图样也是极复杂的。

第二次衍射是指空间频谱的衍射波在像平面上的相干迭加。

如果在第二次衍射中，物体的全部空间频谱都参与相干迭加成像，则像面与物面完全相似。

如果在展现物的空间频谱的透镜焦平面上插入某种光学器件（称之为空间滤波器），使某些空间频率成分被滤掉或被改变，则像平面上的像就会被改变，这就是空间滤波和光学信息处理的基本思想。

在实际光学成像系统中，像和物不可能完全一样。

这是由于透镜的孔径是有限的，总有一些衍射角比较大的高次光线（高频信息）不能进入物镜而被丢掉。

所以像的信息总是比物的少些。

由于高频信息主要反映物的细节，因此，无论显微镜有多大的放大倍数，也不可能在像面上分辨出这些细节。

这是限制显微镜分辨本领的根本原因。

当物镜孔径极其小时，有可能只有零级衍射通过物镜，这时像面上有亮的均匀背景而无像分布。

4、空间滤波和光信息处理

光信息处理是通过空间滤波器来实现的，所谓空间滤波器是指在图1中透镜的后焦平面上放置某种光学元件来改造或选取所需要的信息，以实现光信息处理。

这种光学器件称为空间滤波器。

图2给出了几种常用的空间滤波器。

（a）低通滤波：

目的是滤去高频成分，保留低频成分。

由于低频成分集中在谱面的光轴（中心）附近，高频成分落在远离中心的地方，经低通滤波后图像的精细结构将消失，黑白突变处也变得模糊。

（b）高通滤波：

目的是滤去低频成分而让高频成分通过，其结果正好与低通滤波相反，使物的细节及边缘清晰。

（c）带通滤波：

根据需要，有选择的滤掉某些频率成分。

（d）方向滤波：

只让某一方向，例如纵向的频率成分通过，则像面上将突出了物的横向线条。

假如用一块二维矩形光栅作为物，二维矩形光栅的空间结构分布如图3（a），将其放在图1的G处，由于它的振幅透射率是二维周期函数，因此它的空间频谱也应该是二维的，用fx，fy表示。

当用平行光照射二维矩形光栅时，在图1中透镜的焦平面F上将显示出二维光栅的频谱，如图3（b）。

假如用一块有狭缝的屏作空间滤波器，将狭缝沿Y轴竖直放置在图1中的F面上，它将挡掉图3（b）中所有的fx，仅保留fy，如图3（c），此时在像平面H上的像将如图3（d）所示。

若用类似于图3（d）的一维光栅代替二维光栅放在图1的G处，则在图1的F和H面上也得到上述同样的像。

这就是说，图3（c）中的这条狭缝把二维光栅的像处理成一维光栅的像了。

若将狭缝水平放置，它将滤掉图3（b）中所有的fy，透镜的焦平面F上保留的频谱和像平面H上成的像将如图3（e）所示。

如果让狭缝45︒倾斜地放置在F面上，那么透镜的焦平面F上保留的频谱和像平面H上成的像将如图3（f）所示。

这表明用一条狭缝作滤波器，当其取向不同时，可将二维光栅的物处理成上述各种方位的一维光栅的像。

以上是采用滤波器进行光信息处理的最简单的实例，这类滤波器从物体的全部空间信息中选出所需要的部分，从而实现对物体信息的处理，获得由物体的部分空间信息所构成的像。

三、实验仪器

光学导轨，He-Ne激光器，薄透镜若干，滤波器（方向，低通各一），光栅（正交），网格字，白屏，毛玻璃，直尺。

四、实验步骤与内容

1．共轴光路调节

（1）在光具座上将小圆孔光阑靠近激光管的输出端，上、下、左、右调节激光管，使激光束能穿过小孔；

然后移远小孔，如光束偏离光阑，调节激光管的仰俯，再使激光束能穿过小孔，重新将光阑移近，反复调节，直至小孔光阑在光具座上平移时，激光束均能通过小孔光阑。

记录下激光束在光屏上的照射点位置。

（2）调整个器件高度，使激光器、显微物镜（扩束镜）、准直透镜、正交光栅、双凸透镜处于同一水平高度。

（在做以后的实验时，都要用透镜，调平激光管后，激光束直接打在屏Q上的位置为O，在加入透镜L后，如激光束正好射在L的光心上，则在屏Q上的光斑以O为中心，如果光斑不以O为中心，则需调节L的高低及左右，直到经过L的光束不改变方向（即仍打在O上）为止；

此时在激光束处再设带有圆孔P的光屏，从L前后两个表面反射回去的光束回到此P上，如二个光斑套准并正好以P为中心，则说明L的光轴正好就在P、O连线上。

不然就要调整L的取向。

如光路中有几个透镜，先调离激光器最远的透镜，再逐个由远及近加入其他透镜，每次都保持两个反射光斑套准在P上，透射光斑以O为中心，则光路就一直保持共轴。

）

（3）调整准直透镜与显微物镜（扩束镜）之间的距离，使用白屏观察准直后的光斑，光斑在近处和远处直径大致相等（一般以图像的直径为38.5mm左右为宜）。

注：

此时应将显微物镜小口径端作为激光入射方向。

图4

2．解释阿贝成像原理实验（波特实验）

（1）按图1-2布置光路。

用He—Ne激光器发出的一束平行光垂直照射光栅，G是空间频率为每毫米几十条的二维的正交光栅，在实验中作为物。

L是焦距为150mm的透镜，移动白屏使正交光栅在白屏上成放大的像。

（2）调节光栅，使像上条纹分别处于垂直和水平的位置。

这时在透镜后焦面上观察到二维的分立光点阵，这就是正交光栅的夫琅和费衍射（即正交光栅的傅里叶频谱），而在像平面上则看到正交光栅的放大像（如图5（a））。

图5解释阿贝成像原理实验光路及实验图像

（3）如在F面上设小孔光阑，只让一个光点通过，则输出面上仅有一片光亮而无条纹（如图5（b））。

换句话说，零级相应于直流分量，也可理解为δ函数的傅里叶变换为1。

（4）换用方向滤波器作空间滤波器放在F面上，狭缝处于竖直方位时，S屏上竖条纹全被滤去，只剩横条纹；

当然横条纹也可看作几个竖直方向上点源发出光波的干涉条纹（如图5（c,d））。

把狭缝转到水平方向观察S屏上条纹取向，并加以解释。

（5）再将方向滤波器转45°

角（如图1-2（e））。

此时观察到像平面上条纹是怎样的?

条纹的宽度有什么变化?

3．计算空间频率

（1）把二维正交光栅换成一维光栅，用白屏在L3的后焦面附近缓慢移动，确定频谱光点最清晰的位置，锁定白屏，察正交光栅的像的构成。

（2）在L3后焦面（频谱面）处放置可变圆孔光阑，挡去0级以外的各点，观察像面上有无光栅条纹。

调节光阑，使0级和±

1级通过，观察像面上的光栅条纹像，再把光阑拿开，让更高级次的衍射都能通过，再观察像面上的光栅条纹像，试看这两种情况的光栅条纹像的宽度有无变化。

（3）把白屏放在频谱面上，测量出0级与+1、+2级或-1、-2级衍射极大位置的宽度d1、d2，计算1级光点、2级光点的空间频率：

1级光点的空间频率

2级光点的空间频率

其中λ为所用激光光波波长（632.8nm）；

为变换透镜的焦距。

4．空间滤波实验

由无线电传真所得到的照片是由许多有规律地排列的像元所组成，如果用放大镜仔细观察，就可看到这些像元的结构，能否去掉这些分立的像元而获得原来的图像呢？

由于像元比像要小得多，它具有更高的空间频率，因而这就成为一个高频滤波的问题。

下面的实验可以显示这样一种空间滤波的可能性。

前述实验中狭缝起的是方向滤波器的作用，可以滤去图像中某个方向的结构，而圆孔可作低通滤波器，滤去图像中的高频成分，只让低频成分通过。

（1）按图6布置好光路。

用显微物镜和准直透镜L1组成平行光系统。

以扩展后的平行激光束照明物体，以透镜L2将此物成像于较远处的屏上，物使用带有网格的网格字（中央透光的“光”字和细网格的叠加），则在屏Q上出现清晰的放大像，能看清字及其网格结构（图7）。

由于网格为周期性的空间函数，它们的频谱是有规律排列的分立的点阵，而字迹是一个非周期性的低频信号，它的频谱就是连续的。

实验参考光路：

图1-3空间滤波实验光路图

图1-4网格字成像放大图

（2）将一个可变圆孔光阑放在L的第二焦平面上，逐步缩小光阑，直到除了光轴上一个光点以外，其它分立光点均被挡住，此时像上不再有网格，但字迹仍然保留下来。

试从空间滤波的概念上解释上述现象。

（3）把小圆孔移到中央以外的亮点上，在Q屏上仍能看到不带网格的“光”字，只是较暗淡一些，这说明当物为“光”与网格的乘积时，其傅里叶谱是“光”的谱与网格的谱的卷积，因此每个亮点周围都是“光”的谱，再作傅里叶变换就还原成“光”字，演示了傅里叶变换的乘积定理。

五、实验要求

1、阿贝成像实验的光路调整：

（1）用L1和L2组成扩束器，以其出射的平行光束垂直地射在铅直方向的光栅上。

（2）在离光栅（物）2m以外放置白屏，前后移动变换透镜，在屏上接收光栅像。

2、傅里叶光学空间频谱观察：

（1）在L3后焦面（傅氏面）处置一可调狭缝光阑，挡住频谱0级以外的光点，观察像屏上是否还有光栅像。

（2）调节狭缝宽度，使频谱的0级和1级通过光栏，观察像面上的光栅像；

然后撤出光阑，让更高级次的衍射都能通过，再观察像面上的光栅像。

比较这两种情况下光栅像有何变化。

（3）白屏放在傅氏面上，观察0级至+1、+2级或-1、-2级衍射极大之间的距离。

（4）二维的正交光栅替换一维光栅，让竖向的一系列光点通过铅直的狭缝光阑，观察像面上栅缝的方向。

（5）将光阑转90°

，再观察像面上栅缝的方向.

（6）逐一完成表一中不同光阑的实验内容。