实验八 多元函数积分 数学实验课件习题答案Word格式文档下载.docx

实验八 多元函数积分 数学实验课件习题答案Word格式文档下载.docx

《实验八 多元函数积分 数学实验课件习题答案Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《实验八 多元函数积分 数学实验课件习题答案Word格式文档下载.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

CylindricalPlot3D[r^2，{r，0，2}，{t，0，2Pi}]

3．球坐标系中作三维图形命令SpheriealPlot3D

命令SphericalPlot3D的使用格式是

SphericalPlot3D[r[，]，{，1，2}，{，1，2}，选项]

例

SphericalPlot3D[2，{u，0，Pi}，{v，0，2Pi}，PlotPoints40]

4．向量的内积

与通常一样，用“．”表示两个向量的内积，例如输入

　　　vec1={a1，b1，c1}

　　　vec2={a2，b2，c2}

则定义了两个三维向量，再输入

　vec1.vec2

【实验环境】

系统

MicrosoftWindowsXP

Professional

版本2002

ServicePack3

GhostXP_SP3电脑公司快速装机版V2011.07

Intel（R）Core（TM）i3CPU

550@3.20GHz

3.19GHz,1.74GB的内存

Mathematica5.2

二、实验内容：

【实验方案】

通过用Mathematica5.2软件，计算：

1．计算重积分

2．重积分的应用

3．计算曲线积分

4．计算曲面积分

【实验过程】

（实验步骤、记录、数据、分析）

　1．计算重积分

例8．1计算

，其中D为由

所围成的有界区域．（*Example8.1*）

Integrate[x*y^2，{y，1，2}，{x，2-y，Sqrt[y]}]

例8．2计算

，其中Ｄ为

．（*Example8.2*）

Clear[f，r]；

f[x_，y_]=Exp[-（x^2+y^2）]；

Integrate[f[x，y]，{x，-1，1}，{y，-Sqrt[1-x^2]，Sqrt[1-x^2]}]

Integrate[（f[x，y]/.{xr*Cos[t]，yr*Sin[t]}）*r，{t，0，2Pi}，{r，0，1}]

例8.3　计算三重积分

，其中由曲面

和

围成．（*Example8.3*）

　　　g1=ParametricPlot3D[{Sqrt[2]*Sin[fi]*Cos[th]，Sqrt[2]*Sin[fi]*Sin[th]，Sqrt[2]*Cos[fi]}，{fi，0，Pi/4}，{th，0，2Pi}]

　　　g2=ParametricPlot3D[{z*Cos[t]，z*Sin[t]，z}，{z，0，1}，{t，0，2Pi}]

　Show[g1，g2，ViewPoint{1.3，-2.4，1.0}]

　　　g[x_，y_，z_]=x^2+y^2+z；

　　　Integrate[g[x，y，z]，{x，-1，1}，{y，-Sqrt[1-x^2]，Sqrt[1-x^2]}，{z，Sqrt[x^2+y^2]，Sqrt[2-x^2-y^2]}]

　Integrate[（g[x，y，z]/.{xr*Cos[s]，yr*Sin[s]}）*r，{r，0，1}，{s，0，2Pi}，{z，r，Sqrt[2-r^2]}]

　Integrate[（g[x，y，z]/.{xr*Sin[fi]*Cos[s]，yr*Sin[fi]*Sin[t]，zr*Cos[fi]}）*r^2*Sin[fi]，{s，0，2Pi}，{fi，0，Pi/4}，{r，0，Sqrt[2]}]

　　例8.4　求由曲面

与

所围成的空间区域的体积．（*Example8.4*）

　　　Clear[f，g]；

　　　f[x_，y_]=1-x-y；

　　　g[x_，y_]=2-x^2-y^2；

　　　Plot3D[f[x，y]，{x，-1，2}，{y，-1，2}]

　　　Plot3D[g[x，y]，{x，-1，2}，{y，-1，2}]

　Show[%，%%]

　jx=Solve[f[x，y]g[x，y]，y]

　　　y1=jx[[1，1，2]]

　y2=jx[[2，1，2]]

　　　tu1=Plot[y1，{x，-2，3}，PlotStyle{Dashing[{0.02}]}，　　DisplayFunctionIdentity]；

　　　tu2=Plot[y2，{x，-2，3}，DisplayFunctionIdentity]；

　Show[tu1，tu2，AspectRatio1，DisplayFunction$DisplayFunction]

　xvals=Solve[y1y2，x]

　　　x1=xvals[[1，1，2]]

　x2=xvals[[2，1，2]]

　volume=Integrate[g[x，y]-f[x，y]，{x，x1，x2}，{y，y1，y2}]//Simplify

　　例8.5　求曲面

在Oxy平面上部的面积S．（*Example8.5*）

　<

Graphics`parametricplot3D`

　CylindricalPlot3D[4-r^2，{r，0，2}，{t，0，2Pi}]

　　　Clear[z，z1]；

　　　z=4-x^2-y^2；

　z=Sqrt[D[z，x]^2+D[z，y]^2+1]

　　　z1=Simplify[z/.{xr*Cos[t]，yr*Sin[t]}]；

　Integrate[z1*r，{t，0，2Pi}，{r，0，2}]//Simplify

例8.6　在Oxz平面内有一个半径为2的圆，它与z轴在原点O相切，求它绕z轴旋转一周所得旋转体体积．（*Example8.6*）

　SphericalPlot3D[4Sin[t]，{t，0，Pi}，{s，0，2Pi}，Plotpoits30，ViewPoint{4，0.54，2}]

　Integrate[r^2*Sin[t]，{s，0，2Pi}，{t，0，Pi}，{r，0，4Sin[t]}]

例8.7　求

，其中

＝

，路径L为：

．（*Example8.7*）

　　　Clear[x，y，z]；

　　　luj={t，t^2，3t^2}；

　D[luj，t]

　　　ds=Sqrt[D[luj，t].D[luj，t]]；

　Integrate[（Sqrt[1+30x^2+10y]/.{xt，yt^2，z3t^2}）*ds，{t，0，2}]

　　例8.8　求

．

（*Example8.8*）

　　　vecf={x*y^6，3x*（x*y^5+2）}；

　　　vecr={2Cos[t]，Sin[t]}；

　Integrate[（vecf.D[vecr，t]）/.{x2Cos[t]，ySin[t]}，{t，0，2Pi}]

　　例8.9　求锥面

与柱面

的交线的长度．（*Example8.9*）

　　　g1=ParametricPlot3D[{Sin[u]*Cos[v]，Sin[u]*Sin[v]，Sin[u]}，{u，0，Pi}，{v，0，2Pi}，DisplayFunctionIdentity]；

　　　g2=ParametricPlot3D[{Cos[t]^2，Cos[t]*Sin[t]，z}，{t，0，2Pi}，{z，0，1.2}，DisplayFunctionIdentity]；

　　　Show[g1，g2，ViewPoint{1，-1，2}，DisplayFunction$DisplayFunction]

　　　ParametricPlot3D[{Cos[t]^2，Cos[t]*Sin[t]，Cos[t]}，{t，-Pi/2，Pi/2}，ViewPoint{1，-1，2}，TicksFalse]

　　　x=Cos[t]^2；

　　　y=Cos[t]*Sin[t]；

　　　z=Cos[t]；

　　　qx={x，y，z}；

　Integrate[Sqrt[D[qx，t].D[qx，t]]//Simplify，{t，-Pi/2，Pi/2}]

%//N

　　例8.10　计算曲面积分

，其中为锥面

被柱面

所截得的有限部分．（*Example8.10*）

　　　Clear[f，g，r，t，mj]；

　　　f[x_，y_，z_]=x*y+y*z+z*x；

　　　g[x_，y_]=Sqrt[x^2+y^2]；

　　　mj=Sqrt[1+D[g[x，y]，x]^2+D[g[x，y]，y]^2]//Simplify；

　　　Integrate[（f[x，y，g[x，y]]*mj/.{xr*Cos[t]，yr*Sin[t]}）*r，{t，-Pi/2，Pi/2}，{r，0，2Cos[t]}]

例8.11　计算曲面积分

，其中为球面

的外侧．（*Example8.11*）

　　　Clear[A，fa，ds]；

　　　A={x^3，y^3，z^3}；

　　　fa={x，y，z}/a；

　　　ds=a^2*Sin[u]；

　　　Integrate[（A.fa/.{xa*Sin[u]*Cos[v]，ya*Sin[u]*Sin[v]，za*Cos[u]}）*ds//Simplify，{u，0，Pi}，{v，0，2Pi}]

Calculus`VectorAnalysis`

　　　SetCoordinates[Cartesian[x，y，z]]；

　　　diva=Div[A]；

　Integrate[（diva/.{xr*Sin[u]*Cos[v]，yr*Sin[u]*Sin[v]，zr*Cos[u]}）*r^2*Sin[u]，{v，0，2Pi}，{u，0，Pi}，{r，0，a}]

【实验结论】

（结果）

通过用mathematica5.2在计算机上输入相应的命令程序，解决以下问题：

首先，解决计算重积分的问题；

其次，重积分的应用的相关题目；

还有计算曲线积分的问题；

最后，计算曲面积分的相关内容。

【实验小结】

（收获体会）

通过本节的学习初步掌握了重积分命令Integrate[x*y^2，{x，0，1}，{y，0，x}和NIntegrate[Sin[x*y^2]，{x，0，1}，{y，0，1}]；

柱坐标系中作三维图形命令<

Graphics`ParametricPlot3CylindricalPlot3D[z[r，]，{r，r1，r2}，{，1，2}]；

球坐标系中作三维图形命令SphericalPlot3D[r[，]，{，1，2}，{，1，2}，选项]；

向量内积vec1={a1，b1，c1}vec2={a2，b2，c2}再输入vec1.vec2。

以及通过上机练习之后，更深层次的理解了计算重积分，重积分的应用，计算曲线积分，计算曲面积分的相关内容。

三、指导教师评语及成绩：

评语

评语等级

优

良

中

及格

不及格

1.实验报告按时完成,字迹清楚,文字叙述流畅,逻辑性强

2.实验方案设计合理

3.实验过程（实验步骤详细,记录完整,数据合理,分析透彻）

4实验结论正确.

成绩：

指导教师签名：

批阅日期：

附录1：

源程序

第1题

Integrate[y*Sin[x]-x*Sin[y],{x,0,Pi/6},{y,0,Pi/2}]

第2题

1.24012

NIntegrate[Sin[Exp[x*y]],{x,0,1},{y,0,1}]

0.917402

第3题

Integrate[Exp[2x]*（2y-z）,{x,0,3},{z,1,x},{y,z-x,z+x}]

Integrate[ArcTan[x*y],{x,0,1},{y,0,1}]

第4题

Integrate[x*Cos[y^2],{x,0,3},{y,x^2,9}]

第5题

Integrate[Exp[x^2],{y,0,2},{x,2y,4}]

Integrate[Exp[x^2],{x,0,4},{y,0,x/2}]

第6题

Integrate[Sin[],{,ArcTan[3],Pi-ArcTan[3]}]

第7题

Clear[g1]

g1=ParametricPlot3D[{z*Cos[t],z*Sin[t],z},{z,0,2},{t,0,2Pi},

DisplayFunctionIdentity]

g2=Plot3D[1,{x,-2,2},{y,-2,2},DisplayFunctionIdentity]

Show[g1,g2,DisplayFunction$DisplayFunction]

Clear[g]

g[x_,y_,z_]=z/（（x^2+y^2+z^2）^（3/2））;

Clear[f,r,t,s];

f[x_,y_,z_]=x^4+y^2+z^2;

第8题

d1=Sqrt[D[luj,t].D[luj,t]];

NIntegrate[（Sqrt[1+x^3+5y^3]/.{xt,y（t^2）/3,zSqrt[t]}）*d1,{t,0,2}]

5.80805

第9题

S1={3/（1+x^2）,2/（1+y^2）};

S2={Cos[t],Sin[t]};

Integrate[（S1.D[S2,t]）/.{xCos[t],ySin[t]},{t,0,Pi}]

第10题

Clear[z];

z[x_,y_]=x*y;

g1=ParametricPlot3D[{r*Cos[t],r*Sin[t],r^2Cos[t]*Sin[t]},{r,0,2},{t,0,2Pi},DisplayFunctionIdentity]

g2=ParametricPlot3D[{Cos[t],Sin[t],z},{t,0,2Pi},{z,-3,3},DisplayFunctionIdentity]

Show[g1,g2,ViewPoint{1,-1,1},DisplayFunction$DisplayFunction]

Graphics3D

第11题

Clear[A,f1,d1];

A={0,0,x^2*y^2*z};

f1={x,y,z}/a;

d1=a^2*Sin[u];

Integrate[（A.f1/.{xa*Sin[u]*Cos[v],ya*Sin[u]*Sin[v],

za*Cos[u]}）*d1//Simplify,{u,Pi/2,Pi},{v,0,2Pi}]

第12题

Clear[f,g,r,t];

f[x_,y_,z_]=x+y+z;

g[x_,y_]=Sqrt[a^2-x^2-y^2];

mj=Sqrt[1+D[g[x,y],x]^2+D[g[x,y],y]^2]//Simplify;

Integrate[（f[x,y,g[x,y]]*mj/.{xr*Cos[t],yr*Sin[t]}）*r,

{t,0,2Pi},{r,Sqrt[a^2-h^2],a}]

附录2：

实验报告填写说明

1．实验项目名称：

要求与实验教学大纲一致。

2．实验目的：

目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求。

3．实验原理：

简要说明本实验项目所涉及的理论知识。

4．实验环境：

实验用的软、硬件环境。

5．实验方案（思路、步骤和方法等）：

这是实验报告极其重要的内容。

概括整个实验过程。

对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。

对于设计性和综合性实验，在上述内容基础上还应该画出流程图、设计思路和设计方法，再配以相应的文字说明。

对于创新性实验，应注明其创新点、特色。

6．实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析）：

写明具体实验方案的具体实施步骤，包括实验过程中的记录、数据和相应的分析。

7．实验结论（结果）：

根据实验过程中得到的结果，做出结论。

8．实验小结：

本次实验心得体会、思考和建议。

9．指导教师评语及成绩：

指导教师依据学生的实际报告内容，给出本次实验报告的评价。