初一数学期中宝典答案Word文档格式.docx

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2-11

=2100-1-1

=2100-2．

4.观察等式找规律：

①a=22-1=1⨯3；

②a2=4-1=3⨯5；

③a=62-1=5⨯7；

（1）写出表示a4，a5的等式；

（2）写出表示an的等式（用字母n表示）；

（3）求1+1+1+⋯1

的值．

a1a2a3

a2013

（1）

a=22-1=1⨯3；

a=42-1=3⨯5；

a=62-1=5⨯7；

123

∴a4=8-1=7⨯9；

a=102-1=9⨯11；

（2）a=（2⨯1）2-1=（2-1）⨯（2+1），

a2=（2⨯2）-1=（4-1）⨯（4+1），

a=（2⨯3）2-1=（6-1）⨯（6+1），

，

an=（2∙n）-1=4n-1=（2n-1）（2n+1）；

（3）a=22-1=1⨯3；

a=42-1=3⨯5；

a=62-1=5⨯7；

1

1=1=1

23

=1（1-1）；

a131⨯323

1=1=1⨯（1-1）；

a23⨯5235

1=1=1⨯（1-1）；

a35⨯7257

∴1+1

+1+⋯1

=1⨯（1-1）+1⨯（1-1）+⋯+1⨯（1-

1），

23235240254027

=1⨯（1-1+1-1+⋯+1-1），

233540254027

=1⨯（1-1），

24027

=2013．

4027

二、图形找规律

1.观察烟花燃放图形，找规律：

依此规律，第9个图形中共有20个五角星．

【答案】20

由图片可知：

规律为五角星的总枚数=4+2（n-1）=2n+2．

n=9时，五角星的总枚数=2n+2=20．故答案为：

20．

2.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10这样的数称为“三角形数”，而把1、4、

9、16⋯这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．则下列符合这一规律的等式是（）

A．20=4+16

【答案】C

B．25=9+16

C．36=15+21

D．40=12+28

根据题目中的已知条件结合图象可以得到任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，再观察出“三角形数”和“正方形数”的变化规律，可以再写出一个符合这一规律的等式：

36=15+21，

故选：

C．

观察下面的星阵图和相应的等式，探究其中的规律．

（1）在④、⑤和⑥后面的横线上分别写出相应的等式：

①1=12②1+3=22③1+3+5=32

④⑤⑥

（2）通过猜想，写出第n个星阵图相对应的等式：

．

（1）1+3+5+7=42；

1+3+5+7+9=52；

1+3+5+7+9+11=62；

（2）1+3+5+7+⋯+（2n-1）=n2

根据规律可知，

④1+3+5+7=42；

⑤1+3+5+7+9=52；

⑥1+3+5+7+9+11=62．

第n个图案中五角星的个数是1+3+5+7+⋯+（2n-1）=n2．

4.（2019秋•鼓楼区期中）如图，圆桌周围有20个箱子，按顺时针方向编号1~20，小明先在1号箱子中丢入一颗红球，然后沿着圆桌按顺时针方向行走，每经过一个箱子丢一颗球，规则如下

①若前一个箱子丢红球，则下一个箱子就丢绿球．

②若前一个箱子丢绿球，则下一个箱子就丢白球．

③若前一个箱子丢白球，则下一个箱子就丢红球．他沿着圆周走了2020圈，求4号箱内有674颗

红球．

根据题意，可知

第1圈红球在1、4、7、10、13、16、19号箱内，第2圈红球在2、5、8、11、14、17、20号箱内，第3圈红球在3、6、9、12、15、18号箱内，

第4圈红球在1、4、7、10、13、16、19号箱内，

且第1、4、7、10⋯2020圈会在4号箱内丢一颗红球，所以1+3（n-1）=2020（n为正整数）

解得n=674．故答案为674．

5．（2017秋•玄武区期中）如图，一个4⨯3的长方形可用4种不同的方式分割成4或6或9或12个正方形，

（1）一个5⨯3的长方形用不同的方式分割后，正方形的个数最少是个；

（2）一个6⨯3的长方形用不同的方式分割后，正方形的个数最少是个；

（3）一个n⨯3的长方形（n为大于3的整数）用不同的方式分割后，正方形的个数最少是多少个？

（用含n的代数式表示）

（1）一个5⨯3的长方形用不同的方式分割后，正方形的个数最少是4个，故答案为：

4；

（2）一个6⨯3的长方形用不同的方式分割后，正方形的个数最少是2个，故答案为：

2；

（3）当n能被3整除时，分割后正方形的个数最少是n

3

n+8

个；

当n除3余1时，分割后正方形的个数最少是

当n除3余2时，分割后正方形的个数最少是

n+7

个．

三、新定义类

1．如果a，b是任意两个不等于零的实数，定义新运算如下：

a⊕b=a

b

是．

【答案】3

4

，那么1⊕（2⊕3）的值

1⊕（2⊕3）=1⊕2

=1⊕

4=1

=3．

故答案为：

3．

3344

2.定义一种新运算：

a※b=⎧a-b（ab），则当x=3时，2※x-4※x的结果为．

⎩3b（a<

b）

【答案】8

当x=3时，原式=2※3-4※3=9-（4-3）=9-1=8，故答案为：

8

3.定义一种新运算：

a*b=3a-4b，根据这个规则，方程2*（2*x）=1*x的解为．

21

【答案】x=

20

根据题中的新定义化简2*（2*x）=1*x得：

2*（6-4x）=3-4x，

即6-24+16x=3-4x，解得：

x=21．

x=21

4.读一读：

式子“1+2+3+4+5+…+100”表示1开始的100个连续自然数的和．由于上述式子比较长，

书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“1+2+3+4+5+…+100”表示为n，这里“”是求和符

n=1

50

号．例如：

1+3+5+7+9+…+99，即从1开始的100以内的连续奇数的和，可表示为（2n-1）；

又

105

如13+23+33+43+53+63+73+83+93+103可表示为∑n3．通过对上以材料的阅读，请计算∑（n2-1）

n=1n=1

=．（填写最后的计算结果）

【答案】50

根据题意得：

∑（n2-1）=（12-1）+（22-1）+（32-1）+（42-1）+（52-1）=0+3+8+15+24=50．

5．定义一种新的运算：

观察下列式子

13=1⨯4+3=7；

3（-1）=3⨯4+（-1）=11；

54=5⨯4+4=24；

4（-3）=4⨯4+（-3）=13．

（1）请你想一想：

ab=；

（2）请你判断abba（填入“=”或“≠”）

（3）若a=-2，b=-4，求（2a-b）（a-2b）的值．

（1）4a+b；

（2）≠；

（3）6

（1）根据题意得：

ab=4a+b；

（2）根据题意得：

ab≠ba；

（3）（2a-b）（a-2b）=4（2a-b）+（a-2b）=8a-4b+a-2b=9a-6b，当a=-2，b=-4时，原式=9⨯（-2）-6⨯（-4）=6．

6.定义一种新运算：

ab

cd

=ad-bc．

（1）计算：

1

a2-2b

；

35a-6b

（2）若37

=3-2x，求x的值．

x-1x

（1）解：

原式=5a-6b-3a2+6b=5a-3a2

（2）x=2

（1）根据题中的新定义得：

原式=5a-6b-3a2+6b=5a-3a2；

（2）利用题中的新定义化简得：

3x-7（x-1）=3-2x，

去括号得：

3x-7x+7=3-2x，移项合并得：

-2x=-4，

解得：

x=2．

模块二有理数

一、有理数概念

1．下面关于有理数的说法正确的是（）

A．正数、负数和零统称为有理数

B．正整数与负整数合在一起就构成整数

C．正数和负数统称为有理数

D．整数和分数统称有理数

【解答】D

A、正有理数、负有理数和零统称为有理数，故说法错误；

B、正整数与负整数以及0合在一起就构成整数，故说法错误；

C、正有理数、负有理数和零统称为有理数，故说法错误；

D、整数和分数统称有理数，故说法正确．故选：

D．

2．2019年1月3日，经过26天的飞行，嫦娥4号月球探测器在月球背面的预定着陆区中顺利着陆，成为人类首颗成功软着陆月球背面的探测器地球与月球之间的平均距离大约为384000km，384000用科学记数法表示为（）

A．3.84⨯103

B．3.84⨯104

C．3.84⨯105

D．3.84⨯106

384000=3.84⨯105．故选：

3.如果a是一个负数，那么①-a；

②a+1；

③a-1；

④-a2；

⑤a+|a|，这五个代数式的值中，一定是负数的是（填序号）．

【答案】③④

a是一个负数，

∴①-a一定是正数；

②a+1不一定是负数；

③a-1一定是负数；

④-a2一定是负数；

⑤a+|a|=0；

③④．

4.把下列各数中无理数有（）

-4，0，22，π，2013，-0.1010010001⋯，2.38383838⋯

72

A．4个B．3个C．2个D．1个

π，-0.1010010001⋯是无理数，

2

5．把下列各数写到相应的集合中：

3，-2，1，-1.2，0，6，13，-41

672

整数集合：

{分数集合：

{负有理数集合：

{非负整数集合：

{负分数集合：

{

【答案】解：

{3，-2，0，13，⋯}

⋯}

⋯}．

分数集合：

{1，-1.2，6，-41⋯}

负有理数集合：

{-2，-l.2，-41⋯}

非负整数集合：

{3，0，13，⋯}

负分数集合：

{-l.2，-41⋯}．

二、有理数计算

1.计算

（1）+3-2+5-5．

8787

原式=（3+5）+（-2-5）=1+（-1）=0；

8877

（2）（-0.5）+|0-61|-（+71）-（-4.75）；

42

原式=-0.5+6.25-7.5+4.75=-8+11=3；

（3）（-1-5+7）÷

（-1）

291236

原式=（-1-5+7）⨯（-36）=18+20+（-21）=17；

2912

（4）（-1）3-（1-7）÷

3⨯[3-（-3）2]

原式=-1-（-6）÷

3⨯（3-9）=-1+2⨯（-6）=-1-12=-13；

（5）-42-|-9|⨯[（-2）3+5]⨯（-1）2018

原式=-16-9⨯（-8+5）⨯1=-16-9⨯（-19）⨯1=-16+57=41．

33

（6）（1-1+1-1）÷

（-1）4；

34682

原式=（1-1+1-1）÷

1=（1-1+1-1）⨯16=16-4+8-2=2；

346816346833

2.现有5张卡片写着不同的数字，利用所学过的加、减、乘、除运算按要求解答下列问题（每张卡片上的数字只能用一次）．

（1）从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数字的差最小，则差的最小值为．

（2）从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最大，则商最大的值为．

（3）从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数字的乘积最大，则所抽取卡片上的数字分别是，

最大的乘积为．

（4）从中抽出4张卡片使这4张卡片上的数字运算结果为24，写出两个不同的算式，分别为，．

【解答】

（1）-11；

（2）6；

（3）-3，-6，18；

（4）（-1-5）⨯[2+（-6）]，2⨯[5-（-6）-（-1）]（答案不唯一）．

（1）从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数字的差最小，则差的最小值为-6-5=-11．

（2）从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最大，则商最大的值为-6÷

（-1）=6．

（3）从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数字的乘积最大，则所抽取卡片上的数字分别是-3，-6，最大的乘积为-3⨯（-6）=18．

（4）（-1-5）⨯[2+（-6）]

=-6⨯（-4）

=24；

2⨯[5-（-6）-（-1）]

=2⨯12

=24．（答案不唯一）

三、应用题

1.为了提高同学们有理数混合运算的能力，七年级某班的数学老师每天给同学们进行计算训练，下表是小张同学一周内五天的成绩（以90分为标准，用“+”表示比90分高，用“-”表示比90分低）:

（1）小张同学本周成绩的最高分是分，最低分是分；

（2）求小张同学本周计算训练的平均成绩．

（1）100，78；

（2）91.6分

（1）由表格可得，

小张同学本周成绩的最高分是：

90+10=100（分），最低分是：

90+（-12）=78（分），故答案为：

100，78；

（2）小张同学本周计算训练的平均成绩是：

90+（5+10-12+8-3）÷

5=91.6（分），答：

小张同学本周计算训练的平均成绩是91.6分．

2.一辆交通巡逻车在南北公路上巡视，某天早上从A地出发，中午到达B地，行驶记录如下（规定向北为正方向，单位：

千米）:

+15，-8，+6，+12，-8，+5，-10．回答下列问题：

（1）B地在A地的什么方向？

与A地相距多远？

（2）巡逻车在巡逻中，离开A地最远多少千米？

（3）巡逻车行驶每千米耗油a升，这半天共耗油多少升？

（1）将公路看成数轴，A地作为原点，规定向北为正．根据题意，得：

+15+（-8）+6+12+（-8）+5+（-10）=12（千米）因此，B地在A地北面，与A地相距12千米；

（2）第一次是15千米，第二次与A地相距15-8=7千米，第三次与A地相距7+6=13千米，第四次

与A地相距13+12=25千米，第五次与A地相距25-8=17千米，第六次与A地相距17+5=23千

米，第七次与A地相距23-10=13千米，

25>

23>

17>

>

15>

13>

7

离开A地最远25千米；

（3）|+15|+|-8|+|+6|+|+12|+|-8|+|+5|+|-10|=64（千米）因为每千米耗油a升

所以，共耗油64a升．

模块三数轴

一、数轴及其应用

1.画出数轴，用数轴上的点表示下列各数，并用“<

”把各数从小到大连起来．

3，-12，0，-|-3|，31．

-12=-1，-|-3|=-3，如图所示：

故：

-|-3|<

-12<

0<

3<

31．

2．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列关系式：

①|a|>

|b|；

②a-b>

0；

③a+b>

④

1+1>

⑤-a>

-b，其中正确的个数有（）

ab

A．1个B．2个C．3个D．4个

由图象可知，a<

b，且|a|>

|b|，故①正确；

a-b=a+（-b）=-（|a|+|b|）<

0，故②错误；

a+b=-（|a|-|b|）<

0，故③错误；

a+b<

0，且ab<

0，

∴a+b

0，即1+1>

0，故④正确；

ababab

a<

b，

∴-a>

-b，故⑤正确；

故选：

二、相反数

1．-2的相反数是，-2的倒数是．

【答案】2，-1

-2的相反数是2；

-2的倒数是-1；

2，-1．

2.若a与2a-9互为相反数，则a的值为．

【答案】3

由题意可知：

a+2a-9=0解得：

a=3

三、点的移动

1.如图，半径为1个单位长度的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合（提示：

计算结果保留π）

（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是

（2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：

+3，-1，，+4，-3，

①第3次滚动周后，Q点回到原点．第6次滚动周后，Q点距离原点4π

②当圆片结束运动时，Q点运动的路程共有多少？

（1