垂直的处理策略.docx

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垂直的处理策略

垂直的处理策略

题目：

如图1，抛物线y=-x^2+x+2与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点.设点P的坐标为（m,0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.

（1）求点A、点B、点C的坐标；

（2）求直线BD的解析式；

（3）当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；

（4）在点P的运动过程中，是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？

若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

简析：

前三问比较简单，直接附上答案：

（1）A（﹣1，0），B（4，0），B（0，2）；

4）下面进入本文主题，重点分析最后一问；

这是一个直角三角形的存在性问题，下面提供四种常见的垂直处理策略：

策略一（代数法——设坐标，勾股定理盲算）：

综上所述：

点Q的坐标为（3，2），（8，﹣18），（﹣1，0）．

解题后反思：

优势：

本题采取代数法最大的优势就是设出动点坐标，直接进行盲算，不需画图分析，不易漏解，画图分析可能会产生漏解的情况，下面几何法会深刻体会到这一点；想法此法不但不宜漏解，还有很小的可能性会产生多解，少部分学生在情形①中解出两个m的值后没有结合题目进行取舍，这个方法也是网上提供的主要方法；

劣势：

凡是都有两面性，代数盲解法不用画图分析，但计算量实在是大，尤其是在本题中，若计算能力不到位，十有八九的学生会出现算不出结果或者算错结果的可能性；之所以说算不出结果，是因为少部分学生想到“四次方”的出现而望而却步、畏首畏尾、不知所措，其实只要将所列方程中的﹣m2+m+2，即抛物线上动点Q的纵坐标看作是一个整体，其平方会自然抵消，根本就不会出现所谓“四次方”，仅仅最多是一个一元二次方程，肯定可解；另外，很多学生即使去计算到底了，也可能计算错误导致丢分！

策略二（几何法——“两线一圆”作图法，见直角，造K字型相似）：

第一步（“两线”作图法）：

题目强调了“△BDQ是以BD为直角边的直角三角形”，也就是说问题已得到了一定的简化，只需分别过B、D两点作边BD的垂线与抛物线的交点即为所要寻找的点Q，如图2所示；

值得同学们注意的是，边BD的过点D的垂线与抛物线有两个交点，其中有一个很巧是点A，后续计算中会发现这个巧合性（也可以猜到这个巧合特殊性，然后用勾股定理或者射影定理去验证即可），而另一个交点极其容易被学生忽视，在右下方比较远的地方，这也是此法的劣势所在，所以满足条件的点Q有三个；

第二步（见垂直，构造K字型相似）：

如图3所示，先求图中Q点的坐标，依托于Rt△QDB构造“水平—竖直”辅助线，“改斜归正”得K字型相似，即Rt△QBM∽Rt△BDN；

第四步：

重复以上过程，把其他的两个交点同理求之，不再详细展开；

解题后反思：

优势：

由上面的第三步可以看出，这里所谓几何法的优势是列出的方程相对简单，很神奇地就避开了代数法中有可能出现的“四次方程”，而且“见直角造K字型相似”应该算是一种重要的解题模型，需要同学们掌握并熟练运用的，所以几何法相对于代数法，计算上肯定是大大简化了，所以有老师号称“能用几何法，坚决不用代数法”；

劣势：

对于本题，我保留上述老师所谓的“号称”！

此题宁用代数法盲解，也不用几何法求解，原因是后者必须画图分析，其对图形的依赖性过强，而且需要“画三次”，因为有三个符合条件的点Q，虽然理论上同理计算可得，但想要求出结果的话，还是必须老实巴交地画出较准确的图形来，尤其是过点D的垂线与抛物线右下方的交点太“远”了，远的同学们很容易忽略，远的即使你没有忽略，画图也难以下手！

策略三（解析几何法——两条垂直直线的一次项系数乘积为-1）：

如图3所示，两条与已知直线BD垂直的直线的一次项系数k一旦确定，其解析式立马可求，再与抛物线联立即得到所求的Q的三个坐标；如图3所示，两条与已知直线BD垂直的直线的一次项系数k一旦确定，其解析式立马可求，再与抛物线联立即得到所求的Q的三个坐标；

解题后反思：

因为这个方法不是初中方法，而是高中的“解析几何法”，所以这里就仅仅提了个思路，对此有所了解的同学可进一步想一想，对此毫不知情的同学可绕过！

优势：

此法思路极其简单，直接求出两条垂线的解析式，再与抛物线联立求交点坐标即可轻松“秒杀”；

劣势：

此法肯定超纲了，部分学优生可以了解一二，但绝大部分学生还是应该绕过此法，视而不见为好！

策略四（构造法——见直角，构造等腰直角三角形，再造K字型全等）：

这是本文最后一种策略，也是笔者自创的一种具备很强“创造性”的解法，它既能实现上面策略三的优势，又能回避其超纲的劣势，不信你看：

第一步（“两线”作图法）：

如同策略二，还是分别过B、D两点作边BD的垂线与抛物线的交点即为所要寻找的点Q，如图4；

第二步（构造等腰直角三角形——K字型全等）：

如同策略三那样，只需求出两条垂线的解析式就GAMEOVER了！

但如何用一个更加通俗易懂的方式求出两条垂线的解析式呢？

众所周知，要想求直线的解析式只需要两个点的坐标即可，而这两条垂线都已经过了一个已知点，即点B或者点D，能不能再找一个相对特殊的点求之呢？

笔者突发奇想，从前《玩转45度》中“见45度作垂线构造等腰直角形”，这里“见直角”了，为何不能也去主动造个等腰直角三角形呢！

只需截取两直角边相等即可！

如图4所示，分别截取BE=DF=BD，“举手之劳”，其实就已经造出了想要的等腰直角三角形了，然后再通过构造“水平—竖直”辅助线，“改斜归正”得K字型全等；

下面几乎是“一马平川扫天下”了！

易知点E（6，-4），点F（2，-6），一步到位将两条垂线解析式都搞定，再与抛物线联立解方程组即可，GAMEOVER！

解题后反思：

优势：

最后一种方法创造性地通过构造等腰三角形的方法解决了直角三角形的存在性问题，这种突发奇想、创造力、强大的联想机制都值得同学们学习，此法延续了策略二几何构造“K字型”的优势，简化了计算，也延续了策略三求直线解析式的思路与方法的简洁性，同时又避免了上述两种策略各自的劣势；

《广猛说题系列之再谈“垂直处理”的几种常见策略》

题1：

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接AQ与CP，若AQ⊥CP，求t的值.

简析：

题目中出现条件“AQ⊥CP”，这是一个“垂直问题”，如何处理此垂直条件成为了解题的关键；

其实，想法很简单，学生可扪心自问“垂直怎么来”？

很直白，这个垂直是由两条线段AQ与CP而来；

垂直既然由两条线段AQ与CP而来，那肯定就依托于这两条线段AQ与CP来解决，这就是极其简单的“因果关系分析法”，即一个东西怎么来，就怎么求；

那如何依托这两条线段AQ与CP来解决此问题呢？

在数学中有一种极其重要而常见的辅助线，那就是传说中人人都会、人人都可尝试的“水平—竖直辅助线”，这也是一种重要的“改斜归正”之策略，试试何妨，每个人都可以去试一试，很多题目的求解就是试着试着就出来了，不信你看；

过AQ与CP的四个顶点补上一些“水平—竖直辅助线”，其实只要尝试了，不管怎么作辅助线都可以，如图1-1所示，最简洁的方式就是过点P作PG⊥BC于点G，辅助线当然作的越少越精简，解数学题要有至简至美的追求；

由三个垂直条件，即AQ⊥CP、PG⊥BC及QC⊥AC容易推出Rt△ACQ∽Rt△CGP，这样的基本图形可以形象地简称为“三垂直相似”；

接下来把这个“三垂直相似”的两个直角三角形的直角边（“直线段”）均表示出来，问题就能迎刃而解，而这些所谓“直线段”很容易就能表示出来，如图1-1所示，易知PG=3t，CG=8-4t，QC=4t，AC=6；

解题后反思：

本题的垂直处理是一种常用的策略与手段，即依托形成垂直的两条线段的四个顶点作一些“水平—竖直辅助线”，构造“三垂直相似”，“改斜归正”，利用四条“直线段”对应成比例列方程求解即可；

而且上面所谓的“水平—竖直辅助线”，想怎么作就怎么作，一般辅助线越少越好，同学们要有追求简法的意识；

再比如下面的中考真题也是学生《全品作业》里遇到的“垂直问题”，竟然也有相当一部分学生做不出来，哎，让人遗憾，且去看看：

这题竟也有那么多学生做不出，我也是醉了！

下面笔者简单谈一谈这道“垂直问题”的几种处理策略；

本题的关键条件是∠ACD=90°，这个“垂直问题”如何处理成了解题的突破口；

策略一（暴力计算，代数勾股法）：

由∠ACD=90°知△ACB为直角三角形，锁定此直角三角形，利用勾股定理即可搞定问题，可以分以下几步“机械化处理”；

解题后反思：

本题由直角三角形得勾股定理列方程，是“垂直处理”中最基本的一种策略，属代数暴力计算，笔者预计学生做不出，很有可能是这里的计算能力不到位，会方法但算不出，徒劳无益，所以学生得重视计算能力的培养，遇到复杂运算千万不要畏畏缩缩，而是应该迎难而上，平时一定要重视计算能力的培养，计算能力强的学生一般情况下数学不会学的多差，反过来数学差的学生一般计算都比较弱，我想这里面一定有着一些必然的联系与因果，而且近年来中考已经越来越重视学生的计算能力了，值得同学们关注！

下面再提供几种偏几何的策略：

解题后反思：

这里抓住了“垂直问题”里经常会出现或者能构造出的相似图形，如“K字型相似”、“射影相似型”或者“三垂直相似”等，其实“K字型相似”与“射影相似型”都可以统称为“三垂直相似”，它们之间都是“一家人”啊！

拿本题来说，若采取“见直角三角形，造K字型相似”策略，如图2-1所示，如果这样处理，再去表示此“K字型相似”的两个直角三角形的四条直角边，不是不可以解决，只是稍微绕了些，走了些弯路，仅此而已，其实也“无伤大雅”；

若是再反思下去，其实这里的“K字型相似”处理与前面的“射影相似型”处理本质一模一样，如图2-2所示，不就是两组全等的直角三角形嘛！

两组全等的直角三角形中各取其一的话，两两组合，其实一共可以组成四种解法，其本质都是相通的，甚至再与题1中的“垂直处理”结合琢磨，都是所谓“三垂直相似”嘛，一通百通啊！

这里一条直线所谓的“坐标轴三角形”曾在本人作品《广猛说题系列之巧用转化策略——再现“改斜归正”大法》提及过，具体可参考上面的文章；

若k为负数，其实比值就为-k，推导方式不变；

值得一提的是，上面边长与坐标之间的转化中，因为不确定k、b的正负，因而巧妙借助了“绝对值策略”，避免了“繁琐的”分类讨论，这个小技巧，你值得拥有；

另外还要注意用y轴上的直角边（“纵边”）比上x轴上的直角边（“横边”），顺序不能随意颠倒，这就是神人“于特”命名的“纵横比”；

换言之，当直线y=kx+b中的k确定时，其“纵横比”也就确定了，其实就是该直线与坐标轴围成的直角三角形的形状确定了，即“坐标轴三角形”的三边之比就确定了，抓住了这个比值，其实就是抓住了题目中的不变角，利用比例相似口算边长即可；

再重复一遍，直线y=kx+b中k决定其对应的“坐标轴三角形”的形状，而b的值确定其“坐标轴三角形”的大小！

重复的目的，旨在同学们记住它额，理解后方便自如应用； 

策略二（几何画图“两线一圆”，比例口算相似法）：

第一步（画出所谓“两线一圆”）：

由△ABC为直角三角形知，这是一个典型的“直角三角形”存在性问题，可采取所谓“两线一圆法”画出较准确的图形，再去慢慢分析计算，如图3-1所示；

第二步（根据图形分析，比例口算相似法）：

如图3-2所示，通过“精准画图”，很明显符合这样的点A有两个，即为第一步中的“两线一圆”与题目中已知直线的交点（B点除外，要舍去）；

显然，点A1的坐标可直接进行口算，为（3，5/2）；

瞧，这种情形多简单啊，哪用上面的“代数盲解”法“千辛万苦才唤出来”啊！

至于另一个点A2坐标的求法，可采取策略一，即“代数勾股暴力计算法”，这样也就不用动脑想其他几何策略，而是“一意孤行”地去算即可，这就是吾之所谓的“混合解法”；

当然点A2坐标的求法，还可以采取下面的“比例口算相似法”：

解题后反思：

这儿介绍的解直角三角线存在性问题偏几何策略的“两线一圆法”知适合于通过“精准画图”找到这样的点，但还没求出，若是想要求其坐标，一方面通过画完的图分析思路，看看有没有较简单的偏几何的解法，这样可以有效避开“代数勾股盲解法”繁琐的计算；当然还有一些情形，需要深入分析才能找到更适合的简易的几何解法，比如此题中通过抓确定的不变角，结合比例口算得出所求，这需要一定的思维量；当然若是思维量达不到，还有路可走，那就是毅然决然地放弃“思维”，改变策略专门针对个别情形“一通死算”得出结论即可；

“几何思维量”与“代数计算量”二者不可兼得，舍其一而取另一者也；当然也可以“混合使用”，看需要灵活穿插使用；

另，此题还可以采取两次“射影定理”计算出所有的边长进而求得所需点的坐标，不再赘述，跟上面的“比例口算”本质原理都是相似，都属于“水平—竖直”辅助线，起到“改斜归正”之作用，具体可参见题2中策略二的解题后反思部分；

甚至于此题求点A2的坐标时还可以采取“见斜置直角三角形，造K字型相似”的解题策略，如图3-3所示，但这依然略微有些“大材小用”、“小题大做”之感，而且其本质与“射影定理”相同，不再赘述；

关于策略二中点A2的坐标求法，这里再提供一种巧妙借助“纵横比”，借助解析法先求出直线A2C的解析式，再与已知直线联立解方程组求交点坐标的方式；

策略三（巧用“纵横比”，借助解析法求交点坐标）：

第一步（利用“垂直处理”，构造“三垂直相似”）：

如图3-4所示，延长CA2与y轴交于点E，易得由Rt△COE∽Rt△DOB，这是一个典型的“三垂直结构”；

解题后反思：

策略三依然采取了所谓“混合解法”，点A1可直接口算，而点A2则采取了“解析法”，通过求交点坐标解得，这里提到了直线的“纵横比”，而所谓“纵横比”，其本质就是“三垂直相似”而已，不要觉得多么高大上，它是一种常见的“垂直问题”处理策略！

关于等腰三角形存在性问题中“两圆一线法”与直角三角形存在性问题“两线一圆法”，下面再举一个更典型的例子，专门类比介绍这两种题型，希望同学们用心体会；

题4（来源：

高邮市赞化学校二轮复习存在性问题专题） 

如图4，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上.若以A，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数有           个.

简析：

本题一个典型的等腰三角形存在性问题，属“两定一动型”，且只要求点C的个数，无需求其坐标，这特别适合于上面所说的“两圆一线法”，但有前提，那就是“精准画图”，一方面要求题目给定的图是准确图，另一方面要求自己画的“两圆一线”都要准确；

第一步（精准画图，两圆一线）：

如图4-1所示，分别以A、B为圆心，以AB为半径作两个圆，再将这两个圆的两个交点连成直线，其必然为线段AB的垂直平分线，这就是所谓的“两圆一线法”；

第二步（利用“两圆一线”数交点个数）：

如图4-1所示，上一步中画出的“两圆一线”与直线y=x的交点即为所要找的点C；

如果题目给定图形准确，自己画图又相对准确，则基本就能数出符合条件的点C的个数，很明显有三个；

如果没有几何画板等作图工具，这样的精准画图并不容易，那有没有更有说服力的依据去推导所要寻找的交点个数呢？

第三步（判断直线与圆的位置关系，理论推导交点的个数）：

如图4-1所示，显然只要判断⊙B与已知直线y=x有没有公共点即可，而⊙B的半径r为4，只需求出⊙B的圆心B到直线y=x的距离d，比较d与r的大小关系即可知道⊙B与直线y=x的位置关系，进而得知它们的公共点个数；

解题后反思：

对于“两定一动型”等腰三角形存在性问题，我们可以通过“两圆一线法”精准画图找到所需动点的位置，若需要求其坐标，可以采用等腰三角形存在性问题的“代数勾股盲解法”或者采取“抓不变角”策略，结合“三线合一”比例相似口算法等，甚至这儿也可以采取“混合解法”策略，不再详述，具体可参见本人与等腰三角形存在性问题相关的作品；

上述问题还有个有趣的变式如下：

题4变式：

如图4，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上.若以A，B，C三点为顶点的三角形是直角三角形，则点C的个数有     个.

简析：

将这个变式问题中的直角三角形存在性问题与原题4中的等腰三角形存在性问题进行类比分析，将趣味横生；

此变式是一个“两定一动型”直角三角形存在性问题，且只要求点C的个数，无需求其坐标，这特别适合于“两线一圆法”，但有前提，那就是“精准画图”，一方面要求题目给定的图是准确图，另一方面要求自己画的“两线一圆”都要准确；

第一步（精准画图，两线一圆）：

如图4-3所示，分别过A、B作y轴的垂线，此为所谓的“两线”，再以AB为直径作⊙M，此为所谓的“一圆”，这就是“两定一动型”直角三角形存在性问题精准画图之“两线一圆法”；

第二步（利用“两线一圆”数交点个数）：

如图4-3所示，上一步中画出的“两线一圆”与直线y=x的交点即为所要找的点C；

如果题目给定图形准确，自己画图又相对准确，则基本就能数出符合条件的点C的个数，很明显只有两个；、

如果没有几何画板等作图工具，这样的精准画图并不容易或者说并不能让人百分之百信服，那有没有更有说服力的依据去推导所要寻找的交点个数呢？

此时再次用到圆与直线位置关系的判定；

第三步（判断直线与圆的位置关系，理论推导交点的个数）：

如图4-3所示，显然只要判断⊙M与已知直线y=x有没有公共点即可，而⊙M的半径r为2，只需求出⊙M的圆心M到直线y=x的距离d，比较d与r的大小关系即可知道⊙M与直线y=x的位置关系，进而得知它们的公共点个数；

解题后反思：

题4及其变式是两道典型的“两定一动型”特殊三角形存在性问题，前者是等腰三角形存在性问题，可借助“两圆一线法”精确画图找到所需动点的位置；而后者是直角三角形存在性问题，可借助“两线一圆法”精确画图找到所需动点的位置；这两种题型、两种方法之间具有惊人的相似度，相辅相成，建议同学们将两者放在一起琢磨，越琢磨会越有趣，记忆、理解都会越深刻！

经典问题1（九（13）班吴星宇同学课堂上提出问题）：

在平面直角坐标系中，求一条定线段的垂直平分线的解析式；

举例：

如图所示，已知点A（2,5），B（4,1），求线段AB的垂直平分线l的解析式.

简析：

首先，用“确定性思想”分析此问题，很明显线段AB是确定的，其垂直平分线当然是确定的，既然是确定的，肯定是可求的，如何去求解呢？

如图问题1-1，设线段AB的中点为点M，则易知点M的坐标为（3,3），很明显所求直线l已经过一个定点M；

要想求一条直线的解析式，一般需要两个点的坐标，这里还需求直线l上的另一个点的坐标，理论上可以随便选取直线l上的另一个定点，求其坐标即可，一般选取比较特殊的点较好，如直线l与坐标轴的交点就蛮好的，尤其是与y轴的交点最好，如图问题1-2所示，设直线l与y轴的交点为点N，只要求出点N的坐标即可；

现在图中已有三个已知点，它们分别为点A、点B及点M，要求的是第四个点N的坐标，接下来只要依托于这四个点作一些有趣的“水平—竖直辅助线”，利用所求直线l垂直于线段AB，容易推出一组所谓“三垂直结构”的相似三角形，更有趣的是，只要过这四个点作系列“水平—竖直辅助线”，无论怎么做都可以解决问题，当然辅助线有多少之分，一般我们最好要有用最少的辅助线来解决问题的追求；

解题后反思：

求一条定线段的垂直平分线，关键是确定该垂直平分线上的另一个点的坐标，一般可求其与y轴的交点，主要依托线段的两个已知端点及其可求的中点，借助这四个点作一系列“水平—竖直辅助线”，利用垂直条件，可以推导一个“三垂直相似”结构，结合比例法即可口算得出，这里的思想方法依然属于“改斜归正”大法的内涵！

经典问题2：

在平面直角坐标系中，过一定点求一条定直线的垂线的解析式；

简析：

首先，用“确定性思想”分析此问题，很明显点A及直线l是确定的，所求垂线当然也是确定的，既然是确定的，肯定是可求的，如何去求解呢？

要想求一条直线的解析式，一般需要两个点的坐标，这里还需求该垂线上的另一个点的坐标，理论上可以随便选取该垂线上的另一个定点，求其坐标即可，一般选取比较特殊的点较好，如该垂线与坐标轴的交点就蛮好的，尤其是与y轴的交点最好，如图问题2-2所示，设该垂线与y轴的交点为点D，只要求出点D的坐标即可；

现在图中已有三个已知点，它们分别为点A、点B及点C，要求的是第四个点D的坐标，接下来只要依托于这四个点作一些有趣的“水平—竖直辅助线”，利用所求垂线垂直于已知直线l，容易推出一组所谓“三垂直结构”的相似三角形，更有趣的是，只要过这四个点作系列“水平—竖直辅助线”，无论怎么做都可以解决问题，当然辅助线有多少之分，一般我们最好要有用最少的辅助线来解决问题的追求；

解题后反思：

最后提出的两个问题都是高中学生的基本功，属于解析几何最基本的内容，但我们初中学生也可以借助巧妙简洁、美观大方的构造法解决，何乐而不为！

也就是说知识可能属于高中的，但方法绝对是初中的，用初中的方法巧妙解决了高中的问题，我想这与有些中考题属高中知识下放不谋而合，对于某些与直线型相关的综合计算题有着举足轻重的作用；

而且上面两个问题的解决其实是共通的，方法几乎差不多，用到的思想方法也都是初中数学中核心的重要思想方法，这两个问题甚至还可以与本人作品《求一个定点关于一条定直线的对称点模型介绍》中介绍的求一个定点关于一条定直线的对称点以及派生出来的求一个定点到一条定直线的距离等问题联系在一块，共同琢磨，它们其实都是相通的，越类比越有趣！