微透镜的蒙特卡罗仿真研究Word文件下载.docx
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1.1现阶段微透镜研究现状·
1.2毕业设计课题内容·
二、Matlab软件和蒙特卡罗方法及基本理论方法·
2.1Matlab软件·
2
2.2蒙特卡罗方法·
3
2.3基本理论方法·
5
2.3.1折射定律·
2.3.2反射定律·
2.3.3球差理论·
6
三、蒙特卡罗模型的建立和设计·
3.1入射光子的产生·
7
3.2衍射对光子落点坐标的影响·
3.3统计有效光子·
8
四、数据结果分析·
4.1束腰位置的确定及焦移·
9
4.2束腰面与几何焦平面·
10
4.3束腰面与几何焦平面光子效率·
五、结束语·
12
参考文献·
13
英文题目、摘要、关键字·
14
附录·
15
主程序·
调用程序·
21
引言
微透镜[1][2]是指几何尺寸在微米量级的透镜。
通常微透镜的面型是球面和柱面，应用最多的微透镜是球面微透镜[3][4]。
光器件的突破带动了光纤通信的飞速发展。
光学微透镜广泛应用于光纤通信系统的各种器件，是一种非常重要的元件,所以对光学微透镜的研究将有助于更深入地了解各种微透镜的性能特点。
由于微透镜具有许多优点，诸如衍射效率高导致的充分利用光能；
用计算机可设计能产生任意波面的微透镜；
薄片状重量轻；
可复制价格低廉；
可以微型化与阵列化，并且可以同微电子器件一起集成化，提供微光电一体的集成器件，在光通讯、光互连与光交换、光存储、光学信息处理和微光学传感器等方面有着广泛的应用。
蒙特卡罗方法[5]的应用范围非常广泛，包括：
金融工程学，宏观经济学，生物医学，计算物理学（如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算）等。
本论文所用到的正是蒙特卡罗的在粒子输运中的计算，在解决实际问题的时候应用蒙特卡罗方法主要有两部分工作：
用蒙特卡罗方法模拟某一过程时，需要产生各种概率分布的随机变量。
用统计方法把模型的数字特征估计出来，从而得到实际问题的数值解。
该论文基于光波的折反射定律和衍射理论，利用蒙特卡罗方法，建立微透镜的蒙特卡罗模型，并针对微透镜的传输特性问题，建立了高斯光束经过微透镜传输的数值模型。
该模型的优点在于不需要使用处理球差的波相差或者相位变换概念，是直接在界面使用折射和反射定律，并同时考虑球差效应、衍射效应对微透镜成像的影响，得到的结果更加符合实际情况。
因此，利用蒙特卡罗的方法对高斯光束通过微透镜成像进行仿真研究的结果对实际应用有着重大意义。
一、概述
1.1现阶段微透镜研究现状
微透镜和微透镜阵列被广泛的应用于各种光学耦合中，如光通信系统中的耦合器，发光器件，耦合装置[6][7]等。
通常微透镜的面型是球面和柱面，应用最多的微透镜是球面微透镜。
由于微透镜不同于传统的透镜，它的结构尺寸达到微米量级，衍射效应就非常重要，同时球面结构带来的像差也不可忽略。
现在对微透镜的研究有很多，有关球面和双曲面光纤微透镜的理论分析方法，很多都是将透镜视为理想薄透镜，即不考虑象差等对微透镜成像系统的影响。
还有的研究方法则是基于几何光学或基于波动光学，即只考率球差效应或衍射效应对光波的影响[8][9]。
在微透镜定焦方面，利用数字图像处理技术的清晰度评价函数来进行定焦，但是这种方法却无法减小其定焦误差[10]。
而本论文使用的蒙特卡罗方法，所获得的问题的结果实质上更接近物理实验结果，而不是经典的数值计算。
所以，结论更加切合实际情况。
1.2毕业设计课题内容
1.利用光学知识，学习MATLAB软件。
2.利用蒙特卡罗方法，建立了光纤基模光束通过微透镜成像的数值模型。
3.利用此模型，对微透镜的传输特性进行了仿真研究。
4.分析微透镜参数对传输特性的影响。
二、Matlab软件和蒙特卡罗方法及基本理论方法
2.1Matlab软件[11]
20世纪70年代，美国新墨西哥大学计算机科学系主任CleveMoler为了减轻学生编程的负担，用FORTRAN编写了最早的MATLAB。
1984年由Little、Moler、SteveBangert合作成立了的MathWorks公司正式把MATLAB推向市场。
到20世纪90年代，MATLAB已成为国际控制界的标准计算软件。
Matlab在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。
MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。
2.1.1Matlab软件的优势
1.友好的工作平台和编程环境
MATLAB由一系列工具组成。
这些工具方便用户使用MATLAB的函数和文件，其中许多工具采用的是图形用户界面。
包括MATLAB桌面和命令窗口、历史命令窗口、编辑器和调试器、路径搜索和用于用户浏览帮助、工作空间、文件的浏览器。
随着MATLAB的商业化以及软件本身的不断升级，MATLAB的用户界面也越来越精致，更加接近Windows的标准界面，人机交互性更强，操作更简单。
2.简单易用的程序语言
Matlab一个高级的矩阵/阵列语言，它包含控制语句、函数、数据结构、输入和输出和面向对象编程特点。
用户可以在命令窗口中将输入语句与执行命令同步，也可以先编写好一个较大的复杂的应用程序（M文件）后再一起运行。
这也是MATLAB能够深入到科学研究及工程计算各个领域的重要原因。
3.强大的科学计算机数据处理能力
MATLAB是一个包含大量计算算法的集合。
其拥有600多个工程中要用到的数学运算函数，可以方便的实现用户所需的各种计算功能。
函数中所使用的算法都是科研和工程计算中的最新研究成果，而前经过了各种优化和容错处理。
MATLAB的这些函数集包括从最简单最基本的函数到诸如矩阵，特征向量、快速傅立叶变换的复杂函数。
4.出色的图形处理功能
MATLAB自产生之日起就具有方便的数据可视化功能，以将向量和矩阵用图形表现出来，并且可以对图形进行标注和打印。
高层次的作图包括二维和三维的可视化、图象处理、动画和表达式作图。
可用于科学计算和工程绘图。
新版本的MATLAB对整个图形处理功能作了很大的改进和完善，使它不仅在一般数据可视化软件都具有的功能（例如二维曲线和三维曲面的绘制和处理等）方面更加完善，而且对于一些其他软件所没有的功能（例如图形的光照处理、色度处理以及四维数据的表现等），MATLAB同样表现了出色的处理能力。
5.应用广泛的模块集合工具箱
MATLAB对许多专门的领域都开发了功能强大的模块集和工具箱。
一般来说，它们都是由特定领域的专家开发的，用户可以直接使用工具箱学习、应用和评估不同的方法而不需要自己编写代码。
目前，MATLAB已经把工具箱延伸到了科学研究和工程应用的诸多领域
6.实用的程序接口和发布平台
允许用户编写可以和MATLAB进行交互的C或C++语言程序。
另外，MATLAB网页服务程序还容许在Web应用中使用自己的MATLAB数学和图形程序。
MATLAB的一个重要特色就是具有一套程序扩展系统和一组称之为工具箱的特殊应用子程序。
7.应用软件开发（包括用户界面）
在开发环境中，使用户更方便地控制多个文件和图形窗口；
在编程方面支持了函数嵌套，有条件中断等；
在图形化方面，有了更强大的图形标注和处理功能，包括对性对起连接注释等；
在输入输出方面，可以直接向Excel和HDF5进行连接。
2.2蒙特·
卡罗方法
蒙特卡罗方法是以概率统计理论为主要理论，以随机变量抽样为手段的随机模拟方法。
它的基本思想就是当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，把待求解的问题建立一个概率统计模型，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，它使得模型的随机变量的概率分布等于待求的解，通过对模型抽样获得所求随机变量的统计特征，从而得到所求问题的近似解。
2.2.1分布函数和密度函数
如果每次的试验结果可以用一个数
来表示，这个变量是随着试验的结果不同而变化的，称为随机变量。
给定随机变量，其可能取值不超过实数x的概率
是x的函数，称为随机变量的累积分布函数，简称为分布函数，记作F（x），即
（1）
分布函数指明了随机变量对所有可能取值的概率，时随机变量的全面描述。
如果随机变量所取得值可以一一列举出来，而且
以各种确定的概率取这些不同的值，我们就称
为离散型随机变量。
若随机变量
可取某一个区间[a,b]或
中的一切值，而且其分布函数F（x）可以表示为
（2）
则称
为连续随机变量，称
为
的概率密度函数，简称为密度函数。
根据密度分布函数利用随机抽样，得到满足该密度函数的解。
2.2.2随机数
最简单、最基本、最重要的一个概率分布是（0,1）上的均匀分布（或称矩形分布）。
随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。
随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。
产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。
在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。
另一种方法是用数学递推公式产生。
这样产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。
不过，经过多种统计检验表明，它与真正的随机数，或随机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真正的随机数来使用。
由已知分布随机抽样有各种方法，与从（0,1）上均匀分布抽样不同，这些方法都是借助于随机序列来实现的，也就是说，都是以产生随机数为前提的。
由此可见，随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的基本工具。
2.2.3蒙特·
卡罗方法特点
蒙特·
卡罗方法通过构造符合一定规则的随机数来解决数学上的各种问题。
其特点是方法和程序结构简单、解题时受问题条件限制的影响较小。
直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
2.3基本理论方法
2.3.1折射定律
折射定律（lawofrefraction）或斯涅尔定律（Snell'
sLaw）由荷兰数学家斯涅尔发现，是在光的折射现象中，确定折射光线方向的定律。
当光由第一媒质（折射率n1）射入第二媒质（折射率n2）时，在平滑界面上，部分光由第一媒质进入第二媒质后即发生折射。
（如图2-3-1）实验指出：
（1）折射光线位于入射光线和界面法线所决定的
（2）平面内；
（2）折射线和入射线分别在法线的两侧；
（3）入射角i的正弦和折射角i′的正弦的比值，对折
射率一定的两种媒质来说是一个常数.
图2-3-1
浅显的说，就是光从光速大的介质进入光速小的介质中时，折射角小于入射角；
从光速小的介质进入光速大的介质中时，折射角大于入射角。
此定律是几何光学的基本实验定律。
它适用于均匀的各向同性的媒质。
用来控制光路和用来成象的各种光学仪器，其光路结构原理主要是根据光的折射和反射定律。
2.3.2反射定律
光在光滑界面上反射时确定反射光线
与入射光线传播方间关系的定律。
几何光
学的基本定律之一。
如图2-3-2，入射光
线IO与界面在入射点O的法线ON所构成
的平面称入射面，入射光线IO与反射光线图2-3-2
OR的传播方向可分别用它们与法线ON的夹角θi和θr表示。
通常把θi和θr分别称为入射角和反射角。
通俗地说，就是反射光线与入射光线、法线在同一平面上；
反射光线和入射光线分别位于法线的两侧；
反射角等于入射角。
可归纳为：
“三线共面，两线分居，两角相等”。
反射定律为：
①反射光线与入射光线同在入射面内。
②反射角等于入射角，即θi=θr。
2.3.3球差理论
1.球差
亦称球面像差。
光轴上物点发出的光束经光学系统后，不同孔径的光线与光轴夹不同角度的光线交光轴于不同位置（即像点位置不同），因此，在像面上形成一个圆形弥散斑，这种现象称为球差。
（如图2-3-3（a））
一般是以实际光线在像方与光轴的交点相对于近轴光线与光轴交点（即高斯像点）的轴向距离来度量它。
它可以表示成
（3）
当边缘光线的交点位于近轴像点的左边时，球差为负；
当边缘光线的交点位于近轴像点的右边时，球差为正。
2.波像差
基于波动光学理论，在近轴区内的一个物点发出的球面波经过光学系统后仍然是一球面波（惠更斯原理），由于衍射现象的存在，一个物点的理想像是一个复杂的艾利斑。
对于实际的光学系统，由于像差的存在，经光学系统形成的波面已不是球面，这种实际波面与理想波面的偏差称为波像差。
如图2-3-3（b）所示：
用自实际波面到像方参考点的光程减去理想波面到同一参考点的光程来度量。
（
）球差（
）波像差
图2-3-3.光学系统光路球差和波像差示意图
三、蒙特卡罗模型的建立和设计
图3.微透镜的蒙特卡罗模型图
光线经过微透镜聚焦，其传输示意图如图3所示。
平面为入射光的入射平面，透镜为半球透镜，其折射率为1.5。
光轴为
轴，
所在的面为几何焦平面；
所在的面为束腰平面。
建立空间坐标系时，以
点为坐标原点，以光轴为
所在直线为
轴，垂直纸面向外为
轴。
根据高斯光束在微透镜中传输的物理模型，利用蒙特卡洛方法建立其数值模型，建模思路如下：
（1）、入射光线有指定的概率分布，通过这个分布，通过随机采样的方法产生入射光线，从而确定了入射光线的初始坐标；
（2）、通过光线追迹公式确定出射光线的几何传播方向和坐标，由于微透镜的衍射效应对出射光线的几何传播方向产生了影响，在模拟仿真时，这种影响可以看成是微扰，则出射光线的轨迹就是几何轨迹与衍射造成的微扰的叠加；
（3）、考虑到出射光线在观察面上的相干效应，因此在相干时间内落到观察平面的光子才被统计。
3.1入射光子的产生
以高斯光束通过微透镜聚焦为例，介绍使用蒙特卡罗方法，建立数值模型的思路和步骤：
入射光束为高斯光束，高斯光束的束腰落在平凸微透镜的平面端面上，高斯光束入射光束的横截面上的场分布呈高斯分布，投射到微透镜平面（
面）上的初始坐标为（
），它的径向和角向分布分别为：
（4）
（5）
其中
是束腰宽度，
为常数。
入射光通过微透镜时可以被认作是通过二个不同的系统，一个系统是球面像差效应系统，一个系统是衍射效应系统，聚焦结果可以被认作是二个系统共同作用的结果。
3.2衍射对光子落点坐标的影响
利用光线追迹公式可以求出在球差干扰下的光子落点坐标，下面考虑衍射的影响。
当入射光束经过透镜时引起菲涅尔衍射，设入射场为
，根据透镜位相变换公式，入射光束经过透镜后的光场分布为
（6）
式中：
——透镜的光瞳函数，其值在光瞳内为1，在光瞳外为0。
根据菲涅尔衍射公式，距离为
的观察面上任意一点的光场分布为
（7）
根据光线追迹方程，确定离开出射光瞳的出射光线的方向和坐标
。
由于出射光瞳的窗口非常小，由于窗口衍射效应的存在，窗口对出射光线的方向产生影响，使得最终的出射光线方向发生改变，这个变化量就是微扰，这个微扰的的产生概率分布满足惠更斯-菲涅尔衍射公式。
出射光线的轨迹就是几何轨迹与微扰项叠加。
3.3统计有效光子
不同光子经过透镜到达观察面上时，不同光子之间存在光程差，在观察面上的某一观察点处，根据干涉理论，首先判断这些光子干涉相长还是干涉相消。
在我们的模型中，我们将观察面分成很多的面积微元，然后找到落在各个面积微元内的光子，再分别计算各个微元中光子之间的光程差，若该光程差为
的整数倍，则该点为干涉相长，若不为
的整数倍，则根据干涉公式计算出该点的有效的光子数目。
定义观察面上包含光子数目84%的区域为光斑半径，为得到精确结果，每一个模型都进行3次试验，对3次试验结果进行平均，得到最后的数据结果。
四、数据结果分析
根据上述思路，我们编写了一套基于蒙特卡罗法
程序，用于模拟高斯光束通过微透镜后聚焦以及光线出射透镜后的传输过程。
为了简单起见，仿真高斯光束通过平凸透镜进行聚焦。
微透镜由于是半球透镜，因此用曲率半径（用
表示）来表示透镜厚度，入射的高斯光束束腰半径用
表示。
4.1束腰位置的确定及焦移
（a）入射光的束腰半径
=3.5时焦移（b）入射光的束腰半径
=4.0时焦移
图4-1-1入射光束的焦移
通过程序main1,main2（见附录）取多个曲率半径的多重计算，并对多组数据求平均值以提高数据的精确性，通过对数据的进一步分析，表明在同时考虑球差、衍射、干涉的影响时，束腰落点位置并不在几何焦点处，而是存在焦移的（如图4-1-1），而且随着曲率半径的不断增大，其焦移量也随之增大。
而其本质原因是由于在保持束腰半径不变的情况下，随着曲率半径的不断增大，球差效应越来越显著，导致束腰的位置偏离几何焦点位置增大。
（a）（b）
图4-1-2.束腰位置与焦距位置对比示意图
从图4-1-2明显看出，焦距是曲率半径的2倍，而束腰位置与焦距位置并不在同一平面，而是存在焦移，并且随着曲率半径的增大，两者的距离也就越大，即焦移量随曲率半径的增大而变大。
4.2束腰面与几何焦平面
（a）R=5聚焦光束束腰面（b）R=5几何焦平面
图4-2-1.R=5微米束腰平面和几何焦平面光斑分布图
在图4-2-1中，无论是几何焦平面还是束腰平面，光子分布呈现典型的干涉图样。
几何焦平面上的聚焦光斑半径明显大于束腰平面上（图（a）（b）），并且几何焦平面上光子分布较束腰面更加弥散不集中。
这是由于在球差效应的影响下，当入射光线入射到透镜上的高度不同时,出射光线与光轴的交点位置也不同，导致其束腰位置未落在几何焦平面上，而是发生了偏移。
（c）R=10聚焦光束束腰面（d）R=10几何焦平面
（e）R=20聚焦光束束腰面（f）R=20几何焦平面
图4-2-2.透镜曲率半径R分别为5微米,10微米米，20微米时，几何焦平面和束腰平面上的光斑分布图。
从图4（a->
c->
e），可以看出当入射光束的宽度一定时，透镜曲率半径越小，其光斑弥散程度增大。
这是由于透镜曲率半径越小，其衍射效应越大，则光子分布越分散；
而透镜曲率半径越大时其衍射效应越低，光斑弥散程度越小，则光子分部越聚集。
4.3束腰面与几何
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