黑洞与弯曲的时空Word格式文档下载.docx
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4.闵可夫斯基时空
x0=ct,x1=x,x2=y,x3=z
在相对论中,矢量被定义为在洛伦兹变换下与坐标(微分元)一样变的量。
例如,在c=
=G=1的自然单位制下(其中
=h/2π),电磁场的电势φ和磁势Ai(i=1,2,3)可构成洛伦兹变换下的四维矢量
(2.2.16)
其中A0=φ。
Jβ=(J0,J1,J2,J3)为四维电流密度矢量,其中J0=ρ为电荷密度,Ji(i=1,2,3)为三维电流密度。
所有的力学量和电学量都可以写成张量,所有的力学规律(除万有引力定律之外)和电磁学规律都可以写成张量方程。
力学规律和电磁学规律都满足洛伦兹变换和相对性原理,都符合相对论。
在相对论中,时间与空间构成一个不可分割的整体——四维时空,能量与动量也构成一个不可分割的整体——四维动量。
(三)相对论的若干重要概念
1.世界线
闵可夫斯基时空中的一个点,用(t,x,y,z)四个座标表示,称为一个事件。
三维空间中的一个点,不管是运动的还是不动的点,由于时间的不停发展,在四维时空中都会描出一根线,称为世界线。
图231,z未画。
三维空间,两点之间距离dl的平方
dl2=dx2+dy2+dz2(2.3.1)
dx2=(x2–x1)2,dy2=(y2–y1)2,dz2=(z2–z1)2
四维时空中两点的“距离”表示为
ds2=-c2dt2+dx2+dy2+dz2(2.3.2)
ds通常称为两点的间隔。
又可看作世界线的线元。
当ds2=0时,有
2.光锥
时空中任选一点P,与P点的间隔类光的点组成的锥面,称为P点的光锥,图232。
光锥实际上是四维时空中的一个三维超曲面,图中略去了一维空间。
内部,类时。
未来,过去。
面上,类光。
外部,类空。
相对论,无因果联系。
类时矢量,类空矢量,类光矢量。
图233。
3.固有时间与双生子佯谬
定义
(2.3.4)
为此质点的固有时间。
相对论认为,一个质点的固有时间是它经历的真实时间。
当质点静止在S系中时,它的固有时间τ与S系的时间t(称为S系的坐标时间)一致。
但是,如果质点不在S系中静止,而是在运动,那么dx,dy,dz都可能不为零。
这时,从
可知
(2.3.5)
v为质点在S系中的运动速度。
质点运动,其固有时间与S系的坐标时间并不一致。
那么,哪一个是质点经历的真实时间呢?
相对论认为,是固有时间τ,而不是坐标时间t。
假如此质点是一个钟,它指示的时间是τ而不是t。
(2.3.4),固有时间τ与s成正比。
s表示世界线的“长度”,故τ也表示世界线的“长度”。
因此,质点世界线的长度就是它所经历的真实时间——固有时间。
固有时间不依赖于选用什么坐标系,只依赖于质点(这个质点可以是一个观测者)自身描出的世界线的长度。
4.时空图与零曲面
法矢量倒在超曲面内,并与其一个切矢量重合的现象在黑洞研究中极为重要。
我们称这样的超曲面为零超曲面,简称零曲面或类光曲面。
它的法矢量称为零矢量或类光矢量。
(四)量子论的进展
1.量子力学的建立
2.相对论量子力学与狄拉克真空
克莱因—高登方程描述自旋为零的粒子。
狄拉克方程描述自旋为1/2的粒子。
克莱因—高登方程存在负能困难和负几率困难。
狄拉克方程避免了负几率困难,但仍存在负能困难。
狄拉克提出“真空不空”的思想,在泡利不相容原理的基础上克服了负能困难,并预言了正电子和反物质的存在。
狄拉克认为,真空并不是一无所有的状态,而是能量最低的状态。
也就是说,真空是所有正能态都空着,而所有负能态都被粒子填满的状态。
注意,空着的负能态比填满时的能量要高。
3.二次量子化与量子场论
三、弯曲的时空
(一)广义相对论的物理基础
1.狭义相对论的困难
(1)惯性系所引起的困难
(2)万有引力所引起的困难
爱因斯坦把万有引力定律写成洛伦兹协变形式的任何企图都失败了。
爱因斯坦提出了广义相对性原理和等效原理作为建立新理论的基石。
2.广义相对性原理和马赫原理
假定相对性原理和光速不变原理在任何参考系中都成立,而不仅仅只在惯性系中成立。
这样,狭义相对性原理被推广为广义相对性原理:
一切参考系都是平权的,即物理规律在任何坐标系下形式都不变——广义协变性。
光速不变原理适用的范围也从惯性观测者推广到任意观测者:
任意观测者测量的光速都是c。
马赫原理引导爱因斯坦找到了新理论最重要的一块基石——等效原理。
3.引力质量与惯性质量相等
4.等效原理
引力质量与惯性质量相等的推论是a=g。
它表明引力场与惯性场等效,这称为等效原理。
5.新理论的构想
他把等效原理、广义相对性原理和光速不变原理作为新理论的基础。
他觉得,新理论的基本方程应该有两个,一个描述质量如何使时空弯曲
质量项=曲率项
另一个描述弯曲时空中质量的运动。
广义相对论实际上是一个关于时间、空间和引力的理论。
(二)黎曼几何中的张量
1.黎曼几何的建立
2.广义坐标变换
弯曲时空不能建立大范围的直角坐标系,只能使用曲线坐标。
曲线坐标系之间的变换一般是非线性、非正交的。
我们称其为广义坐标变换。
广义坐标变换下坐标微分元的变换关系
μ,ν=0,1,2,3(3.2.2)
重复指标同样代表求和。
3.张量的定义
张量是按坐标变换的规律来定义的,这是张量最根本的特点。
定义在坐标变换下不变的量为标量。
(
)=u(x)(3.2.6)
在广义坐标变换下,像坐标微分元一样变换的量,称为逆变矢量
μ,ν=0,1,2,3(3.2.7)
不难看出,(3.2.7)与(3.2.2)的变换规律一样。
在广义坐标变换下,变换规律为
(2.2.8)
的量,称为协变矢量。
它的变换规律与偏导数相同
容易看出,逆变和协变矢量都由四个分量组成。
在广义坐标变换下,也可定义逆变张量、协变张量和混合张量。
有两个指标的张量称为二阶张量。
有一个指标的矢量,称为一阶张量。
没有指标的标量,称为零阶张量。
存在二阶以上的张量,例如描述时空弯曲情况的曲率张量
,它有四个指标。
本节介绍的张量是广义坐标变换下的张量,由于坐标变换非线性,变换系数
不是常数,而是时空点的函数。
我们只能在时空中逐点定义张量。
不过,既然每一点都可以定义张量,那么,各点定义的同一个张量就可以构成一个张量场,每一点定义的同一个矢量也可以构成一个矢量场,当然每一点定义的同一个标量也可以构成一个标量场。
这样,我们就可以把洛伦兹变换下的电磁矢量和张量推广到弯曲时空中,得到电磁矢量场和电磁张量场。
4.张量的运算和缩并
Aμν+Bμν=Cμν(3.2.13)
AμνBσ=Dμνσ(3.2.14)
张量有一种特殊的运算,叫做缩并。
如果一个逆变矢量Aμ与一个协变矢量Bμ相乘,而且指标相同,则它们的乘积将变成标量
AμBμ=u(3.2.15)
这种运算叫做缩并。
它类似于普通物理力学、电磁学中的矢量的内积
A·
B=AxBx+AyBy+AzBz(3.2.16)
运算的结果不再是矢量,而是标量。
实际上,由于重复指标代表求和,(3.2.15)可表示成
AμBμ=A0B0+A1B1+A2B2+A3B3(3.2.17)
与(3.2.16)非常相似。
我们把矢量之间的缩并(3.2.15)称为矢量的内积或标积。
二阶以上张量也可以做缩并运算,例如
AμνBν=Cμ(3.2.18)
缩并后成为一阶张量——矢量。
AμνBμCν=u(3.2.19)
缩并成标量。
总之,只要一个上指标与一个下指标相同,就发生缩并。
同时要注意,缩并时出现重复指标,别忘了求和。
5.度规张量
把“间隔”的概念,从平直时空推广到弯曲时空。
弯曲时空中的间隔,也是广义坐标变换下的不变量——标量。
现在来给出“间隔”与坐标微分元之间的关系。
我们引进一个二阶张量gμν,使得
ds2=gμνdxμdxνμ,ν=0,1,2,3(3.2.29)
注意重复指标代表求和,上式的右端一共16项。
张量gμν与间隔的度量有关,称为度规张量,共16个分量,可用矩阵表示
(3.2.30)
它是一个对称张量,gμν=gνμ。
例如,g12=g21,g01=g10。
所以,独立分量只有10个。
度规是广义相对论的基本几何量(同时又是基本物理量)。
确定了度规,就确定了时空曲率。
所以,知道了度规,就了解了整个时空的几何性质。
广义相对论的主要研究,都集中在确定和研讨时空的度规上。
6.能量—动量张量
(三)广义相对论中的时间和空间
1.坐标钟和标准钟
对于弯曲时空中的任意观测者,我们可以让他所持的钟的读数正比于自己世界线的长度。
这个钟就是他的标准钟,记录的时间就是他的固有时间。
他的坐标时间与固有时间之间的关系为
(3.3.7)
这里已考虑到观测者静止于坐标系xμ中的一个点。
2.固有距离的测量
相对论中用来测量距离的工具是钟而不是尺。
3.同时的传递性
在某些坐标系中,可把空间各点坐标钟的速率调得一样快,但是,不能在全空间建立同时面,即不能定义全空间统一的“同时时刻”。
(四)短程线
1.短程线
爱因斯坦在创建广义相对论时设想,万有引力不是真正的力,而是时空弯曲的表现。
这种弯曲由物质的存在和运动造成。
质点在万有引力场中的运动实质上是一种没有受到力的惯性运动。
在平直时空中,惯性运动是直线运动。
弯曲时空中没有直线,但有短程线。
他认为,质点在万有引力场中的运动,既然是弯曲时空中的惯性运动,就应沿弯曲时空中的“直线”(短程线)进行。
爱因斯坦认为,广义相对论的基本方程应该有两个,一个是描述物质如何造成时空弯曲的,称为场方程(爱因斯坦场方程),另一个是描述质点如何在弯曲时空中运动的,称为运动方程。
场方程在下一节中介绍,现在先介绍运动方程。
爱因斯坦认为,运动方程就是短程线方程,可以很容易地从黎曼几何得到。
(3.4.6)
它也就是广义相对论中的运动方程,弯曲时空中不受力(指不受万有引力之外的力,万有引力本身不算力)的质点就沿此线作惯性运动。
式中
称为联络,它与度规有如下关系
(3.4.7)
式中逗点表示偏微分,例如
(3.4.8)
用度规计算联络时,要注意重复指标代表求和。
2.联络
联络和度规一样,是广义相对论中重要的几何量。
同时也是重要的物理量。
联络有三个指标,有43=64个分量,很像(1+2)阶张量。
但它不是张量。
3.曲率与挠率
挠率表现为联络的反对称部分
(3.4.10)
可以证明
是一个(1+2)阶的张量,称为挠率张量。
曲率也可由联络构成
(3.4.11)
它是(1+3)阶的张量,称为曲率张量。
广义相对论是挠率为零的理论。
在挠率为零的情况下,联络变成对称的,曲率张量也会增加许多对称性。
4.协变微分
张量的普通微分不是张量。
我们希望张量的运算是闭合的,也就是说,它的加、减、乘、微分等运算的结果还应是张量。
加、减、乘法可以保证这一点,但微分出了问题。
研究发现,联络可以帮助我们定义另一种微分——协变微分,对张量做这种微分,所得的结果仍然是张量。
5.对短程线的讨论
(五)爱因斯坦场方程
1.场方程
爱因斯坦认为,时空的弯曲由物质决定,有关方程的一端应该是时空曲率,另一端应该是能量和动量。
时空曲率=能量动量(3.5.1)
在广义相对论中,统一写成四维时空的张量形式。
Rμν–gμνR/2=-κTμν(3.5.11)
Rμν–gμνR/2=-κTμν(3.5.12)
这两个方程就是爱因斯坦给出的广义相对论的基本方程——场方程。
它通常称为爱因斯坦场方程,反映物质的能量—动量如何决定时空曲率。
常数κ与万有引力常数G有关
(3.5.13)
式中c是光速。
2.对场方程的讨论
广义相对论的主要任务就是求解此方程。
场方程是关于度规的二阶微分方程,而且是非线性方程。
场方程和坐标条件是由10个二阶非线性偏微分方程组成的方程组,求解起来十分困难。
求场方程的严格解,成为一个重要的研究领域。
3.从场方程推出运动方程
最初,爱因斯坦认为广义相对论的基本方程有两个,一个是物质决定时空曲率的场方程,
另一个是质点在弯曲时空中的自由运动方程
后来,爱因斯坦和福克分别独立证明了运动方程可从场方程推出,这表明广义相对论的基本方程只有一个——场方程。
4.引力波
值得一提的是,1974年泰勒和赫尔斯发现脉冲双星(由两颗中子星组成)PSR1913+16的公转周期每年减少约万分之一秒。
如果认为这是由于辐射引力波而使双星动能减少所致,则观测值与理论值符合得很好。
此效应似乎可看作发现引力波的一个间接证据。
5.弯曲时空中的力学和电磁学定律
(六)广义相对论的实验验证
1.史瓦西解
史瓦西给出了爱因斯坦方程的一个严格解。
这是一个静止、球对称星体外部的真空解。
其中不为零的度规分量为
g22=r2,g33=r2sin2θ(3.6.1)
写成矩阵形式是
(3.6.2)
用线元表示出来为
(3.6.3)
式中M为星体质量,G为万有引力常数,c为光速。
取x0=ct,x1=r,x2=θ,x3=φ。
太阳转动缓慢,外部近似为真空。
史瓦西解很好地描述了太阳外部的时空弯曲情况。
下面介绍用史瓦西解和太阳附近的观测效应来检验广义相对论。
2.引力红移
爱因斯坦预言,由于时空弯曲,太阳附近的钟会变慢,那里的光源发出的光,谱线将发生红移。
时空的弯曲情况不随时间变化的时空,称为稳态时空。
此时空的gμν与t无关
(3.6.4)
史瓦西时空的度规不仅满足条件(3.6.4),而且时间轴与三个空间轴都正交
g0i=0(3.6.5)
此式称为时轴正交条件。
同时满足上述两个条件的时空叫做静态时空。
静态时空一定是稳态的,但稳态时空不一定是静态的。
史瓦西时空是静态的,当然也就是稳态的。
爱因斯坦建议用光谱线频率的移动来检验时钟变慢的效应。
引力红移效应是由于太阳处时空弯曲得厉害,那里的时间变慢所致。
这个效应被天文观测和实验室观测所证实。
3.水星轨道近日点的进动
4.光线偏折
爱因斯坦用广义相对论预言的引力红移、光线偏折和行星轨道近日点的进动三个效应,都被实验观测所证实。
此后,还有雷达回波、引力透镜等实验,也支持了广义相对论。
五、黑洞
电荷
转动
类型
无
史瓦西
有
雷斯勒-诺斯特诺姆
Reissner–Nordstrom(R—N)
克尔
克尔-纽曼
(一)史瓦西黑洞
1.牛顿理论中的黑洞
2.史瓦西时空的奇点和奇面
史瓦西度规
(5.1.2)
奇点:
r=0内禀奇异性
奇面:
坐标奇异性
3.无限红移面
r=rg=2GM/c2。
4.零超曲面和事件视界
如果满足nμnμ=0
或
=0(5.1.14)
则此超曲面是一个零超曲面,其法矢量的长度为零。
为了方便,以后简称零超曲面为零曲面。
零曲面是普遍存在的。
例如,光波的波前就是零曲面。
不过,我们这里感兴趣的是一类特殊的零曲面,它保有该时空的对称特性,称为事件视界,简称视界。
(5.1.14)式可约化成
(5.1.15)
(5.1.15)式的解只能是
(5.1.16)
即
(5.1.17)
我们看到,史瓦西时空有事件视界,它恰是引力半径rg处的奇面,与无限红移面重合。
人们就把事件视界定义为黑洞的边界。
r<
rg的时空区,称为黑洞的内部;
r>
rg的时空区,称为黑洞的外部
5.单向膜区
6.时空坐标互换
(二)克鲁斯卡坐标和彭若斯图
为了讨论的方便,我们今后选用c=
=G=1的自然单位制。
这时史瓦西时空的线元简写成
(5.2.1)
引力半径为rg=2M(5.2.2)
1.史瓦西坐标的缺点
2.自由下落观测者
Novikow坐标
3.Tortoise坐标和爱丁顿坐标
4.克鲁斯卡坐标
克鲁斯卡度规具有最大解析区和最高完备性。
5.彭若斯图
(三)带电的黑洞
1.R—N黑洞的构造
(1)度规
(2)奇点和奇面
奇点:
r=0内禀奇点
(3)无限红移面
从红移公式
(5.3.4)
可知,只要g00=0(5.3.5)
就会产生无限红移。
因此,(5.3.5)式可看作稳态时空中决定无限红移面的普遍公式。
把(5.3.1)代入(5.3.5)可知,(5.3.3)所示的r+和r-恰是(5.3.5)的解。
(4)视界
把Reissner–Nordstrom时空(带电史瓦西时空)的度规代入零曲面公式
=0(5.1.14)
可得
(5.3.6)
此方程的解仍是(5.3.3)。
r=r+是这个黑洞的边界。
我们称这个黑洞为Reissner-Nordstrom黑洞(R-N黑洞)或带电史瓦西黑洞。
与通常的史瓦西黑洞一样,它的中心有一个奇点。
但与史瓦西黑洞不同的是,R–N黑洞有内、外两个视界,内、外两个无限红移面。
这两个视界分别与这两个无限红移面重合(图5.3.1)。
2.彭若斯图
3.奇点的不可抵达性
要求无限长时间,或无穷大加速度。
4.极端黑洞与裸奇点
M2=Q2(5.3.14)
r+=r-=M(5.3.15)
M2<
Q2(5.3.16)
(四)转动的黑洞
(5.4.1)
其中ρ2≡r2+a2cos2θ(5.4.2)
Δ≡r2-2Mr+a2(5.4.3)
奇环
内禀奇环(5.4.9)
奇面
坐标奇异性(5.4.10)
1.无限红移面和视界
在第三节中曾经给出了求无限红移面的普遍公式
g00=0(5.3.5)(5.4.11)
在第一节中给出了求视界的普遍公式
=0(5.1.14)(5.4.12)
无限红移面
(5.4.14)
视界为
(5.4.26)
这就是克尔时空的视界。
我们看到,克尔时空的视界和无限红移面各有两个,而且视界和无限红移面不重合。
黑洞的边界是用视界而不是用无限红移面来定义的。
我们称外视界r+包围的部分为克尔黑洞。
(图5.4.1)
2.单向膜区和能层
3.奇异性
出现在视界处的奇异性是坐标奇异性,曲率不发散,粒子可自由地穿过它进入黑洞。
然而,有趣的是,克尔黑洞的内禀奇异区不是一个“点”,而是一个“环”(图5.4.2)。
4.彭若斯图
5.极端黑洞和裸奇点
a2=M2(5.4.35)
r+=r-=M(5.4.36)
a2(5.4.37)
奇环也不属于时空,裸露的奇环也会以不确定的信息影响时空中的因果关系。
(五)最一般的稳态黑洞
1.克尔—纽曼时空
纽曼(E.T.Newman)等人把克尔解推广到带电情况,得到克尔—纽曼(Kerr—Newman)解。
它描述一个转动带电星体的外部引力场,即该星体外部时空的弯曲情况。
其线元为
(5.5.1)
式中ρ2=r2+a2cos2θ
Δ=r2-2Mr+a2+Q2(5.5.2)
克尔—纽曼时空在M≠0,J≠0但Q=0时回到克尔时空;
在M≠0,Q≠0但J=0时回到R—N时空;
在M≠0,J=0,Q=0时回到史瓦西时空。
与克尔时空类似,克