9平行线的性质Word文档下载推荐.docx
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∵AD⊥BC,
∴∠ADE+∠EDC=90°
∵AB∥DE,∴∠B=∠EDC
∴∠B+∠ADE=90°
答案:
A
[例2]前面我们学习了平行线的判定公理:
即同位角相等,两直线平行。
如果我们把这句话中的前后次序颠倒,就得到:
两直线平行,同位角相等。
我们知道,把一句原本正确的话,颠倒前后顺序,得到新的一句话,并不能保证一定正确。
例如"
对顶角相等"
是正确的,倒过来说"
相
等的角是对顶角"
就不正确了。
想想"
两直线平行,同位角相等"
这句话是否正确?
提示:
从画平行线的过程可以知道,已有一对同位角相等(如图
(1)中的∠1=∠2)是不是每对同位角都相等呢?
可以多画几条截线考虑。
参考答案:
这句话是正确的。
我们把它作为平行线的性质公理:
两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。
简单说成:
说明:
我们可再画一条直线E′F′,使它直线AB,CD都相交,得同位角∠3,∠4。
利用量角器量一下,可知∠3=∠4。
不论怎样画截线,所得的同位角都相等。
[例3]两条平行线被第三条直线所截,可得同位角相等,那么内错角是否也相等呢?
提示:
由a//b,可得∠1=∠2,要考虑∠2与∠3的关系,想想∠3与∠4是什么角?
是否相等?
两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么两条直线平行,简单说成:
内错角相等,两直线平行。
∵a//b(已知)
∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等)
又∵∠1=∠3(对顶角相等)
∴∠3=∠2(等量代换)
[例4]已知如图(5),直线a//b,c//d,∠1=110o,求∠2,∠3,∠4的度数?
平行性有哪些性质?
∠1与∠2,∠2与∠3,∠2与∠4分别是什么角?
∴∠1=∠2(两直线平行,内错角相等)
又∵∠1=110o(已知)
∴∠2=110o(等量代换)
∵c//d(已知)
∴∠2+∠3=180o(两直线平行,同旁内角互补)
∠2=∠4(两直线平行,同位角相等)
∴∠3=180o-110o=70o
∠4=110o
在求∠3的度数时,也可以根据邻补角的定义,∠3=180o-∠4来求。
[例5]已知:
四边形ABCD中,AB//CD,BC//AD。
求证:
∠A=∠C,∠B=∠D
图形中无同位角和内错角,只有同旁内角,想想两直线平行时,哪些同旁内角互补?
证明:
∵AB//CD(已知)
∴∠C+∠B=180o(两直线平行、同旁内角互补)
∵BC//AD
∴∠A+∠B=180o(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠A=∠C(同角的补角相等)
同理可证:
∠B=∠D。
如果题目要求证的两个结论中,第二个结论的证明方法与第一个结论的证明方法类似。
则可
以使用"
同理可证"
,而省略证明过程,此题还可以如下证明:
证法二:
延长CB至E,(如图9)
∵BC//AD(已知)
∴∠A=∠ABE(两直线平行,内错角相等)
∴∠ABE=∠C(两直线平行,同位角相等)
∴∠A=∠C(等量代换)
∠B=∠D
[例6]如图(10),根据DE//AB,DF//AC的条件,可以推出哪些角相等?
哪些角互补?
把图形进行分解,先看DE//AB这个条件,再依次看DE,AB分别被BC,AC及FD所截得的同位角,内错角,同旁内角。
再看DF//AC这个条件。
(1)
∵DE//AB(已知)
∴∠1=∠B,∠2=∠A(两直线平行,同位角相等)
∠3=∠4(两直线平行,内错角相等)
∠A+∠6=180o
∠B+∠BDE=180o,∠3+∠AFD=180o(两直线平行,同旁内角互补)
(2)
∵DF//AC(已知)
∴∠4=∠A,∠5=∠C(两直线平行,同位角相等)
∠2=∠3(两直线平行,内错角相等)
∠A+∠AFD=180o,∠A+∠CDF=180o,∠6+∠3=180o(两直线平行,同旁内角互补)
因为平行线的性质较多,在两直线平行的条件下,可推出若干个结论。
所以书写时,也必须分清因果关系。
[例7]已知:
如图(11),∠1:
∠2:
∠3=2:
3:
4,且FE//BC,DE//AB,求:
∠A,∠B,∠C的
度数。
∠1,∠2,∠3这三个角有什么关系?
∠A与∠3,∠B与∠4,∠C与1分别是什么角?
∵∠1+∠2+∠3=180o∠1:
∠2:
4
∴可设每一份为xo,则∠1=∠2xo∠2=3xo∠3=4xo
∴2xo+3xo+4xo=180o∴xo=20o
∴∠1=40o∠2=60o∠3=80o
∵FE//BC∴∠C=∠1=40o(两直线平行,同位角相等)
∠4=∠2=60o(两直线平行,内错角相等)
又∵DE//AB∴∠A=∠3=80o(两直线平行,同位角相等)
∠B=∠4=60o(两直线平行,同位角相等)
∴∠A=80o∠B=60o∠C=40o
[例8]已知:
如图(12),AB//CD,求证:
∴∠B+∠D+∠BED=360o(用三种方法)
根据结论联想与360o有关的知识,由于360o=2×
180o。
想想如何将结论分成两组角的和均为
180o,或根据周角的性质求证。
证法一:
作EF//AB。
如图(12-1)
∴EF//CD(平行于同一条直线的两直线平行)
∴∠B=∠1,∠D=∠2(两直线平行,内错角相等)
∵∠1+∠2+∠BED=360o(周角定义)
∴∠B+∠D+∠BED=360o
作EM//BA(如图(12-2))
∴EM//CD(平行于同一直线的两直线平行)
∴∠B+∠1=180o,∠D+∠2=180o(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠B+∠D+(∠1+∠2)=360o即∠B+∠D+∠BED=360o
证法三:
作BN//ED交CD于N,(如图12-3)
∴∠3+∠BED=180o,∠2+∠D=180o(两直线平行,同旁内角互补)
∵AB//CD(已知)∴∠1=∠2(两直线平行,内错角相等)
∴∠3+∠2+∠D+∠BED=360o∴∠3+∠1+∠D+∠BED=360o
即∠ABE+∠D+∠BED=360o
添加辅助线的目的是:
构造定理使用的图形,因为使用平行线的性质或判定定理时,对应的图形是两条直线被第三线直线所截。
在具体问题中,缺平行线或截线,因此在证法一、二中的辅助线是平行线,证法三中的BN对AB,CD来说补的是截线,对DE,BE来说补的是平行线。
四、检测题
1.如图1,AB//CD,则()
A.∠A+∠B=180o
B.∠B+∠C=180o
C.∠C+∠D=180o
D.∠A+∠C=180o
2.如图2,AD//BC,则下面结论中正确的是()
A.∠1=∠2
B.∠3=∠4
C.∠A=∠C
D.∠1+∠2+∠3+∠4=180o
3.如图3,AB//CD,若∠2是∠1的2倍,则∠2等于()
A.60o
B.90o
C.120o
D.150o
4.如图4,下面推理不正确的是()
A.∵∠1=∠2(已知)∴CE//AB(内错角相等,两直线平行)
B.∵BF//CD(已知)∴∠3+∠4=180o(两直线平行,同旁内角互补)
C.∵∠2=∠4(已知)∴CD//BF(同位角相等,两直线平行)
D.∵∠1=∠2,∠2+∠3=180o(已知)∴∠1+∠3=180o,∴DC//BF(同旁内角互补,两直线平行)
5.两条直线被第三条直线所截,则(
A、同位角相等
B、内错角的对顶角一定相等
C、同旁内角互补
D、内错角不一定相等
6.如图5,已知E、A、F在一条直线上,且EF//BC。
∵EF//BC
∴∠1=_________()
∴∠3=_________()
∵EF是一条直线
∴∠1+∠2+∠3=180o
∴∠2+____+____=180o
7.已知如图6,AD,BC相交于点O,
∵∠B=∠C(已知)
∴______//_______()
∴∠A=__________()
8.如图7,∵l1//l2(已知)
∴∠1=()
∵∠1=∠3(已知)∴∠2=∠3
∴l2//l3()
9.如图8∵AB//EF(已知)
∴∠A+______=180o()
∵ED//CB(已知)
∴∠DEF=______________()
10.如图9DE//BC,∠1=39o∠2=25o,求∠BDE、∠BED的度数。
11、如图10,AB//CD,∠B=130o,∠E=80o,求∠D的度数?
答案:
1、D
2、B
3、C
4、B
5、D
6、∠1=∠C,两直线平行,内错角相等,∠3=∠B,两直线平行,内错角相等。
∠2+∠B+∠C=180o
7、AB//CD(内错角相等,两直线平行),∠A=∠D(两直线平行,内错角相等)
8、∠1=∠2(两直线平行,同位角相等),同位角相等,两直线平行。
9、∠A+∠AEF=180o(两直线平行,同旁内角互补)∠DEF=∠EFC(两直线平行,内错角相等)
10、∠BDE=116o∠BED=25o
11、∠D=150o