《离散数学》试题及答案.doc
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《离散数学》试题及答案
一、填空题
1设集合A,B，其中A＝{1,2,3},B={1,2},则A-B＝{3}; r（A）-r（B）＝{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.
2.设有限集合A,|A|=n,则|r（A×A）|=.
3.设集合A={a,b},B={1,2},则从A到B的所有映射是a1={（a,1）,（b,1）},a2={（a,2）,（b,2）},a3={（a,1）,（b,2）},a4={（a,2）,（b,1）},其中双射的是a3,a4.
4.已知命题公式G＝Ø（P®Q）∧R，则G的主析取范式是（P∧ØQ∧R）
5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为12，分枝点数为3.
6设A、B为两个集合,A={1,2,4},B={3,4},则从AÇB＝{4};AÈB＝{1,2,3,4};
A－B＝{1,2}.
7.设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是自反性,对称性
传递性.
8.设命题公式G＝Ø（P®（QÙR）），则使公式G为真的解释有（1,0,0）,（1,0,1）,（1,1,0）
9.设集合A＝{1,2,3,4},A上的关系R1={（1,4）,（2,3）,（3,2）},R2={（2,1）,（3,2）,（4,3）},则 R1·R2={（1,3）,（2,2）,（3,1）},R2·R1={（2,4）,（3,3）,（4,2）}_ R12={（2,2）,（3,3）.
10.设有限集A,B，|A|=m,|B|=n,则||r（A´B）|=.
11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A={x|-1≤x≤1,xÎR},B={x|0≤x<2,xÎR},则A-B=-1<=x<0,B-A={x|1A∩B={x|0≤x≤1,xÎR},.
13.设集合A＝{2,3,4,5,6}，R是A上的整除关系，则R以集合形式（列举法）记为
{（2,2）,（2,4）,（2,6）,（3,3）,（3,6）,（4,4）,（5,5）,（6,6）}.
14.设一阶逻辑公式G="xP（x）®$xQ（x），则G的前束范式是$x（ØP（x）∨Q（x））.
15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加21条边才能把G变成完全图。
（完全图的边数，树的边数为n-1）
16.设谓词的定义域为{a,b},将表达式"xR（x）→$xS（x）中量词消除，写成与之对应的命题公式是_（R（a）∧R（b））→（S（a）∨S（b））_.
17.设集合A＝{1,2,3,4}，A上的二元关系R＝{（1,1）,（1,2）,（2,3）},S＝{（1,3）,（2,3）,（3,2）}。
则R×S＝{（1,3）,（2,2）},
R2＝{（1,1）,（1,2）,（1,3）}.
二、选择题
1设集合A={2,{a},3,4}，B={{a},3,4,1}，E为全集，则下列命题正确的是（C）。
（A）{2}ÎA（B）{a}ÍA （C）ÆÍ{{a}}ÍBÍE（D）{{a},1,3,4}ÌB.
2设集合A={1,2,3},A上的关系R＝{（1,1）,（2,2）,（2,3）,（3,2）,（3,3）}，则R不具备（D）.
（A）自反性 （B）传递性 （C）对称性 （D）反对称性
1
2
3
4
5
6
3设半序集（A,≤）关系≤的哈斯图如下所示，若A的子集B={2,3,4,5},则元素6为B的（B）。
（A）下界 （B）上界 （C）最小上界（D）以上答案都不对
4下列语句中，（B）是命题。
（A）请把门关上（B）地球外的星球上也有人
（C）x+5>6（D）下午有会吗？
5设I是如下一个解释：
D＝{a,b},
则在解释I下取真值为1的公式是（D）.
（A）$x"yP（x,y）（B）"x"yP（x,y） （C）"xP（x,x）（D）"x$yP（x,y）.
6.若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度，能画出图的是（C）.
（A）（1,2,2,3,4,5）（B）（1,2,3,4,5,5） （C）（1,1,1,2,3）（D）（2,3,3,4,5,6）.
7.设G、H是一阶逻辑公式，P是一个谓词，G＝$xP（x）,H＝"xP（x）,则一阶逻辑公式G®H是（C）.
（A）恒真的（B）恒假的 （C）可满足的（D）前束范式.
8设命题公式G＝Ø（P®Q），H＝P®（Q®ØP），则G与H的关系是（A）。
（A）GÞH（B）HÞG （C）G＝H（D）以上都不是.
9设A,B为集合，当（D）时A－B＝B.
（A）A＝B （B）AÍB （C）BÍA （D）A＝B＝Æ.
10设集合A={1,2,3,4},A上的关系R＝{（1,1）,（2,3）,（2,4）,（3,4）},则R具有（B）。
（A）自反性 （B）传递性 （C）对称性（D）以上答案都不对
11下列关于集合的表示中正确的为（B）。
（A）{a}Î{a,b,c} （B）{a}Í{a,b,c} （C）ÆÎ{a,b,c}（D）{a,b}Î{a,b,c}
12命题"xG（x）取真值1的充分必要条件是（A）.
（A）对任意x，G（x）都取真值1.（B）有一个x0，使G（x0）取真值1.
（C）有某些x，使G（x0）取真值1.（D）以上答案都不对.
13.设G是连通平面图，有5个顶点，6个面，则G的边数是（A）.
（A）9条（B）5条 （C）6条（D）11条.
14.设G是5个顶点的完全图，则从G中删去（A）条边可以得到树.
（A）6（B）5 （C）10（D）4.
15.设图G的相邻矩阵为，则G的顶点数与边数分别为（D）.
（A）4,5 （B）5,6 （C）4,10 （D）5,8.
三、计算证明题
1.设集合A＝{1,2,3,4,6,8,9,12}，R为整除关系。
（1）画出半序集（A,R）的哈斯图；
（2）写出A的子集B={3,6,9,12}的上界，下界，最小上界，最大下界；
（3）写出A的最大元，最小元，极大元，极小元。
解：
（1）
（2）B无上界，也无最小上界。
下界1,3;最大下界是3
（3）A无最大元，最小元是1，极大元8,12,9;极小元是1
2.设集合A＝{1,2,3,4}，A上的关系R＝{（x,y）|x,yÎA且x³y},求
（1）画出R的关系图；
（2）写出R的关系矩阵.
解：
（1）
（2）
3.设R是实数集合，s,t,j是R上的三个映射，s（x）=x+3,t（x）=2x,j（x）＝x/4,试求复合映射s•t，s•s,s•j,j•t，s•j•t.
解：
（1）s•t＝s（t（x））＝t（x）+3＝2x+3＝2x+3.
（2）s•s＝s（s（x））＝s（x）+3＝（x+3）+3＝x+6,
（3）s•j＝s（j（x））＝j（x）+3＝x/4+3,
（4）j•t＝j（t（x））＝t（x）/4＝2x/4=x/2,
（5）s•j•t＝s•（j•t）＝j•t+3＝2x/4+3＝x/2+3.
▲4.设I是如下一个解释：
D={2,3},
a
b
f
（2）
f（3）
P（2,2）
P（2,3）
P（3,2）
P（3,3）
3
2
3
2
0
0
1
1
试求
（1）P（a,f（a））∧P（b,f（b））;
（2）"x$yP（y,x）.
解：
（1）P（a,f（a））∧P（b,f（b））=P（3,f（3））∧P（2,f
（2））
=P（3,2）∧P（2,3）
=1∧0
=0.
（2）"x$yP（y,x）="x（P（2,x）∨P（3,x））
=（P（2,2）∨P（3,2））∧（P（2,3）∨P（3,3））
=（0∨1）∧（0∨1）
=1∧1
=1.
5.设集合A＝{1,2,4,6,8,12}，R为A上整除关系。
（1）画出半序集（A,R）的哈斯图；
（2）写出A的最大元，最小元，极大元，极小元；
（3）写出A的子集B={4,6,8,12}的上界，下界，最小上界，最大下界.
解：
（1）
（2）无最大元，最小元1，极大元8,12;极小元是1.
（3）B无上界，无最小上界。
下界1,2;最大下界2.
6.设命题公式G=Ø（P→Q）∨（Q∧（ØP→R））,求G的主析取范式。
解：
G=Ø（P→Q）∨（Q∧（ØP→R））
=Ø（ØP∨Q）∨（Q∧（P∨R））
=（P∧ØQ）∨（Q∧（P∨R））
=（P∧ØQ）∨（Q∧P）∨（Q∧R）
=（P∧ØQ∧R）∨（P∧ØQ∧ØR）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧ØR）∨（P∧Q∧R）∨（ØP∧Q∧R）
=（P∧ØQ∧R）∨（P∧ØQ∧ØR）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧ØR）∨（ØP∧Q∧R）
=m3∨m4∨m5∨m6∨m7=S（3,4,5,6,7）.
7.（9分）设一阶逻辑公式：
G=（"xP（x）∨$yQ（y））→"xR（x），把G化成前束范式.
解：
G=（"xP（x）∨$yQ（y））→"xR（x）
=Ø（"xP（x）∨$yQ（y））∨"xR（x）
=（Ø"xP（x）∧Ø$yQ（y））∨"xR（x）
=（$xØP（x）∧"yØQ（y））∨"zR（z）
=$x"y"z（（ØP（x）∧ØQ（y））∨R（z））
9.设R是集合A={a,b,c,d}.R是A上的二元关系,R={（a,b）,（b,a）,（b,c）,（c,d）},
（1）求出r（R）,s（R）,t（R）；
（2）画出r（R）,s（R）,t（R）的关系图.
解：
（1）
r（R）＝R∪IA＝{（a,b）,（b,a）,（b,c）,（c,d）,（a,a）,（b,b）,（c,c）,（d,d）},
s（R）＝R∪R－1＝{（a,b）,（b,a）,（b,c）,（c,b）（c,d）,（d,c）},
t（R）＝R∪R2∪R3∪R4＝{（a,a）,（a,b
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