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已经在此领域中研究出了许多有价值的成果，讨论了在统计，信息论,分析、数论等方面的应用.在许多数学领域中，广大学者对某些具有特定类型的数学模型，都能利用大数定律的思考方式总结其代表性的性质及结论，使得这些类型的数学模
型在进行讨论的时候大大简化了繁琐的论证过程，方便了研究.大数定律作为概率论的重要内容，其理论成果相对比较完善，这方面的文章较多，结果也比较完美但对大数定律的应用问题的推广也是一项非常有价值的研究方向，通过对这些问
题的应用推广，不仅能加深对大数定律的理解，而且能使之更为有效的服务于各项知识领域中.下面文中就通过对大数定律的讨论，给出了各大数定律之间的关系，归结出一般性结论.最后列举了一些能用大数定律来解决的实例，希望能通过这些实例,来进一步阐明大数定律在各个分支学科中的重要作用，以及在实际生活中的应用价值，加深大家对大数定律的理解.
第二章大数定律
大数定律的发展历史
概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的科学,而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来.从概率的统计定义中可以看出:
一个事件发生的频率具有稳定性,即随着试验次数的增多,事件的频率逐渐稳定在某个常数附近.人们在实践中观察其他一些随机现象时,也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性.这就是说,无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何,大量随机个体的平均效果与每一个体的特征无关,且不再是随机的.深入考虑后,人们会提出这样的问题:
稳定性的确切含义是什么在什么条件下具有稳定性这就是大数定律要研究的问题.
1733年，德莫佛—拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步，证明了二项分布的极限分布是正态分布。
拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广为更一般的分布。
1900年，李雅普诺夫进一步推广了他们的结论，并创立了特征函数法。
这类分布极限问题是当时概率论研究的中心问题，卜里耶为之命名“中心极限定理”。
20世纪初，主要探讨使中心极限定理成立的最广泛的条件，二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情形下的显着进展。
伯努利是第一个研究这一问题的数学家，他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理。
因此概率论历史上第一个极限定理属于伯努利。
它是概率论与数理统计学的基本定律之一，属于弱大数定律之一，当然也称为伯努利大数定律。
它可以通俗的理解，有些随机事件无规律可循，但不少却是有规律的，这些“有规律的随机事件”中在大量重复出现的条件下，往往呈现几乎必然的统计特性，这个规律就是大数定律。
通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。
例如：
在重复投掷一枚硬币的随机试验中，观测投掷n次硬币中出现正面的次数。
不同的n次试验，出现正面的频率（出现正面次数与n之比）可能不同，但当试验的次数n越来越大时，出现正面的频率将大体上逐渐接近于1/2。
频率靠近概率的一种客观存在的，可以直接观察到的现象。
而伯努利给这种现象给予了一种确切的含义。
随着数学的发展，随机变量序列服从大数定律的证明，出现了更多更广泛的大数定律，例如契贝晓夫大数定律，伯努利
大数定律就是契贝晓夫大数定律的一个特例。
再到后面，出现独立同分布的辛钦大数定律等常用的大数定律。
大数定律的定义
大数定律使用极限方法研究大量随机现象的统计规律性•
人们在长期的实践中发现，频率以及大量测量值的算术平均值具有稳定性，也就是说,无论个别测量值如何，其平均结果实际上与个别测量值的特征无关，几乎不再是随机的了.这种稳定性问题如何从理论上给出解释？
这正是大数定律要解决的问题.
阐明大量重复试验的平均结果具有稳定性的一系列定理都称为大数定律.一般的大数定律都涉及一个随机变量序列｛Xn｝,为此我们给出如下定义.
定义设有一随机变量序列｛Xn｝,假如对任意的0
的性质,则称该随机变量序列｛Xn｝服从大数定律.
几个常用的大数定律
由于随机变量序列向常数的收敛有多种不同的形式，按其收敛为依概率收敛，以概率1收敛或均方收敛，分别有弱大数定律、强大数定律和均方大数定律。
定义1设有一列随机变量，1,2…..,如果对于任意的0,有
limPn1成立，则称n几乎处处收敛于，记作
n
a.e
定义3若1,2,n是随机变量序列，如果存在常数列31,32,，使得对任意的
0,有
Lr
存在,
Ek
上述两个大数定律要注意，强大数定律和弱大数定律区别不仅仅是一
个法则的不同，不能简单的把极限符号lim从概率号P（）中移出来，弱大数
定律描述的是一列概率的收敛性，而强大数定律说的是一列随机变量收敛到一个常数，也正是这点，保证了用事件出现的频率来作为事件概率的估计的正确性。
定理1对任意的随机变量，若Ea，又D存在，则对任意的正常数，有P|a与，则称此式子为契贝晓夫不等式。
粗糙地说，如果D越大，那么Pa也会大一些。
大数定律形式有很多种，我们仅介绍几种最常用的大数定律。
定理2（伯努利大数定律）设n是n重伯努利实验中事件A出现的次数,
且A在每次试验中出现的概率为p（0<
p<
1）,则0,有
limP—p1（5）
此定理表明：
当n很大时，n重伯努利试验中事件A发生的频率几乎等于事件A在每次试验中发生的概率，这个定律以严格的数学形式刻画了频率的稳定性，因此，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。
定理3（契贝晓夫大数定律）设2,n是一列两两不相关的随机变量
又设它们的方差有界，即存在常数C0,使有DiC,i1,2,3，则对于任意的
（9）
1n1n
limP-i-Enni1ni1
在上述的定理中，因为用到契贝晓夫不等式，都有对方差的要求，其实方
差这个条件并不是必要的。
例如独立同分布时的辛钦大数定律
定律。
泊松大数定律是伯努利大数定律的推广，伯努利大数定律证明了事件在完全相同的条件下重复进行的随机试验中频率的稳定性；
而泊松定理表明，当独立进行的随机试验的条件变化时，频率仍然具有稳定性：
随着n的无限增大，在n次独立试验中，事件A的频率趋于稳定在各次试验中事件A出现概率的算术平均值附近。
第三章大数定律的一些应用
大数定律在数学分析中的一些应用
大数定律本身便是概率论中非常重要的定理之一，而它与其他数学理论也有密不可分的联系，而且对这些数学理论分支有不可或缺的作用。
大数定律本身便是频率靠近概率的极限理论，是大量随机现象的平均结果稳定于平均值的极限理论。
可以说大数定律是利用极限才得出的，同时利用大数定律可以来求解极限，这当然只是众多求极限方法之一，但也有它独特的简洁和巧妙。
就以大数定律和极限这个概念的关系为例子，用它来对我们要求的重积分和极限相关的问题进行另一种方式的求解。
极限伴随重积分出现的类型在高数中是常见的，在利用大数定律来求解这类重积分的极限的题目前，先介绍一个相关定理。
大数定律在保险业的应用
现代保险业已经是社会非常重要的一环，而大数定律就是这大厦最重要的基石之一，下面就看看大数定律是如何撑起这座保险业大厦的。
保险业是根据大数定律的法则，集中众多企业或者个人的风险，建立抵御风险的社会机制。
但是保险业的产生不仅仅是为了避险，当然也有利润这只无形的手的驱使，有利润才能保证保险业真正的发展下去，壮大起来。
同时大数定律不仅仅用于计算保险公司避险需要的客户数，也需要用来计算产生的利润的合理范围。
为了抵御风险，保险公司需要大数目的客户，那么这些企业或者个人是如何愿意自己交出保险费投保的呢？
其实这也是企业或者个人为了自己的利益着想，不但是避险，也是一种投资，这就是保险业能够产生发展的一个基础。
例如某企业有资金Z单位，而接受保险的事件具有风险，当风险发生时遭受的经济损失为乙个单位，那么在理性预期的条件下，该企业只能投入的资金
Z乙单位。
假设企业投入资金与所得利润之间的函数关系为fZ，显然有fZfZK，当K乙时为预期风险条件下利润损失额。
当fZfZK0时，企业就需要有避险的需求，且随差额的增大而增大。
这就是企业的避险需求，也是保险业产生的基础。
具有同种类风险，且风险的发生相互独立的众多企业，当风险发生的时候，需要一定的经济补偿，以使损失最小或得以继续某项生产活动，在这里看来，风险的发生，在整体上看是必然的，但从局部看，是随机的，所以这种补偿在风险没有发生时是一种预期。
假设这种随机现象为Xi（i1,2,....,n），则Xi的概率分布为:
Xi取值
乙
概率
上表中，P为风险发生的概率，乙为风险发生时企业的损失额。
那么知道
该事件的数学期望为EXi乙P。
根据契贝晓夫大数定律，当乙有限时，0,
0.
lim
0,上述式子可以表述为：
n个具有某种同类风险，且风险的发生是相互独立的，当风险发生时预计得到补偿的平均值与其各自的期望值之差，可以像事先约定的那样小，以致在企业生产过程中可以忽略不计。
在n重伯努利实验中，事件A在每次试验中出言的概率为p，（0p1），n为n此试验中出现A的次数，贝U
nnpxi与
limP—.xj?
e2dt。
nnpq一2
设随机变量Xi,X2,…，Xn,…相互独立，服从同一分布，且具有数学期
望和方差E（Xk）=卩,D（Xk）=/工0（k=1,2,…）.则随机变量
的分布函数Fn（x）对于任意x满足
根据上述中心极限定理，由事先约定的0,则
这样，由事先给定的、、P确定出参加某种风险保障的企业最小数目n.
当=0.01、P=0.0012，则当约定=0.001时，一定有n130,也就是说当n130时，上述的结果成立。
依据上述结果，从两个方面来看，
从微观上看，因为0P1,则乙PZ!
，由前面说的企业是看利润递增的原则，显然有fZZ1fZPZ1。
此时企业产生参加社会保险的动机，也就是企业参加社会保险比自保更有利。
从宏观上看，如果有n个具有同类风险的企业存在且都实行自保，显然在理性预期的条件下，为抵御风险而失去的利润总额为
D1fiZfiZZ1。
i1
其中fiZ表示第i个企业的利润函数（i=1,2,…..n）.
而这n企业全部参加社会保险后，为了抵御风险而失去的利润总额为
D2fiZfiZPZ1。
则由于参加社会保险而产生的社会总效益为：
由于fZZ,fZP乙,i=1,2,……n.
所以此效益随着n的增大而增大。
⑶
综上所述，企业参加社会保险的动机便是在于参加社保比自保更加的有利，利润的驱使，这也是企业参加保险的重要动机，因此保险业这个行业以存在和发展，也发展了众多的保险公司。
保险公司同样也需要评估是否可保的问题，上面的叙述可以得知，可保的条件有：
1、风险事故造成的损失应当是可以估计的。
2、有大量独立的同质风险单位存在，即是各风险单位遭遇风险事故造成损失的概率和损失规模大致相近，同时各风险单位要相互独立，相互的发生不会产生影响。
这些都是大数定律的基本要求。
到目前为止,大数定律在有些领域中的巨大作用并没有为人们所认知,或者人们的所作所为已经不知不觉地暗含了大数定律,但他们没有意识到.我们现在要谈的是大数定律在银行（尤其是在非国有中小银行）经营管理中的作用,就是属于这种情况.
为说明大数定律在银行（尤其是在非国有中小银行）经营管理中的作用,在此我们将结合非国有中小银行蓬勃发展的例子来加以说明.
鉴于目前我国非国有经济已经在工业增加值中占到70%以上,提供着95%以上的新增就业,支撑着80%以上的经济增长率,但其获得的信贷资源却极为有限.这种情况在很大程度上导致了非国有部门的投资、特别是中小非国有企业的投资难以明显增加.因而尽管宏观政策已经不再是信贷紧缩,但实际生活中却出现了“信贷萎缩”.针对上述情况,有些经济学家已经呼吁积极发展和非国有经济相适应的非国有银行体系.
事实上素以市场大省而闻名全国的浙江,其非国有中小银行的发展早几年就开始了,而且其中的一些已经取得了骄人的业绩.当然在成功的背后也不乏失败者,许多非国有小银行因经营不善而倒闭.诚如企业一样,非国有中小银行在竞争中有胜有败也是正常现象,不过仔细探究其中的成败得失并加以总结还是很有现实意义的.
事实上已经有一些专家学者就一些非国有中小银行蓬勃发展的现象进行了探讨.他们认为：
这种非国有中小银行在根本上不同于国有或国家控股的传统金融机构,其产权安排清晰,激励约束机制完善,经营机制灵活,从源头上切断了一切非市场力量的不适当干预,与市场经济有着天然的亲和力和适应性,其竞争行为均按市场经济的效率原则进行,因而具有极强的生命力.
还有一点疑惑,为什么其他一些非国有中小银行也具有这些优势,但是却没有这么红火甚至关门倒闭呢？
所以,除了上述原因外,一定还有另外一些深层的机理有待发掘.为此,进行了一系列调查,令人感兴趣的是我们发现这些蓬勃发展、运作很好的非国有中小银行有以下两个共同点：
一是其老总原来都从事金融工作；
二是对贷款零售业务,即对每家客户的贷款数目都不大.就其第二条而言,这几家银行在经营管理中已不知不觉地利用了大数定律.
我们知道,由于非国有中小银行经营规模较小,因而只有在每笔贷款数目都不太大时,才可能向尽可能多的客户放贷（当前在贷款时对客户要做适当的选择）这样做尽管仍然会由于信息不对称以及另外一些因素而造成银行对每个借款人的还贷能力难以准确掌握.
由大数定律可知,在客户数量比较多时,所有贷出去的款项中会成为坏账的数量在总的贷款中所占的比例会呈一个比较稳定的数值.因而若银行的管理者能事先对坏账占贷款总数的比例有个较为准确的估计,并进而在制定贷款计划时就将这个比例考虑进去,就能使银行的经营风险降到较低水平.而要做到这一点,就有赖于管理者的素质了,而上述几家信用社的老总由于拥有了原来就在金融部门工作多年的经历,恰好能做到这一点.
另外,由大数定律所要求的银行实行每笔贷款的小额化,还有一个非常重要的作用,就是可以降低因借款人的败德行为而给银行带来的损失.
在现实生活中不乏下列现象：
一个人在借入钱的数额不大时,一般都是能准时归还（因这时若不还钱所得的收益和由此所造成的名誉损失相比是得不偿失的）,给人的感觉就是此人的信用很好,因而人们都乐于借钱给他；
但当此人在借入了大笔的钱后,则他可能携款潜逃或先将财产转移后再以经营亏空为由,并摆出一付要钱没有、要命一条的样子,拒不还钱.这种道德败坏行为会给银行造成巨大损失,严重时甚至会导致那些经营规模较小的银行倒闭.
需要指出的是,尽管非国有银行体系在弥补国有金融体系缺陷、促进非国有经济发展上作出了不可磨灭的贡献,且今后随着非国有银行的不断发展,它将发挥越来越大的作用,但由于非国有银行普遍规模较小,经营者素质不高,技术落后,业务范围受擎,故其抵御金融风险的能力极弱,面临破产倒闭的情形时有发生.因此非常有必要加强非国有银行机构的风险防范、化解与监管工作.
对非国有银行机构的监管既有来自政府和国有金融方面的,更应有侧重于增强其内生风险处理机制的功能,促进其内控体系的建立与完善.因而努力降低经营风险,采取稳健踏实的经营方式并在此基础上不断发展壮大应成为非国有中小银行经营者的经营策略.
从前面的分析中可知,如果非国有中小银行的经营者能充分利用非国有中小银行自身的灵活、便利和高效的优势,并能很好地领会和掌握大数定律的精髓并以此来指导自己的经营管理活动,做足做好小额化、零售化业务,那么非国有中小银行在国有大型银行的夹缝中照样能够稳健经营并且能不断发展壮大.
以上非国有中小银行的成功事例事实上也印证了这一点.而从世界范围来看,银行业务的零售化已经渐成潮流,跨国银行中的大哥大花旗银行就是靠其对中小企业、个人的零售业务来支撑的.
结论
本文根据有关大数定律的定义、定理，得到大数定律更多的内容，比如强大数定律的定义等。
总结起来，分别在理论上和实践上看到了大数定律的实际作用。
在理论上，利用大数定律的思想，我们可以得出求解极限、重积分以及级数的一种新思路，为我们解决一些数学分析中的难题提供了理论上的指导；
另一方面，在实际生活中，保险体现“我为人人，人人为我”的互助思想，它是依据大数定律合理分摊、化整为零这一科学的数理计算方法，大数定律是保险业存在、发展的基础。
从保险动机的产生、保险公司财政稳定和保费的确定中，大数定律起到不可或缺的作用。
大数定律为促进人类社会和谐又好又快发展有着不可估量的价值。
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