斐波那契数列各种语言的解法共13页word资料Word文档格式.docx
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1、1、2、3、5、8、13、21、……
这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
它的通项公式为:
（见图）（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。
）
有趣的是：
这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
[编辑本段]【奇妙的属性】
随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887……
从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。
（注：
奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如第五项的平方比前后两项之积多1，第四项的平方比前后两项之积少1）
如果你看到有这样一个题目：
某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：
为什么64＝65？
其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：
5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。
斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。
斐波那契数列（f（n），f（0）=0，f
（1）=1，f
（2）=1，f（3）=2……）的其他性质：
1.f（0）+f
（1）+f
（2）+…+f（n）=f（n+2）-1
2.f
（1）+f（3）+f（5）+…+f（2n-1）=f（2n）
3.f
（2）+f（4）+f（6）+…+f（2n）=f（2n+1）-1
4.[f（0）]^2+[f
（1）]^2+…+[f（n）]^2=f（n）·
f（n+1）
5.f（0）-f
（1）+f
（2）-…+（-1）^n·
f（n）=（-1）^n·
[f（n+1）-f（n）]+1
6.f（m+n）=f（m-1）·
f（n-1）+f（m）·
f（n）
利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为O（logn）的程序。
7.[f（n）]^2=（-1）^（n-1）+f（n-1）·
8.f（2n-1）=[f（n）]^2-[f（n-2）]^2
9.3f（n）=f（n+2）+f（n-2）
10.f（2n-2m-2）[f（2n）+f（2n+2）]=f（2m+2）+f（4n-2m）[n〉m≥-1,且n≥1]斐波那契数列
在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列
1
11
121
1331
14641
……
过第一行的“1”向左下方做45度斜线，之后做直线的平行线，将每条直线所过的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、……
斐波那契数与植物花瓣
3………………………百合和蝴蝶花
5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草
8………………………翠雀花
13………………………金盏
21………………………紫宛
34、55、89……………雏菊
斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。
例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那息叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。
叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。
叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。
在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。
多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。
斐波那契数列与黄金比
1/1=1，2/1=2，3/2=1.5，5/3=1.6…，8/5=1.6，…………89/55=1.61818…，…………233/144=1.618055…
[编辑本段]【影视链接】
斐波那契数列在欧美可谓是尽人皆知，于是在电影这种通俗艺术中也时常出现，比如在风靡一时的《达芬奇密码》里它就作为一个重要的符号和情节线索出现，在《魔法玩具城》里又是在店主招聘会计时随口问的问题。
可见此数列就像黄金分割一样流行。
可是虽说叫得上名，多数人也就背过前几个数，并没有深入理解研究。
[编辑本段]【相关的数学问题】
1.排列组合
有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法?
这就是一个斐波那契数列：
登上第一级台阶有一种登法；
登上两级台阶，有两种登法；
登上三级台阶，有三种登法；
登上四级台阶，有五种登法……
1，2，3，5，8，13……所以，登上十级，有89种走法。
2.数列中相邻两项的前项比后项的极限
当n趋于无穷大时，F（n）/F（n+1）的极限是多少？
这个可由它的通项公式直接得到，极限是（-1+√5）/2，这个就是黄金分割的数值，也是代表大自然的和谐的一个数字。
3.求递推数列a
（1）=1，a（n+1）=1+1/a（n）的通项公式
由数学归纳法可以得到：
a（n）=F（n+1）/F（n），将斐波那契数列的通项式代入，化简就得结果。
[编辑本段]【斐波那契数列别名】
斐波那契数列又因数学家列昂纳多·
斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。
一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。
如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？
我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：
第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对；
两个月后，生下一对小兔民数共有两对；
三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对；
－－－－－－
依次类推可以列出下表：
经过月数：
---1---2---3---4---5---6---7---8---9---10---11---12
兔子对数：
---1---1---2---3---5---8--13--21--34--55--89--144
表中数字1，1，2，3，5，8－－－构成了一个数列。
这个数列有关十分明显的特点，那是：
前面相邻两项之和，构成了后一项。
这个特点的证明：
每月的大兔子数为上月的兔子数，每月的小兔子数为上月的大兔子数，即上上月的兔子数，相加。
这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在＜算盘全书＞中提出的，这个级数的通项公式，除了具有a（n+2）=an+a（n+1）的性质外，还可以证明通项公式为：
an=（1/√5）*[（1+√5/2）^n-（1-√5/2）^n]（n=1,2,3.....）
[编辑本段]斐波那契数列公式的推导
【斐波那契数列通项公式的推导】 斐波那契数列：
如果设F（n）为该数列的第n项（n∈N+）。
那么这句话可以写成如下形式：
F（0）=0，F
（1）=F
（2）=1，F（n）=F（n-1）+F（n-2）（n≥3）
显然这是一个线性递推数列。
通项公式的推导方法一：
利用特征方程
线性递推数列的特征方程为：
X^2=X+1
解得
X1=（1+√5）/2,，X2=（1-√5）/2
则F（n）=C1*X1^n+C2*X2^n
∵F
（1）=F
（2）=1
∴C1*X1+C2*X2
C1*X1^2+C2*X2^2
解得C1=1/√5，C2=-1/√5
∴F（n）=（1/√5）*{[（1+√5）/2]^n-[（1-√5）/2]^n}（√5表示根号5）
通项公式的推导方法二：
普通方法
设常数r，s
使得F（n）-r*F（n-1）=s*[F（n-1）-r*F（n-2）]
则r+s=1，-rs=1
n≥3时，有
F（n）-r*F（n-1）=s*[F（n-1）-r*F（n-2）]
F（n-1）-r*F（n-2）=s*[F（n-2）-r*F（n-3）]
F（n-2）-r*F（n-3）=s*[F（n-3）-r*F（n-4）]
F（3）-r*F
（2）=s*[F
（2）-r*F
（1）]
将以上n-2个式子相乘，得：
F（n）-r*F（n-1）=[s^（n-2）]*[F
（2）-r*F
（1）]
∵s=1-r，F
（1）=F
（2）=1
上式可化简得：
F（n）=s^（n-1）+r*F（n-1）
那么：
=s^（n-1）+r*s^（n-2）+r^2*F（n-2）
=s^（n-1）+r*s^（n-2）+r^2*s^（n-3）+r^3*F（n-3）
=s^（n-1）+r*s^（n-2）+r^2*s^（n-3）+……+r^（n-2）*s+r^（n-1）*F
（1）
=s^（n-1）+r*s^（n-2）+r^2*s^（n-3）+……+r^（n-2）*s+r^（n-1）
（这是一个以s^（n-1）为首项、以r^（n-1）为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和）
=[s^（n-1）-r^（n-1）*r/s]/（1-r/s）
=（s^n-r^n）/（s-r）
r+s=1，-rs=1的一解为s=（1+√5）/2，r=（1-√5）/2
则F（n）=（1/√5）*{[（1+√5）/2]^n-[（1-√5）/2]^n}
迭代法
已知a1=1,a2=1,an=a（n-1）+a（n-2）（n>
=3）,求数列{an}的通项公式
解:
设an-αa（n-1）=β（a（n-1）-αa（n-2））
得α+β=1
αβ=-1
构造方程x&
sup2;
-x-1=0,解得α=（1-√5）/2,β=（1+√5）/2或α=（1+√5）/2,β=（1-√5）/2
所以
an-（1-√5）/2*a（n-1）=（1+√5）/2*（a（n-1）-（1-√5）/2*a（n-2））=[（1+√5）/2]^（n-2）*（a2-（1-√5）/2*a1）`````````1
an-（1+√5）/2*a（n-1）=（1-√5）/2*（a（n-1）-（1+√5）/2*a（n-2））=[（1-√5）/2]^（n-2）*（a2-（1+√5）/2*a1）`````````2
由式1,式2,可得
an=[（1+√5）/2]^（n-2）*（a2-（1-√5）/2*a1）``````````````3
an=[（1-√5）/2]^（n-2）*（a2-（1+√5）/2*a1）``````````````4
将式3*（1+√5）/2-式4*（1-√5）/2,化简得an=（1/√5）*{[（1+√5）/2]^n-[（1-√5）/2]^n}
`````
[编辑本段]【C语言程序】
//利用循环输出前40项
#include<
stdio.h>
intmain（）
{
longfib[41]={0,1};
inti;
for（i=2;
i<
41;
i++）fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2];
for（i=1;
i++）printf（"
F%d==%d\n"
i,fib[i]）;
getch（）;
return0;
}
//利用递归实现指定项输出
第n项和。
（1<
n<
25）
#include<
voidmain（）
longintf1,f2;
intn,i,c;
scanf（"
%d"
&
n）;
f1=1;
f2=1;
=n;
i++）
c=i+1;
printf（"
%dItem=%ld%dItem=%ld"
i,f1,c,f2）;
if（i%2==0）printf（"
\n"
）;
f1=f1+f2;
f2=f2+f1;
[编辑本段]【C#语言程序】
publicclassFibonacci
//NormRen
staticvoidMain（string[]args）
intx=0,y=1;
for（intj=1;
j<
10;
j++,y=x+y,x=y-x）
Console.Write（y+"
"
[编辑本段]【Java语言程序】
publicstaticvoidmain（String[]args）
intx=1,y=1;
System.out.println（x+"
for（inti=1;
=20;
System.out.println（y+"
y=x+y;
x=y-x;
[编辑本段]【JavaScript语言程序】
functionFibonacci（num）{
if（num<
=2）{
return1;
}else{
returnFibonacci（num-1）+Fibonacci（num-2）
[编辑本段]【Pascal语言程序】
递推：
var
fib:
array[1..40]oflongint;
i:
integer;
begin
fib[1]:
=1;
fib[2]:
fori:
=3to40do
fib[i]:
=fib[i-1]+fib[i-2];
=1to40do
write（fib[i],'
'
end.
递归：
functionfib（n:
integer）:
longint;
if（n=1）thenexit（0）;
if（n=2）thenexit
（1）;
=fib（n-2）+fib（n-1）;
end;
高精度:
（编写BY:
AzraelWZJ）
programfzu1060;
typearr=array[0..1001]ofinteger;
vara,b,c:
arr;
i,j,k,n:
integer;
procedureadd（vara,b,c:
arr）;
fillchar（c,sizeof（c）,0）;
c[0]:
=b[0];
=1toc[0]do
c[i]:
=a[i]+b[i];
c[i+1]:
=c[i+1]+（c[i]div10）;
=c[i]mod10;
ifc[c[0]+1]>
0then
inc（c[0]）;
inc（c[c[0]+1],c[c[0]]div10）;
c[c[0]]:
=c[c[0]]mod10;
a:
=b;
b:
=c;
assign（input,'
d:
\input.txt'
assign（output,'
\output.txt'
reset（input）;
rewrite（output）;
whilenoteofdo
readln（n）;
fillchar（a,sizeof（a）,0）;
fillchar（b,sizeof（b）,0）;
a[0]:
=1;
a[1]:
b[0]:
b[1]:
ifn=1thenwrite
（1）
else
ifn=2thenwrite
（1）
fork:
=3tondo
add（a,b,c）;
=c[0]downto1do
write（c[k]）;
writeln;
close（input）;
close（output）;
以上程序为FZU1060的标程.
[编辑本段]【PL/SQL程序】
declareinumber:
=0;
jnumber:
xnumber:
whilex<
1000
loop
dbms_output.put_line（x）;
x:
=i+j;
=j;
j:
=x;
endloop;
[编辑本段]【数列与矩阵】
对于斐波那契数列1、1、2、3、5、8、13、…….有如下定义
F（n）=f（n-1）+f（n-2）
F
（1）=1
F
（2）=1
对于以下矩阵乘法
F（n+1）=11*F（n）
F（n）10F（n-1）
它的运算就是
F（n+1）=F（n）+F（n-1）
F（n）=F（n）
可见该矩阵的乘法完全符合斐波那契数列的定义
设1为B，11为C
110
可以用迭代得到：
斐波那契数列的某一项F（n）=（BC^（n-2））1
这就是斐波那契数列的矩阵乘法定义。
另矩阵乘法的一个运算法则A&
not;
^n（n为偶数）=A^（n/2）*A^（n/2）.
因此可以用递归的方法求得答案。
时间效率：
O（logn），比模拟法O（n）远远高效。
代码（PASCAL）
{变量matrix是二阶方阵，matrix是矩阵的英文}
programfibonacci;
type
matrix=array[1..2,1..2]ofqword;
c,cc:
matrix;
n:
functionmultiply（x,y:
matrix）:
temp:
temp[1,1]:
=x[1,1]*y[1,1]+x[1,2]*y[2,1];
temp[1,2]:
=x[1,1]*y[1,2]+x[1,2]*y[2,2];
temp[2,1]:
=x[2,1]*y[1,1]+x[2,2]*y[2,1];
temp[2,2]:
=x[2,1]*y[1,2]+x[2,2]*y[2,2];
exit（temp）;
functiongetcc（n:
t:
ifn=1thenexit（c）;
=ndiv2;
=getcc（t）;
=multiply（temp,temp）;
ifodd（n）thenexit（multiply（temp,c））
elseexit（temp）;
procedureinit;
c[1,1]:
c[1,2]:
c[2,1]:
c[2,2]:
ifn=1then
writeln
（1）;
halt;
ifn=2then
cc:
=getcc（n-2）;
procedurework;
writeln（cc[1,1]+cc[1,2]）;
init;
work;
[编辑本段]【数列值的另一种求法】
F（n）=[（（sqrt（5）+1）/2）^n]
其中[x]表示取距离x最近的整数。
[编辑本段]【数列的前若干项】
1、1
2、1
3、2
4、3
5、5
6、8
7、13
8、21
9、34
10、55
11、89
12、144
13、
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