完整版整理好的平面直角坐标系找规律解析doc.docx
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平面直角坐系找律型解析
1、如，正方形ABCD的点分A（1,1）B（1，-1）C（-1，-1）D（-1，1），y上有一点P（0，2）。
作点P关于点A的称点p1，作p1关于点B的称点p2，作点p2关于点C的称点p3，作p3关于点D的称点p4，作点p4关于点A的称点p5，作p5关于点B的称点p6┅，按如此操作下去，点p2011的坐是多少？
解法1：
称点P1、P2、P3、P4每4个点，形一个循周期。
每个周期均由点P1，P2，P3，P4成。
第1周期点的坐：
P1（2,0），P2（0,-2），P3（-2,0），P4（0,2）
第2周期点的坐：
P1（2,0），P2（0,-2），P3（-2,0），P4（0,2）
第3周期点的坐：
P1（2,0），P2（0,-2），P3（-2,0），P4（0,2）
第n周期点的坐：
P1（2,0），P2（0,-2），P3（-2,0），P4（0,2）
2011÷4=502⋯3，所以点P2011的坐与P3坐相同，（－2，0）
解法2：
根据意，P1（2，0）P2（0，－2）P3（－2，0）P4（0，2）。
根据p1-pn每四个一循的律，可以得出：
P4n（0，2），P4n+1（2，0），P4n+2（0，－2），P4n+3（－2，0）。
2011÷4=502⋯3，所以点P2011的坐与P3坐相同，（－2，0）
：
此是循，关是找出每几个一循，及循的起始点。
此是每四个点
一循，起始点是p点。
2、在平面直角坐系中，一从原点O出，按向上、向右、向下、向右的方向依次
不断移，每次移1个位．其行走路如下所示．
y
1
A2
A5
A6
A9
A10
1
A
O
A3A4
A8
11
12
x
A7
A
A
（1）填写下列各点的坐：
A4（
，
），A8（
，
），A10（
，
），A12（
）；
（2）写出点A4n的坐（n是正整数）；
（3）按此移律，若点Am在x上，用含n的代数式表示m（n是正整数）
（4）指出从点A2011到点A2012的移方向．
（5）指出从点A100到点A101的移方向．（6）指出A106，A201的的坐及方向。
解法：
（1）由可知，A4，A12，A8都在x上，
∵小每次移1个位，∴OA4=2，OA8=4，OA12=6，
∴A4（2，0），A8（4，0），A12（6，0）；同理可得出：
A10（5，1）
（2）根据
（1）OA4n=4n÷2=2n，∴点A4n的坐（2n，0）；（3）∵只有下4的倍数或比4n小1的数在x上，∴点Am在x上，用含n的代数式表示：
m=4n或m=4n-1；
（4）∵2011÷4=502⋯3，
∴从点A2011到点A2012的移方向与从点A3到A4的方向一致，向右．
（5）点A100中的n正好是4的倍数，所以点A100和A101的坐分是A100（50，0）
和A101（50，1），所以从点A100到A101的移方向是从下向上。
（6）方法1：
点A1、A2、A3、A4每4个点，形一个循周期。
每个周期均由点A1，A2，A3，A4成。
第1周期点的坐：
A1（0,1）
，A2（1,1）
，A3（1,0）
，A4（2,0）
第2周期点的坐：
A1（2,1）
，A2（3,1）
，A3（3,0）
，A4（4,0）
第3周期点的坐：
A1（4,1）
，A2（5,1）
，A3（5,0）
，A4（6,0）
第n周期点的坐：
A1（2n-2,1），A2（2n-1,1），A3（2n-1,0），A4（2n,0）
106÷4=26⋯2，所以点A106坐与第27周期点A2坐相同,（2×27-1,1），即（53,1）方
向朝下。
201÷4=50⋯1，所以点A201坐与第51周期点A1坐相同,（2×51-2,1），即（100,1）
方向朝右。
方法2：
由示可知，在x上的点A的下奇数，箭朝下，下偶数，箭朝上。
106=104+2，即点A104再移两个位后到达点A106，A104的坐（52，0）且移的方向朝上，所以A106的坐（53，1），方向朝下。
同理：
201=200+1，即点A200再移一个位后到达点A201，A200的坐（100，0）且移的方向朝上，所以A201的坐（100，1），方向朝右。
3、一只跳蚤在第一象限及
x、y上跳，在第一秒，它从原点跳到
（0，1），然
后接着按中箭所示方向跳
[即（0，0）→（0，1）
→（1，1）
→（1，0）→⋯]，且每秒跳
一个位，那么第35秒跳蚤所在位置的坐是多少？
第42、49、2011秒所在点的坐及方向？
解法1：
到达（1，1）点需要2秒
到达（2，2）点需要2+4秒
到达（3，3）点需要2+4+6秒
到达（n，n）点需要2+4+6+...+2n秒＝n（n+1）秒
当横坐奇数，箭朝下，再指向右，当横坐偶数，箭朝上，再指向左。
35=5×6+5，所以第5*6=30秒在（5，5），此后要指向下方，再5秒正好到（5,0）
即第35秒在（5，0），方向向右。
42=6×7，所以第6×7=42秒在（6，6），方向向左
49=6×7+7，所以第6×7=42秒在（6，6），再向左移6秒，向上移一秒到（0，7）
即第49秒在（0，7），方向向右
解法2：
根据形可以找到如下律，当
2
秒在（0，n），且方向指向
n奇数是n
2
秒在（n，0），且方向指向上。
右；当n偶数n
2
6，0）倒退一秒到达所得点的坐（
5，0），即第35
秒的坐
35=6-1，即点（
（5，0）方向向右。
用同的方法可以得到第
42、49、2011的坐及方向。
4、如，所有正方形的中心均在坐原点，且各与
x或
y平行．从内到外，它
的依次
2，4，6，8，⋯，点依次用
A1，A2，A3，A4，⋯表示，点
A55的坐是（
）
解法1：
察象，每四个点一圈行循，根据点的脚与坐找律。
察象，点A1、A2、A3、A4每4个点，形一个循周期。
每个周期均由点A1，A2，A3，A4成。
第1周期点的坐：
A1（-1,-1）
，A2（-1,1）
，A3（1,1）
，A4（1,-1）
第2周期点的坐：
A1（-2,-2）
，A2（-2,2）
，A3（2,2）
，A4（2,-2）
第3周期点的坐：
A1（-3,-3）
，A2（-3,3）
，A3（3,3）
，A4（3,-3）
第n周期点的坐：
A1（-n,-n）
，A2（-n,n）
，A3（n,n）
，A4（n,-n）
∵55÷4=13⋯3，∴A55坐与第14周期点A3坐相同,（14,14），在同一象限解法2：
∵55=4×13+3，∴A55与A3在同一象限，即都在第一象限，
根据中形中的律可得：
3=4×1-1，A3的坐（1，1），7=4×2-1，A7的坐（2，2），
11=4×3-1，A11的坐（3，3）；55=4×14-1，A55（14，14）
5、在平面直角坐系中，于平面内任一点（m，n），定以下两种：
（1）f（m，n）=（m，n），如f（2，1）=（2，1）；
（2）g（m，n）=（m，n），如g（2，1）=（2，1）．
按照以上有：
f[g（3，4）]=f（3,4）=（3，4），那么g[f（3，2）]等于（）
解：
∵f（3，2）=（3，2），∴g[f（3，2）]=g（3，2）=（3，2），6、在平面直角坐系中，于平面内任一点（a，b），若定以下三种：
1、f（a，b）=（a，b）．如：
f（1，3）=（1，3）；
2、g（a，b）=（b，a）．如：
g（1，3）=（3，1）；
3、h（a，b）=（a，b）．如：
h（1，3）=（1，3）．
按照以上有：
f（g（2,3））=f（-3，2）=（3,2），那么f（h（5,-3））等于（）（5，3）
7、一点P从距原点1个位的M点向原点方向跳，第一次跳到OM的中点M3，第二次从M3跳到OM3的中点M2，第三次从点M2跳到OM2的中点M1，如此不断跳下
去，第n次跳后，点到原点O的距离（）
解：
由于OM=1，所有第一次跳到OM的中点M3，OM3=OM=，同理第二次从M3
点跳到M2，即在离原点的2，同理跳n次后，即跳到了离原点的处
8、如，在平面直角坐系中，有若干个横坐分整数的点，其序按中“→”
方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）⋯根据个
律，第2012个点的横坐（
）45．
解：
根据形，以最外的矩形上的点准，点的个数等于
x上横坐的平方，
例如：
右下角的点的横坐1，共有1个，1=12，
右下角的点的横坐
2
，共有4个，4=22，
右下角的点的横坐
3
，共有9个，9=32，
右下角的点的横坐
4
，共有16
个，16=42，
右下角的点的横坐
n，共有n2
个，
∵452=2025，45是奇数，∴第2025个点是（45，0），第2012个点是（45，13），9、（2007?
遂宁）如，在平面直角坐系中，有若干个整数点，其序按中“→”
方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）⋯根据个律探究可得，第88个点的坐（）．
解：
由形可知：
点的横坐是偶数，箭朝上，点的横坐是奇数，箭朝下。
坐系中的点有律的按列排列，第1列有1个点，第2列有2个点，第3列有3个点⋯第n列有n个点。
∵1+2+3+4+⋯+12=78，∴第78个点在第12列上，箭常上。
∵88=78+10，∴从第78个点开始再10个点，就是第88个点的坐在第13列上，坐（13，13-10），即第88个点的坐是（13，3）
10、如，已知Al（1，0），A2（1，1），A3（1，1），A4（1，1），A5（2，
1），⋯．点A2007的坐（）．
解法1：
察象，点A1、A2、A3、A4每4个点，形一个循周期。
每个周期均由点A1，A2，A3，A4成。
第1
周期点的坐：
A1（1,0）
，
A2（1,1）
，A3（-1,1）
，A4（-1,-1）
第2
周期点的坐：
A1（2,-1）
，
A2（2,2）
，A3（-2,2）
，A4（-2,-2）
第3
周期点的坐：
A1（3,-2）
，
A2（3,3）
，A3（-3,3）
，A4（-3,-3）
第n周期点的坐：
A1（n,-（n-1））
，A2（n,n）
，A3（-n,n）
，A4（-n,-n）
因2007÷4=501⋯3，所以A2007的坐与第502周期的点A3的坐相同，即（-502,502）解法2：
由形以可知各个点（除A1点和第四象限内的点外）都位于象限的角平分上，
位于第一象限点的坐依次A2（1，1）A6（2，2）A10（3，3）⋯A4n2（n，n）。
因第一象限角平分的点的字母的下是2，6，10，14，即4n2（n是自然数，
n是点的横坐的）；
同理第二象限内点的下是4n1（n是自然数，n是点的横坐的）；
第三象限是4n（n是自然数，n是点的横坐的）；
第四象限是1+4n（n是自然数，n是点的横坐的）；
因2007÷4=501⋯3，所以A2007位于第二象限。
2007=4n1n=502，
故点A2007在第二象限的角平分上，即坐（502，502）．
11、如，一个机器人从O点出，向正方向走3米到达A1点，再向正北方向走6米
到达A2点，再向正西方向走9米到达A3点，再向正南方向走12米到达A4点，再向正方
向走15米到达A5点、按如此律走下去，当机器人走到A6，A108点D的坐各是多少。
解法1：
察象，点A1、A2、A3、A4每4个点，形一个循周期。
每个周期均由点A1，A2，A3，A4成。
第1
周期点的坐：
A1（3,0）
，
A2（3,6）
，A3（-6,6）
，A4（-6,-6）
第2
周期点的坐：
A1（9,-6）
，
A2（9,12）
，A3（-12,12）
，A4（-12,-12）
第3
周期点的坐：
A1（15,-12）
，
A2（15,18）
，A3（-18,18）
，A4（-18,-18）
第n周期点的坐：
A1（6n-3,-（6n-6）），A2（6n-3,6n），A3（-6n,6n），A4（-6n,-6n）
因6÷4=1⋯2，所以A6的坐，与第2周期的点A2的坐相同，即（9,12）
因108÷4=27，所以A108的坐与第27周期的点A4的坐相同，（-6×27,-6×27）解法2：
根据意可知，A1A2=3,A2A3=6,A3A4=8,A4A5=15,当机器人走到A6点，A5A6=18
米，点A6的坐是（9，12）；
12、（2013?
州）如，在直角坐系中，已知点A（3，0）、B（0，4），△OAB
作旋，依次得到△1、△2、△3、△4⋯，△2013的直角点的坐（）．
解：
∵点A（3，0）、B（0，4），∴AB==5，
由可知，每三个三角形一个循依次循，一个循前的度：
4+5+3=12，
∵2013÷3=671，∴△2013的直角点是第671个循的最后一个三角形的直角点，
∵671×12=8052，∴△2013的直角点的坐（8052，0）．
12．（2013?
聊城）如，在平面直角坐系中，一点从原点O出，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移，每移一个位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），⋯那么点A4n+1（n自然数）的坐（）
解：
由可知，n=1，4×1+1=5，点A5（2，1），n=2，4×2+1=9，点A9（4，1），
n=3，4×3+1=13，点A13（6，1），所以，点A4n+1（2n，1）．
13．（2013?
湛江）如，所有正三角形的一平行于x，一点在y上．从内到外，它的依次2，4，6，8，⋯，点依次用A1、A2、A3、A4⋯表示，其中A1A2与x、底A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、⋯均相距一个位，求点A3和A92的坐分是多少，．
解法1：
察象，点A1、A2、A3、每3个点，形一个循周期。
根据算A3的坐是（0，1）
每个周期均由点A1，A2，A3，成。
第1周期点的坐：
A1（-1,-1）
，A2（1,-1）
，A3（0,
1）
第2周期点的坐：
A1（-2,-2）
，A2（2,-2）
，A3（0,
）
第3周期点的坐：
A1（-3,-3）
，A2（3,-3）
，A3（0,
+1）
第n周期点的坐：
A1（-n,-n）
，A2（n,-n）
，A3（0,
+n-2），
因3÷3=1，所以A3的坐与第1周期的点A3的坐相同，即（0,1）
因92÷3=30⋯2，所以A92的坐与第31周期的点A2的坐相同，即（31,-31）
解法2：
∵△A1A2A3的2，∴△A1A2A3的高2×=，
∵A1A2与x相距1个位，∴A3O=1，∴A3的坐是（0，1）；
∵92÷3=30⋯2，∴A92是第31个等三角形的初中第四象限的点，第31个等三角形2×31=62，
∴点A92的横坐×62=31，∵A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、⋯均相距一个位，∴点A92的坐31，∴点A92的坐（31，31）．
14、如是某同学在外的一款件，精灵从O点第一跳落到A1（1，0），第二
跳落到A2（1，2），第三跳落到A3（4，2），第四跳落到A4（4，6），第五跳落到A5___．到
达A2n后，要向____方向跳____个位落到A2n+1．
解：
∵精灵从O点第一跳落到A1（1，0），第二跳落到A2（1，2），第三跳落到
A3（4，2），第四跳落到A4（4，6），
∴精灵先向右跳，再向上跳，每次跳距离次数+1，即可得出：
第五跳落到A5（9，6），到达A2n后，要向右方向跳（2n+1）个位落到A2n+1．
17．（2012?
莱）将正方形ABCD的各按如所示延，从射AB开始，分在各射
上点A1、A2、A3、⋯，按此律，点A2012在那条射上．
解：
如所示：
点名称射名称
AB
A1
A3
A10
A12
A17
A19
A26
A28
⋯
CD
A2
A4
A9
A11
A18
A20
A25
A27
⋯
BC
A5
A7
A14
A16
A21
A23
A30
A32
⋯
DA
A6
A8
A13
A15
A22
A24
A29
A31
⋯
根据表格中点的排列律，可以得到点的坐是每16个点排列的位置一循，因2012=16×125+12，所以点A2012所在的射和点A12所在的直一．
因点A2012所在的射是射AB，所以点A2012在射AB上，故答案：
AB．
18、（2011?
州）如，点P在平面直角坐系中按中箭所示方向运，第1次从原点运到点（1，1），第2次接着运到点（2，0），第3次接着运到点（3，2），⋯，
按的运律，第2011次运后，点P的坐是_________．
解法1：
察象，每4个点，形一个循周期。
每个周期均由点P1，P2，P3，P4成。
第1周期点的坐：
P1（1,1）
，
P2（2,0）
，
P3（3,2）
，P4（4,0）
第2周期点的坐：
P1（5,1）
，
P2（6,0）
，
P3（7,2）
，P4（8,0）
第3周期点的坐：
P1（9,1）
，
P2（10,0）
，
P3（11,2）
，P4（12,0）
第n周期点的坐：
P1（4n-3,1）
，P2（4n-2,0）
，P3（4n-1,2），P4（4n,0）
因2011÷4=502⋯3，所以P2011的坐与第503周期的点P3的坐相同（503×4-1,
2），
即（2011，2）
解法
2、根据点
P在平面直角坐系中按中箭所示方向运，第
1次从原点运
到点（1，1），第
2次接着运到点（
2，0），第
3次接着运到点（
3，2），
∴第
4次运到点（
4，0），第
5次接着运到点（
5，1），⋯，
∴横坐运次数，第2011次运后，点P的横坐2011，坐1，0，
2，0，每4次一，
∴第2011次运后，点P的坐：
2011÷4=502余3，故坐四个数中
第三个，即2，∴第2011次运后，点P的坐是：
（2011，2）
19、将正整数按如所示的律排列下去．若用有序数（
到右第m个数，如（4，3）表示数9，（7，2）表示的数是
n，m）表示第_________
n排，从左
．
解：
第1排的第一个数1，
第2排的第一个数2，即2=1+1
第3排的第一个数4，即4=1+1+2
第4排的第一个数7，即7=1+1+2+3
第n排的第一个数1+1+2+3+⋯+n-1=1+n（n-1）/2
将7入上式得1+n（n-1）/2=1+7×3=22，所以第七排的第二个数是23，即（7，2）表示的数是23.
20、（2011?
州）如，在平面直角坐系上有点A（1，0），点A
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