几个常用统计分布Word下载.docx
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~
i1i1
）
推论1
设X,X,是来自正态总体
XN（,）12n
的样本,则样本的任一确定的线性函数
CX~N（
ii
C
）.
其中
C,
1
C,,
为不全为零的常数
.
推论2
设
X,X,,
12
X是来自正态总体N（,）
2的样本,X是样本均值,则有X~N（,/n）.
推论3
设与
X,X,,XY,Y,,
12n12
Y
分别是
来自两个独立的正态总体N
（,）,
N（,
的样本,设X
11
X,Y
i1i1
12
分别是这两
个样本的均值,则有
XY~N
（
或
（
/
1
~N（0,1）
2.
分布
定义设,,,相互独立，均服从（0,1）
XXXN
分布,则称统计量＝服从自由
XXX
2222
n12n
222
度为n的分布,记为~（n）.
自由度:
指
nXXX
中右端包含独立
变量的个数.
定理分布的概率密度为
2（n）
nx
1
x2e2
x0
p（x）
2（）
2
0其它
11
2分布即为分布
）,
证明因为（1,
22
又因为2~2
（1）,
X~N（0,1）,由定义X
即
2in
Xi
~,,1,2,,.Xi
因为
X1相互独立
X,,X
2n
X1也相互独立
2,22
X,,X
根据
分布的可加性知
n1
nX.
~,i
（）.
2n分布的概率密度曲线如图
分布的性质
（2分布的可加性性质1）
~
（n）,
2
~
（n
）,
并且
独
立,则
~
（此性质可以推广到多个随机变量的情形）
~（n）,并且
（i1,2,,m
相互
独立,则
m
~（nn
（2分布的数学期望和方差性质2）
若（）,则（）,（）2.
2~2nE2nD2n
证明X~N（0,1）,2
因为（）（）1,
所以EiDX
Xi
42
D312,i1,2,,n.
（XiEXEX
2）（）[（）]
故
E（EX
2）2
2
E
（Xn,
2）
DDX
（
D（X2n.
性质3
设~（n）,则对任意x,有
lim
n
n
t
x
P{edt
x}
2n
2
22
证明由假设和定义,X,其中X,X,,X
ni12n
i1
222独立且每个X~N（0,1）,因而X,X,,X独立同分布,
i12n
且
（Xi2DX2in
）1,（）2（1,2,,）
由中心极限定理得
n
P{n
x}
Xn
limP{1x}
i
nn2
n2
e
dt
即
分布的极限分布是正态
分布,
也即,当n很大时
n
近似服从N（0,1）.进而
近似
N（n,2n）.
例1
设为来自正态总体的一组
X1X,X01
,N（,）
26
样本,
求C,
使得
Y
C（
XX
3
4
5
6
服从
解X1N
X~N（0,2）,则12~（0,1）
2同理
XXXX
X3N
XXX~N（0,4）,则3456~（0,1）
456
X1X
X
3XXX
与456相互独立
XXXXXX
所以（）（）~
（2）
123456
24
则C11C
2,14
关于正态总体N,）的样本均值和
（2
样本方差有以下重要定理.
定理
设X,X,,X是总体N（,）的样本,X,S
22
分别是样本均值和样本方差,则有
（n1）S1
（1）（XX）~（n1）;
i22
（2）X与S独立.
分布3.
定义设X~N（0,1）,Y~（n）,且X,Y独立,
则称随机变量T服从自由度为n的t
Y/n
分布,记为T~t（n）.
t分布又称学生氏（Student）分布.
t（n）分布的概率密度函数为
h（t）
n
πn
n1
t分布的概率密度曲线如图
显然图形是关于
t0对称的.当n充分大时,其图
形类似于标准正态
变量概率密度的图
形.
limh（t）e2
2π
所以当n足够大时t分布近似于N（0,1）分布,
但对于较小的n,t分布与N（0,1）分布相差很大.
t分布具有下列性质：
Tn2性质1设~t（n）,则当时有
E（T）0
D（T）
Tp（t）
性质2设~t（n），是T的分布密度，
2t
则
limp（t）e
2n
此性质说明，当n时，T分布的极限
分布是标准正态分布。
例设X~N（,）,~
（n）,且X,Y相互独立,试求
T
的概率分布.
X2
解因为X~N（,）,所以~N（0,1）
YXY
又~（n）,且X,Y独立,则与独立,
由定义得
（X）/
n2
（Y/）
/n
t（n）
设X,X,,X是总体N（,）的
2
样本,X,S分别是样本均值和样本方差,则有
S/n
~t（n1）.
X
证明~N（0,1）,
/n
（n1）S
~（n1）,
且两者独立,由t分布的定义知
XX（n1）S
（n1）
S/n/n
设与分别是来自
X,X,,XY,Y,,Y
12n12n
两个正态总体N（,）,N（,）的样本,且这
1122
两个样本互相独立,设XX,YY分
别是这两个样本的均值,
nn11
S（XX）,S（YY）
1i2i
n1n1
分别是这两个样本的样本方差,则有
（XY）（）
S
w
~t（nn2）,
（n1）S（n1）S
211222
S,SS.
www
nn2
证明：
因为XY~N
1,
所以U~N（0,1）,
由
且它们相互独立,2
故由分布的可加性知
V
（2nn
2nn
2）,
由于U与V相互独立,按t分布的定义
U
/（n1n
2）
（X
Y）（
Sw
t（n
1n
2）.
分布3.F
定义设X~（n）,Y~（n）,且X,Y独立,则
X/n
称随机变量F服从自由度为（n,n）的F分布,
1
记为
F~F（n,n）.
F
（n1,n
）分布的概率密度为
（y）
0,
y
n
y0
其它
F分布的概率密度曲线如图
F分布有以下性质
（1）
若F~F
（2）
E（F）
（n
D（F）
n（n
4）
（3）
设F~F
n
）,则当n
4时,
对任意
x有
FE（F）1
limP{x}
nD（F）
这说明F分布极限分布也是正态分布.
例~（）,~（1,）.
3已知Ttn试证T2Fn
证明因为T~t（n）,由定义有
Yn
其中X~N（0,1）,Y~（n）,且X,Y独立,那么
X~
（1）,且X与Y独立,
由定义有
T~F（1,n）
由F分布的性质知~F（n,1）
T
S/
~F（n1,n1）;
~（n1）,
由假设S1,S2独立,则由F分布的定义知
22（n1）S（n1）S
1122~F（n1,n1）,
1222
（n1）（n1）
即11
~F（n1,n1）.
定义对于总体X和给定的（01）,若存在
x,使P{Xx}
则称x为X的分布的上侧分位数.
1.正态分布的上侧分位数
u
设X服从标准正态分布N（0,1）,N（0,1）的上
分位点u满足P{Xu}
edx
1P{Xu}1（u）
（u）1
给定,由附表2可查得u的值.
0.05
1.645,
0.025
1.96,
根据正态分布的对称性知
uu
1
定义对于给定的,0
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