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导体棒1以初速度V0向右开始运动，两棒电阻分别为&
和缶,质量分别为mi和m2,其它电阻不计。
2；
CXXXX
<
XXXX
XX54
：
动能1变化T动能
2变化+焦耳热
）
导体棒1受恒力F从静止开始向右运动，两棒电阻分别为弘和缶,质量分别为和“2,其它电阻不计。
Y
2,
XX§
>
XKX沢
X亠尸
1+动能2+焦耳热
如图1所示，在竖直向下磁感强度为B的匀强磁场中，有两根水平放置相距为L且足够长的平行金属导轨AB、CD,导轨AC端连接一阻值为R的电阻，一根垂直于导轨严卵J俞属n棒ab,质量为m,不计导轨和金属棒的电阻及它们///
间的摩擦。
若用恒力F水平向右拉棒运动
（1）.电路特点：
金属棒ab切割磁感线，产生感应电动势相当于电源，b为电源正极。
当ab棒速度为v时，其产生感应电动势E=BLvo
（2）.ab棒的受力及运动情况：
棒ab在恒力F作用下向
（
右加速运动，切割磁感线，产生感应电动势，并形成感应电流，电流方向由a-*b,从而使ab棒受到向左的安培力F盘，对ab棒进行受力分析如图2所示：
竖直方向：
重力G和支持力N平衡。
水平方向：
向左的安培力F窒=—为运动的阻力
随V的增大而增大。
r2r2
ab棒受到的合外力FT-〒随速叭的增大而减小。
F
ab棒运动过程动态分析如下:
随ab棒速度vt-感应电动势Et-感应电流l=—f
〜安培力F«
=BILt-*Fa（=F-F«
）l-*ab棒运动的加速度a丨，当合外力F命减小到零时,加速度a减小到零，速度V达到最大Vmax，最后以Vmax匀速运动。
（3）.ab棒的加速度、速度，R上的电功率何时最大
ab棒受到的合外力=f
.B2L?
v
刚开始运动时，ab棒初速度v=0,由知：
此时合外力最大，加速度最大，am3x=—o
m
运动过程中，ab棒先做加速度减小的加速运动，当加速度减小到零，即：
F-"
"
怛=0时，速度达到最大，最大速度vmax=4^-
ab棒的速度最大时，产生的感应电动势最大，电路中感应电流最大，R上消耗的电功
⑷.ab棒运动过程中，能量转化情况:
稳左前，棒ab做加速度减小的加速运动，恒力F做的功一部分用于克服安培力做功转化成电能，这部分电能在电流通过电阻R时以焦耳热的形式放出，另一部分用来增加棒ab的动能。
稳定后，ab棒匀速运动，恒力F做的功全部转化为电路的电能，最后通过电阻R以焦耳热的形式放出。
K例坊如图所示在倾角为30。
的光滑斜而上垂直放賢一根长为（，质量为e的通电直导
体棒，棒内电流方向垂直纸而向外，电流大小为/,以水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立直角坐标系，若所加磁场限左在xoy平面内，试确定以下三种情况下磁场的磁感应强度肌
（1）若要求所加的匀强磁场对导体棒的安培力方向水平向左，使导体棒在斜面上保持静止。
⑵若使导体棒在斜而上静止，求磁感应强度B的最小值。
⑶试确立能使导体棒在斜而上保持静止的匀强磁场的所有可能方向。
K拓展13物理学家法拉第在研究电磁学时，亲手做过许多实验。
如图所示的就是著名的电磁旋转实验。
它的现象是：
如果载流导线附近只有磁铁的一个极，磁铁就会例绕导
线旋转：
反之，载流导线也会围绕单独的某一磁极旋转，这一装豊实际上就是最早的电动机。
图中的a是可动磁铁（上端为N极），b是固泄导线，c是可动导线，d是固左磁铁（上端为/V极），图中黑色部分表示汞，下部接在电源上，则从上向下俯视时6C的旋转情况是（）
B.a逆时针，c逆时针
D.q顺时针，c逆时针
为的弹体（包括金属杆EF的质捲）加速到6km/s,若这种装置的轨道宽为2m,长为
100m,轨道摩擦不计，求轨道间所加匀强磁场的磁感应强度为多大，磁场力的最大功
率是多少
K拓展2』质量为c长为（的金属棒M/V,通过柔软金属丝挂于°
、b两点，ob点间电压为U,电容为C的电容器与a、b相连，整个装置处于竖直向上的匀强磁场B中，接通S,电容器瞬间放电后又断开S,试求M/V能摆起的最大髙度是多少
XX
X£
2.导体棒在磁场中运动产生感应电动势：
导体棒在磁场中运动时，通常由于导体棒切割磁感应线而产生一泄的感应电动势，如果电路闭合将在该闭合电路中形成一左强度的感应电流，将其它形式的能转化成电能，该过程中产生的感应电动势大小遵循法拉第电磁感应左律E=Blvsin^方向满足右手泄则。
由于导体棒的运动形式不一，此类问题通常分成平动和转动两大类，在平动中还可分为双棒运动和导体棒的渐变运动等情况。
【平动切割】处在磁场中的导体棒由于受到外力的作用而沿某一方向运动，外力必然要克服安培力做功，将其它形式的能转化成电能。
（［例3》如图所示两条互相平行的光滑金属导轨位于水平而内，距离为/=,在导轨的一端
接有阻值为R=Q的电阻，在x>
0处有一与水平而垂直的均匀磁场,磁感应强度为B=。
一质疑为m二的金属直杆垂直放在导轨上，并以v0=2m/s的初速度进入磁场，在安培
力和一个垂直于杆的水平外力F的共同作用下作匀变速运动，加速度大小恒为Q二2m/s2,方向与初速度方向相反。
设导轨与金属杆的电阻都可以忽略，且接触良好。
求:
（1）电流为零时金属棒所处的位置
⑵电流为最大值的一半时施加在金属杆上外力F的大小和方向
⑶保持英它条件不变，而初速心取不同的值，求开始时F的方向与初速％取值的关系
［［拓展3》近期《科学》中文版的文章介绍了一种新技术一一航天飞缆，航天飞缆是用柔性缆索将两个物体连接起来在太空飞行的系统。
飞
地球
缆系统在太空飞行中能为自身提供电能和拖曳力，它还能淸理〃太空垃圾〃等。
从2967年至1999年的17次试验中，飞缆系统试验已获得部分成功。
该系统的工作原理可用物理学的基本左律来解释。
图为飞缆系统的简化模型示意图，图中两个物体P、Q的质量分别为仆叫柔性金属缆索长为/,外有绝缘层，系统在近地轨道作圆周运动，运动过程中Q距地而髙为九设缆索总保持指向地心，P的速度为已知地球半径为R，地而的重力加速度为g.
⑴飞缆系统在地磁场中运动，地磁场在缆索所在处的磁感应强度大小为3,方向垂直于纸而向外。
设缆索中无电流，问缆索P、Q哪端电势髙此问中可认为缆索各处的速度均近似等于畑求P、Q两端的电势差
⑵设缆索的电阻为弘，如果缆索两端物体P、Q通过周围的电离层放电形成电流，相应的电阻为心，求缆索所受的安培力多大
⑶求缆索对Q的拉力尽
【导体棒的渐变运动】导体棒在切割磁感线运动时，由于有能量的转化，英运动速度可能会发生相应的变化，致使其切割时产生的感应电动势也随之而变，此时由于安培力发生变化使物体处于一种渐变运动状态。
I例4』如图所示两根竖直放在绝缘地而上的金属框架宽为/,磁感应强度为B的匀强磁场
与框架平而垂直.一质虽为m阻值为厂的金属棒放在框架上，金属棒接触良好且无摩
擦，框架上方串接一个泄值电阻R，不计导轨电阻，试分析松手后金属棒在磁场中的
运动情况
K拓展4』如图所示两根竖直放在绝缘地而上的金属框架宽为I.磁感应强度为B的匀强磁
场与框架平而垂直，一质量为m的金属棒放在框架上，金属棒接触良
XXX
」亠亠^・
好且无摩擦，框架上方串接一个电容为c的电容器，开始时不带电，现将金属棒从离地高为h处无初速释放，求棒落地的时间r是多少
【双导体棒的切割运动】对于双导体棒运动的问题，通常是两棒与导轨构成一个闭合回路,当英中的一棒在外力作用下获得一定速度时必然在磁场中切割磁感线在该闭合电路中形成一立的感应电流，另一根导体棒在磁场中通电时就在安培力的作用下开始运动，一旦运动起来也将切割磁感线产生一定的感应电动势，对原来电流的变化起阻碍作用。
K例5》两根足够长的固左的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距禽为/，导轨上而横放着两根导体棒ab和cd,构成矩形回路，如图所示，两根导体棒的质量皆为m,电阻皆为乩回路中英余部分的电阻可不计，在整个导轨平而内都有竖直向上的匀强
磁场，磁感应强度为&
设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行，开始时棒cd静止，棒Qb有指向棒cd的初速度若两导体棒在运动中始终不接触，求：
⑴在运动中产生的焦耳热量是多少。
⑵当ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的加速度是多少
K拓展53图中和Gb2C2d2为在同一竖直而内的金属导轨，处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨所在的平而（纸面）向里。
导轨的cbl段与Cb2段是竖直的，距离为人；
6必段与C2d2段也是竖直的，距离为匕X"
】与冷力为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆，质疑分别为和"
2,它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触。
两杆与导轨构成的回路的总电阻为R。
F为作用于金属杆上的竖直向上的恒力。
已知两杆运动到图示位垃时，已匀速向上运动，求此时作用于两杆的重力的功率的大小和回路电阻上的热功率。
F
yi
【导体棒转动切割】导体棒在磁场中转动切割磁感线时，由于各点切割的线速度不同，不能直接用E=BlvsinO来汁算，然导体棒绕泄轴转动时依v=心可知各点的线速度随半径按线性规律变化，因此通常用中点的线速度来替代，即v=a>
//2,则―0
K例◎如图所示，半径为/粗细均匀的金属圆环，其阻值为R处在磁感应强度为8的匀强磁场中，另有一长度为/，电阻为R/4的金属棒少可绕0轴在磁场中以角速度3逆时针匀速转动，转动过程中金属棒的人端与金属圆环接触良好，一阻值为R/2的左值电阻分别与杆的0端和金属圆环边缘C连接，求电路中总电流的变化范用
K拓展23金属导轨MN和PQ平行，间距为/,导轨左端接有一圧值电阻R,整个装置处在方向垂直于纸而向上的匀强磁场B中，另有一长为2/的金属4C垂直于导轨，&
端始终与PQ导轨接触，棒以q为轴紧靠着MN导轨沿顺时针方向转动90°
若除R以外的其余电阻均不计，试求此过程中通过电阻R的电量是多少
3.练习与训练
1.两根足够长的固左的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为/。
导轨上而横放着两根导体棒ab和cd,构成矩形回路•如图所示。
两根导体棒的质量皆为m,电阻皆为R，回路中英余部分的电阻可不计。
在整个导轨平而内都有竖直向上的匀强磁场,磁感应强度为&
设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行，开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度心若两导体棒在运动中始终不接触，求：
（1）
在运动中产生的焦耳热最多是多少
2.如图所示，光滑导轨EF、GH等髙平行放置，EG间宽度为FH间宽度的3倍，导轨右侧水平且处于竖直向上的匀强磁场中，左侧呈弧形升髙。
ab、cd是质量均为m的金属棒,现让Qb从离水平轨道h髙处由静止下滑，设导轨足够长。
试求：
⑴ab、cd棒的最终速度：
⑵全过程中感应电流产生的焦耳热。
3.两根平行的金属导轨，固立在同一水平而上，磁感强度B二的匀强磁场与导轨所在平而垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。
导轨间的距离/=m,两根质量均为m=kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂宜，每根金属杆的电阻为加Q。
在20时刻，两杆都处于静止状态。
现有一与导轨平行，大小为的恒力F作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。
经过r=s,金属杆甲的加速度为。
二m/s2,求此时两金属杆的速度各为多少
4•如图所示，竖直放宜的两光滑平行金属导轨，置于垂直于导轨平而向里的匀强磁场中,
两根质量相同的导体棒Q和b,与导轨紧密接触且可自由滑动。
先固上Q，释放b,当b
的速度达到10m/s时，再释放°
经过Is后，a的速度达到12m/sc求:
（1）此时b的速度大小是多少
⑵若导轨很长，a、b棒最后的运动状态。
参考答案：
K例13
（1）欲使通电导体棒受安培力水平向左，且棒在重力、安培力和斜面的支持力作用
下平衡。
即：
tan30°
=B/L/mg.故磁场方向竖直向上，大小为B=
（2）
磁感应强度8最小时，安培力和重力的一个分力相平衡，满足mgsin30°
=Bi/L,故磁场方向垂直斜而向上，大小为=mg/（2IL）
（3）棒在重力、安培力和支持力作用下平衡，而重力G和弹力N的方向如图所示，欲使导体棒在斜而上保持静止，所施磁场力的方向应在图中两虚线所夹区域才能使其所受合外力为零，即8与x轴正方间的夹角为0°
a<
150°
a
K拓展由电源的正负极可知对b而言电流竖直向上，对c是向下的，于是a在b的磁场中受安培力作用逆时针转，c在d的磁场中受安培力的作用而顺时针转，故应选C答案。
K例23通电导体棒在磁场中受安培力的作用而对弹体加速，依功能关系原理可得BILS=m^/2,又功率满足P=FV,当速度最大时其功率也最大，即Pm=BILVm，代入数值可得B=18T和Pm=xl06Wo
K拓展23电容器C对导体棒MN放电，由于MN处在磁场中必然在安培力的作用下开始摆动。
设放电时间为r，导体棒能摆起的最大髙度为h,则有：
BILt=mv和mv2/2=mgh,又电容器所容纳的电荷量为Q=CU=It,联立解得h=B2C2U2L2/（2m2g）o
K例33©
导体棒在外力作用下切割磁感应线，产生电动势E=Blv,由闭合电路欧姆泄律得2F/R，故当20时v=0,又棒做匀变速直线运动因此满足x=v02/2a,于是可解得x=lm<
»
②因棒匀减速运动，故初速最大，此时电流在最大b=Blvm/R.因此安培力为F妒B/J/2,代入数据得2。
又根据运动的对称性可知，电流为最大值的一半时棒可能向左运动，也有可能向右运动。
当棒向右运动时F+F-^ma,得"
方向与x轴相反：
当棒向左运动时F-F-ma.得尸=,方向与x轴相反。
③开始时F«
=Blml=B2Fv0/R9且F+Ff^ma,故F=ma一B2Pv0/R.因此当v0<
maR/B2P=lOm/s时,F>
0方向与x轴相反;
当“o>
10m/s时,F<
0方向与x轴相同：
当“o=10m/s时，f=0o
K拓展3』①飞缆系统在地磁场中运动切割磁感应线时产生的电动势E二BT由右手左则可知P点电势髙，于是几Q两点电势差为Uy二B/*。
2又缆索通过周羽的电离层放电形成电流，依闭合电路欧姆立律得2E/（R"
R2）=Blvp/IR,+R2）：
安培力大小为FA=BII=B2l2vp/（/?
i+/?
2）>
且它所受安培力的方向与缆索垂直与其速度方向相反。
3设Q的速度设为心由P、Q绕地做圆周运动角速度相同得巾/巾=（R+/i+/）/（R+b）,又Q受地球引力和缆索拉力局作用提供苴圆周运动的向心力,故满足GMma/（R+h）2-FQ=mQvQ2/（R+h）,联立黄金代换式g=G券解得Fq=叫[鵲产一：
；
2]
K例4》松手后，金属棒在重力的作用下开始做自由落体运动，而物体一旦运动起来，棒就有切割磁感应线的速度，于是在u型框架中将形成逆时针方向的感应电流，此时导体棒又成了一段通电直导线，必然受到一个竖直向上的安培力作用，因此导体棒将在重力和安培力的共同作用下在竖直而内做变加速运动。
vf
设经r时间导体棒达到速度V,此时导体棒的加速度为Q,则由法拉第7"
=—电磁感应上律得UB/v,依闭合电路欧姆左律得l=E/（R+r）,于是导体棒所受的安培力为F=BII,依牛顿第二泄律可得mg-Bll=ma联立诸式可°
’£
得a=g-B2l2v/m.观察a随v变化的关系式不难发现：
导体棒做的是一种加速度逐渐减小的加度运动，当速度为0时，棒的加速度达最大值g,当棒的加速度为0时，棒有最大速度vm=mg/B2P,整个运动过程中导体棒的v-t曲线如图所示。
K拓展4习棒在磁场中下落时，必然要切割磁感应线产生一左的感应电动势，又由于电容器可以容纳电荷，因此在回路中就要形成一个充电电流，使棒受到一个竖直向上的安培力的作用。
设在时间"
内，棒的速度增加了2,棒的平均加速度为a，则厶E=Bl^v,△Q=CM,依电流强度的泄义可得/=AQ/Af=CB/Avz/At=C8/a,于是导体棒所受的安培力为F=Bil=B2l2Ca,由牛顿第二泄律可得mg-F=ma,整理上述各式得a=mg/（m+B2PC）,由a的表达式不难发现棒的下落过程是一种匀加速直线运动，于是
K例5U
（1）选择两棒作为研究对象，从初始至两棒达到速度相同的过程中，系统不受外力，总动量守恒mv0=2mv,而且系统损失的动能全部用于生热，依能的转化和守恒律得该过程中产生的总热呆q=mv02/2-（2m，）/2,即Q=mv02/4o
■
（2）设ab速度3巾/4时,cd棒的速度为贝!
）由动量守恒可知mv0=n?
（u0/4）+mv/t此时回路中的感应电动势为E=8/（3vo/4-/）,感应电流为/=E/2R，此时cd棒所受的安培力F=BII于是cd棒的加速度为q=F/m联立可得a=B2l2vo/^mR.
K拓展5』设杆向上运动的速度为“因杆的运动，两杆与导轨构成的回路的而积减少，从
而磁通量也减少。
由法拉第电磁感应泄律，回路中的感应电动势的大小为E=B（S回路中的电流l=E/R且电流沿顺时针方向。
两金属杆都要受到安培力作用，作用于杆
的安培力为2Bld方向向上，作用于杆X2#2的安培力Fi=BI2I方向向下。
当杆匀速运动时由牛顿第二泄律得F-m1Q-m2g+&
-R=0,解得I=壮需［和
V=沪R,于是重力的功率的大小为P=（m1+m2）gv.电阻上的热功率为片/乩
联立解得P=第；
丁（“+叫）&
R和0々帯FA。
K例62导体棒OA在磁场中匀速转动切割磁感线，产生的感应电动势E=BI^I/2）通过金属圆环对外电阻供电，且电流在外电路中顺时针循环。
当棒转到C点时，金属圆环被短路,外电阻最小Rmin=R/2,此时加路中的电流最大：
当棒转到CO的线长线上时，金属圆环被一分为二，外电阻最大Rm“=3R/4,此时外电路中的电流最小，依全电路欧姆定律可
得电路中总电流的变化范用是瞬<
/<
^o
K拓展63导体棒在磁场中绕点A沿顺时针方向转动90。
的过程中，其有效切割长度I在不断的变化，将产生一个变化的电流对电阻R供电匚由法拉第电磁感应左律得电动势为E二BIV,在闭路形成的电流
为/=fo当导线转到图中的D点时将使电路断开，虽切割磁感应线但不对R供电•
设棒由AC转到AB所用的时间为t通过R的电量为Q，则有一般关系式0=豹=¥
，
代入解得q=¥
=譽
【练习与训练】
1.ab棒向cd棒运动时，两棒和导轨构成的回路而积变小，磁通量变小，于是产生感应电流。
ab棒受到与其运动方向相反的安培力而做减速运动，cd棒则在安培力的作用下向右做加速运动。
只要ab棒的速度大于cd棒的速度，回路总有感应电流，ab棒继续减速，cd棒继续加速，直到两棒速度相同后，回路而积保持不变，不产生感应电流，两棒以相同的速度v做匀速运动。
（1）从开始到两棒达到相同速度v的过程中，两棒的总动量守恒，有mv0=2mv,根据能量守恒定律，整个过程中产生的焦耳热Q=mv02/2-（2m）v2/2=mvo2/4<
>
（2）设ab棒的速度变为3vo/4时，cd棒的速度为则由动量守恒可知mv0=m（3va/4）+得i/=vo/4,此时cd棒所受的安培力"
8〃=82%/4乳由牛顿第二立律可得：
cd棒的加速度a=F/m=B平Vo/4mR。
2.ab下滑进入磁场后切割磁感线，在abed电路中产生感应电流，ab、cd各受不同的磁场力作用而分别作变减速、变加速运动，电路中感应电流逐渐减小，当感应电流为零时，ab、cd不再受磁场力作用，各自以不同的速度匀速滑动。
（1）ab自由卞滑，机械能守恒：
mgh=mv1/!
①由于ab、cd串联在同一电路中，任何时刻通过的电流总相等，金属棒有效长度lob=3lcd,故磁场力为：
F°
b=3Fcd②在磁场力作用下，ab、cd各作变速运动，产生的感应电动势方向相反，当Eab=Ecd时，电路中感应电流为零（仁0）,安培力为零,ab、cd运动趋于稳左，此时有：
BlabVab=BlcdVcd所以vob=vcd/3③ab、cd受安培力作用，动量均发生变化，由动量泄理得：
卜小二mv-mvab④Fed△t=mved⑤联立以上各式解得：
（2）根据系统的总能量守恒可得：
29吨如
—=———
210
3.设任一时刻r两金属杆甲、乙之间的距离为x,速度分别为％和巾，经过很短时间Ar，杆甲移动距离ViAt,杆乙移动距离V2At,回路而积改变AS=［（x-V2At）+ViAt］-/x=（vi-v2）lAt：
由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势：
E=B、S/、t；
回路中的电流:
/=E/2R:
杆甲的运动方程：
F-Bil=ma,由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等、方向相反，所以两杆的动量变化（20时为0）等于外力F的冲量：
Ft=mv,+mv2联立以上各式解得
=1/-ma}!
52Z2］匕二打2回/加—2R使一旳0仿叨］
代入数据得V1=S^V2=So
4.
（1）当b棒先向下运动时，在a和b以及导轨所组成的闭合回路中产生感应电流，于是a棒受到向下的安培力，b棒受到向上的安培力，且二者大小相等。
释放a棒后，经过时间r,分别以a和b为研究
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