航班16年竞赛角动量教师版.docx
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航班16年竞赛角动量教师版
2014航班高一物理竞赛 角动量习题课
1、 质量为m，长l的匀质细杆，绕着过杆的端点且与杆垂直的轴以角速度ω转动时，它的动能和相对端点的角动量大小分别为
其中
今如图5-1-6所示，将此杆从水平位置静止释放，设此杆能绕着过A的固定光滑水平细轴无摩擦地摆下，当摆角从零达θ时，试求：
（i）细杆转动角速度ω和角加速度β;
（2）固定的光滑细轴为杆提供的支持力N。
解
（1）因无摩擦，机械能守，有
将
代入后，可得
以A为坐标原点建立垂直于图平面朝内的z轴，细杆各部位相对A点角动量均沿z轴方向，叠加后所得细杆的总角动量L也必沿z轴方向，大小则为
固定的光滑细轴为细杆提供的支持力N相对A点力矩为零，细杆重力相对A点力矩为
M的大小：
方向：
沿z轴
由刚体定轴转动时的角动量变化量与冲量矩相同，得到
因为
所以
（2）如图5-1-7所示，将N分解为
和
，支持力与重力合成为细杆质心提供加速度，可建立下述方程
其中
和
分别为质心作圆周运动的向M心和切向加速度.所以
可得
，
2、质量为M,半径为R的匀质圆盘，绕着过圆心且与圆盘垂直的轴以角速度ω旋转时的角动量大小为
，
有如图5-1-8所示系统，细绳质量可略.细绳与圆盘间无相对滑动，定滑轮与中央轴之间光滑接触，有关参量已在图中标出，m1>m2，试求a.
.
解 以转轴上某点为参考点，定滑轮转动角动量方向沿转轴朝外，大小为
设左、右绳中张力分别为T1，T2.它们相对转轴力矩之和，方向沿轴朝外，大小为
又因为
对m1，m2有方程
m2有方程
a与β的关系为a=βR:
可解得
3、—质量为m的物体拴在穿过小孔的轻绳的一端，在光滑的水平台面以角速度ω0作半径为r0的圆周运动，自t=0时刻开始，手拉着绳的另一端以匀速v向下运动，使半径逐渐减小.试求：
（1）角速度与时间关系
;
（2）绳中的张力与时间关系.
解：
（1）物体m在水平方向仅受绳子拉力作用，它相对小孔的角动量守恒。
当质点与小孔的距离为r时，设其角速度为ω，则有
或
所以
按题意，
，代入上式得
（2）根据牛顿运动定律
由于
是常量，所以
，
4、两个质量为m的小球，用长为l的绳子连结起来，放在一光滑的水平桌面上.给其中一个小球以垂直于绳子方向的速度v0，如图5-4-2所示.求此系统的运动规律和绳中的张力大小.
解 对整个系统来说，在水平方向不受外力作用，故系统在水平方向动量守恒。
按质心运动规律，有
式中vc为质心的速度，由此得
方向与v0相同，所以系统的质心以
的速度作匀速直线运动-
由于整个系统对质心没有外力矩作用，故系统对质心的角动量守恒，即
式中ω为两小球对质心的角速度，于是
，即两小球绕质心作匀速圆周运动，同时
绳中的张力
5、如图5-4-4所示，质量为m的两小球系于轻弹簧的两端，并置于光滑水平桌面上，当弹簧处于自然状态时，长为a，其倔强系数为k，今两球同时受冲力作用，各获得与连线垂直的等值反向的初速度，若在以后运动过程中弹簧的最大长度b=2a,求两球的初速度v0。
解 以初始时刻两球连线中点0为定点来考察，体系的角动量守恒。
弹簧达到最大伸长时，小球无径向速度。
①
体系机械能也守恒
②
由①，②式消去v，即得
以b=2a代入，得
6、小滑块A位于光滑的水平桌面上，小滑块B位于桌面上的光滑小槽中，两滑块的质量都是m,并用长为l、不可伸长的、无弹性的轻绳相连，如图5-4-3（a）所示.开始时A、B间的距离为
，A、B间的连线与小槽垂直，如图5-4-3（a）所示.今给滑块A一冲击，使其获得平行于槽的速度v0，求滑块B开始运动时的速度。
解 设绳拉紧的瞬时，滑块A的速度为vA，滑块B的速度为vB.在绳拉紧时，滑块A相对于滑块B的运动是以B为中心的圆周运动，其相对运动速度设为v'，与绳垂直,如图5-4-3（b）所示，因而，此时滑块A的速度取坐标系如图5-4-3（b），则有
①
②
由图中的几何关系知
③
滑块在运动过程中，在y方向系统不受外力，动量守恒
④
滑块A对滑块B原所在的位置的角动量守恒：
联立以上五式解得
7、在半顶角为α的圆锥面内壁离锥顶h高处以一定初速度沿内壁水平射出一质量为m的小球，设锥面内壁是光滑的.
（1）为使小球在h高度的水平面上做匀速圆周运动，则初速v0为多少？
（2）若初速v1=2v0，求小球在运动过程中的最大高度和最小高度。
解
（1）物体在重力mg和锥壁支撑力N作用下做圆周运动.因有
①
R是圆周半径.以R=htanα代人上式，得
（2）当初速大于
时，小球不可能维持在原来水平面上做圆周运动，因为这样不满足①式.小球必上升；但又不可能停留在某一个高一些的水平面上做匀速圆周运动，这样小球必在一定的上、下高度间往返地做类似螺旋状的运动.为求这两极限高度，我们来寻找小球运动的守恒量，首先，机械能守恒，因为小球在重力场中运动，支撑力N不做功；其次，小球在做转动，如果还有守恒量，另一个守恒量必然是角动量或其分量.不
难发现，由于外力N和mg都在过z轴的平面内，故外力矩无z方向分量，即
因而
为常量.用h+x表示极限高度，注意到在极限高度上，小球速度必沿水平方向.于是可列出以下两个守恒方程：
能量守恒：
②
角动量分量守恒:
③
由②，③式可得x的三次方程
④
由④式可见，x=0必为一个解.这是合理的，因为射出速度沿水平方向，该高度必为一极值.消去x后，得x的二次方程：
解之得
8、如图5-2-6所示，在光滑水平面上，质量均为M的两小球由一长为l的轻杆相连.另一质量为m的小球以v0的速率向着与杆成θ角的方向运动，并与某一M发生碰撞，碰后m以v0的速率沿原路线反弹.试求碰撞后轻杆系统绕其质心转动的角速度ω.
解 系统水平方向动量守恒：
机械能守恒：
系统绕轻杆系统质心的角动量守恒
其中
解之得
9、若上题中三球的质量相同，均为m，且θ=450。
.当运动小球以v0的速率与连在杆上的某一球发生弹性碰撞后，即沿垂直于原速度的方向运动，如图5-2-6所示。
试求：
（1）
碰撞后，运动小球的速度vf；
（2）碰撞后，轻杆系统绕其质心转动的角速度ω.
解 系统水平方向动量守恒
（1）
（2）
机械能守恒：
（3）
系统绕轻杆系统质心的角动量守恒
（4）
由
（1）
（2）（3）（4）
10、如图5-2-7所示，在水平的光滑桌面上开有一小孔，一条绳穿过小孔，其两端各系一质量为m的物体.开始时，用手握住下面的物体，桌上的物体则以
的速率作半径为r。
（即桌上部分的绳长）的勻速圆周运动，然后放手.求以后的运动中桌上部分绳索的最大长度和最小长度.
解 桌面上物体受有心力作用，角动量守恒：
（1）
其中，
分别对应桌上部分绳索的最大长度和最小长度。
机械能守恒：
（2）
由
（1）
（2）得
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