浙江专版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第1节集合教师用书Word文档格式.docx
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4,5分(理)
3,5分(理)
[重点关注]
综合近5年浙江卷高考试题,我们发现单独考查集合的运算的可能性较大,命题及其关系与充要条件是高考的必考内容,复习时应加以重视.
第一节 集 合
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性:
确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法:
列举法、描述法、Venn图法.
2.集合间的基本关系
(1)子集:
若对∀x∈A,都有x∈B,则A⊆B或B⊇A.
(2)真子集:
若A⊆B,但∃x∈B,且x∉A,则AB或BA.
(3)相等:
若A⊆B,且B⊆A,则A=B.
(4)空集的性质:
∅是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
并集
交集
补集
图形表示
符号表示
A∪B
A∩B
∁UA
意义
{x|x∈A或x∈B}
{x|x∈A且x∈B}
{x|x∈U且x∉A}
4.集合关系与运算的常用结论
(1)若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个.
(2)子集的传递性:
A⊆B,B⊆C⇒A⊆C.
(3)A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B.
(4)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)任何集合都有两个子集.( )
(2)已知集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2},则A=B=C.( )
(3)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.( )
(4)若A∩B=A∩C,则B=C.( )
[解析]
(1)错误.空集只有一个子集,就是它本身,故该说法是错误的.
(2)错误.集合A是函数y=x2的定义域,即A=(-∞,+∞);
集合B是函数y=x2的值域,即B=[0,+∞);
集合C是抛物线y=x2上的点集.因此A,B,C不相等.
(3)错误.当x=1时,不满足互异性.
(4)错误.当A=∅时,B,C可为任意集合.
[答案]
(1)×
(2)×
(3)×
(4)×
2.(教材改编)若集合A={x∈N|x≤
},a=2
,则下列结论正确的是
( )
A.{a}⊆AB.a⊆A
C.{a}∈AD.a∉A
3.设集合A={x|x2-4x+3<
0},B={x|2x-3>
0},则A∩B=( )
A.
B.
C.
D.
D [∵x2-4x+3<0,∴1<x<3,∴A={x|1<x<3}.
∵2x-3>0,∴x>
,∴B=
.
∴A∩B={x|1<x<3}∩
=
故选D.]
4.(2017·
金华十校第一学期调研)已知全集U=R,集合M={x|x2-2x-3≤0},N={y|y=-x2+1},则M∩(∁UN)=( )
A.{x|-1≤x≤1}B.{x|-1≤x<
1}
C.{x|1≤x≤3}D.{x|1<
x≤3}
D [依题意,M={x|x2-2x-3≤0}={x|-1≤x≤3},N={y|y≤1},故∁UN={y|y>
1},故M∩(∁UN)={x|1<
x≤3},故选D.]
5.已知集合A={(x,y)|x,y∈R,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y∈R,且y=x},则A∩B的元素个数为________.
2 [集合A表示圆心在原点的单位圆上的点,集合B表示直线y=x上的点,易知直线y=x和圆x2+y2=1相交,且有2个交点,故A∩B中有2个元素.]
集合的基本概念
(1)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( )
A.1 B.3
C.5 D.9
(2)若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a=( )
B.
C.0D.0或
(1)C
(2)D [
(1)当x=0,y=0,1,2时,x-y=0,-1,-2;
当x=1,y=0,1,2时,x-y=1,0,-1;
当x=2,y=0,1,2时,x-y=2,1,0.
(2)若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0只有一个实根或有两个相等实根.
当a=0时,x=
,符合题意;
当a≠0时,由Δ=(-3)2-8a=0得a=
,
所以a的取值为0或
.]
[规律方法] 1.研究集合问题,首先要抓住元素,其次看元素应满足的属性;
特别地,对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合的元素是否满足互异性,如题
(1).
2.由于方程的不定性导致求解过程用了分类讨论思想,如题
(2).
[变式训练1] 已知集合A={x∈R|ax2+3x-2=0},若A=∅,则实数a的取值范围为
[∵A=∅,∴方程ax2+3x-2=0无实根,
不合题意;
当a≠0时,Δ=9+8a<0,∴a<-
集合间的基本关系
(1)已知集合A={x|y=
,x∈R},B={x|x=m2,m∈A},则( )
A.ABB.BA
C.A⊆BD.B=A
(2)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围是________.
(1)B
(2)(-∞,4] [
(1)易知A={x|-1≤x≤1},
所以B={x|x=m2,m∈A}={x|0≤x≤1},
因此BA.
(2)当B=∅时,有m+1≥2m-1,则m≤2.
当B≠∅时,若B⊆A,如图.
则
解得2<m≤4.
综上,m的取值范围为m≤4.]
[规律方法] 1.B⊆A,应分B=∅和B≠∅两种情况讨论.
2.已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数满足的关系,解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图化抽象为直观进行求解.
[变式训练2]
(1)(2017·
安吉质检)若集合A={x|x>0},且B⊆A,则集合B可能是( )
A.{1,2}B.{x|x≤1}
C.{-1,0,1}D.R
(2)(2017·
宁波一中)已知集合A={x|
,x∈R},B={1,m},若A⊆B,则m的值为( )
A.2B.-1
C.-1或2D.2或
(1)A
(2)A [
(1)因为A={x|x>0},且B⊆A,再根据选项A,B,C,D可知选项A正确.
(2)由
,得x=2,则A={2}.
因为B={1,m},且A⊆B,
所以m=2.]
角度1 求集合的交集或并集
元素的个数为( )
A.5B.4
C.3D.2
嘉兴调研)设集合M={x|x2=x},
A.[0,1]B.(0,1]
C.[0,1)D.(-∞,1]
(1)D
(2)A [
(1)集合A中元素满足x=3n+2,n∈N,即被3除余2,而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.共2个元素.
(2)M={x|x2=x}={0,1},N={x|lgx≤0}={x|0<
x≤1},M∪N=[0,1].]
角度2 集合的交、并、补的混合运算
(1)(2016·
浙江高考)已知集合P={x∈R|1≤x≤3),Q={x∈R|x2≥4},则P∪(∁RQ)=( )
A.[2,3]
B.(-2,3]
C.[1,2)
D.(-∞,-2]∪[1,+∞)
嘉兴期末测试)已知全集U=R,集合A=
,B={x|x2-6x+8≤0},则图中阴影部分所表示的集合为( )
图111
A.{x|x≤0}
B.{x|2≤x≤4}
C.{x|0<
x≤2或x≥4}
D.{x|0≤x<
2或x>
4}
(1)B
(2)D [
(1)
(1)∵Q={x∈R|x2≥4},
∴∁RQ={x∈R|x2<
4}={x|-2<
x<
2}.
∵P={x∈R|1≤x≤3},
∴P∪(∁RQ)={x|-2<
x≤3}=(-2,3].
(2)因为A={x|x≥0},B={x|2≤x≤4},则阴影部分表示的集合∁A(A∩B)={x|0≤x<
4},故选D.]
[规律方法] 1.求集合的交集和并集时首先应明确集合中元素的属性,然后利用交集和并集的定义求解.
2.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散时用Venn图表示;
集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取舍.
易错警示:
在解决有关A∩B=∅,A⊆B等集合问题时,往往忽视空集的情况,一定要先考虑∅是否成立,以防漏解.
[思想与方法]
1.在解题时经常用到集合元素的互异性,一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点;
另一方面,对求出的字母的值,应检验是否满足集合元素的互异性,以确保答案正确.
2.求集合的子集(真子集)个数问题,需要注意的是:
首先,过好转化关,即把图形语言转化为符号语言;
其次,当集合的元素个数较少时,常利用枚举法解决.
3.对于集合的运算,常借助数轴、Venn图求解.
(1)对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;
对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围,关键在于转化成关于参数的方程或不等式关系.
(2)对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助Venn图,这是数形结合思想的又一体现.
[易错与防范]
1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合),要对集合进行化简.
2.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,以防漏解.
3.解题时注意区分两大关系:
一是元素与集合的从属关系;
二是集合与集合的包含关系.
4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.
课时分层训练
(一) 集 合
A组 基础达标
(建议用时:
30分钟)
一、选择题
1.已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B=( )
A.{1} B.{1,2}
C [B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z}={x|-1<x<2,x∈Z}={0,1}.又A=
A.A=B B.A∩B=∅
C.ABD.BA
D [∵A={1,2,3},B={2,3},∴2,3∈A且2,3∈B,1∈A但1∉B,∴BA.]
3.(2017·
湖州模拟)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
D [由x2-3x+2=0,得x=1或x=2,
∴A={1,2}.
共4个.]
4.设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<
0},则A∪B=( )
A.(-1,1)B.(0,1)
C.(-1,+∞)D.(0,+∞)
C [由已知得A={y|y>
0},B={x|-1<
1},则A∪B={x|x>
-1}.]
5.(2017·
杭州第一次质检)设集合A={x|x2-2x≥0},B={x|-1<
x≤2},则(∁RA)∩B=( )
A.{x|-1≤x≤0}B.{x|0<
2}
C.{x|-1<
0}D.{x|-1<
x≤0}
B [因为A={x|x≥2或x≤0},所以∁RA={x|0<
2},(∁RA)∩B={x|0<
2},故选B.]
6.若x∈A,则
∈A,就称A是伙伴关系集合,集合M=
的所有非空A.1B.3
C.7D.31
B [具有伙伴关系的元素组是-1,
,2,所以具有伙伴关系的集合有3个:
{-1},
7.设集合S={x|x>-2},T={x|x2+3x-4≤0},则集合(∁RS)∪T=( )
A.(-2,1]B.(-∞,-4]
C.(-∞,1]D.[1,+∞)
C [∵S={x|x>-2},∴∁RS={x|x≤-2},
又T={x|-4≤x≤1},
∴(∁RS)∪T={x|x≤-2}∪{x|-4≤x≤1}={x|x≤1}.]
二、填空题
8.已知集合A={x|x2-2x+a>0},且1∉A,则实数a的取值范围是________.
(-∞,1] [∵1∉{x|x2-2x+a>0},
∴1∈{x|x2-2x+a≤0},即1-2+a≤0,∴a≤1.]
{1,4} [因为集合B中,x∈A,所以当x=1时,y=3-2=1;
当x=2时,y=3×
2-2=4;
当x=3时,y=3×
3-2=7;
当x=4时,y=3×
4-2=10.
10.集合A={x|x<0},B={x|y=lg[x(x+1)]},若A-B={x|x∈A,且x∉B},则A-B[-1,0) [由x(x+1)>0,得x<-1或x>0,
∴B=(-∞,-1)∪(0,+∞),
∴A-B=[-1,0).]
B组 能力提升
15分钟)
1.设集合A=
,B=
,则(∁RA)∩B=
A.{x|-1≤x≤1}B.{x|-1<x<1}
C.{-1,1}D.{1}
C [集合A=
={x|-1<x<1},B=
={x|-1≤x≤1},
∴∁RA={x|x≤-1或x≥1}.
因此(∁RA)∩B={-1,1}.]
2.(2017·
诸暨调研)设全集U=R,A={x|x2-2x≤0},B={y|y=cosx,x∈R},则图中阴影部分表示的区间是( )
图112
A.[0,1]
B.(-∞,-1]∪[2,+∞)
C.[-1,2]
D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
D [A={x|x2-2x≤0}=[0,2],B={y|y=cosx,x∈R}=[-1,1].
图中阴影部分表示∁U(A∪B)=(-∞,-1)∪(2,+∞).]
3.已知集合A={x|4≤2x≤16},B=[a,b],若A⊆B,则实数a-b的取值范围是________.
(-∞,-2] [由4≤2x≤16,得2≤x≤4,则A=[2,4],又B=[a,b],且A⊆B.
∴a≤2,b≥4,故a-b≤2-4=-2.
因此a-b的取值范围是(-∞,-2].]
4.设集合A={x|x2-x-6<0},B={x|x-a≥0}.若存在实数a,使得A∩B={x|0≤x<3},则A∪B=________.
{x|x>-2} [A={x|-2<x<3},B={x|x≥a}.
如图,由A∩B={x|0≤x<3},得a=0,A∪B={x|x>-2}.]