多项式除法Word文件下载.docx

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=6x—14x+x+23x—12x—32.

如果你有兴趣，作为练习，可用上面的方法计算下面各题.

1.（6x+x—1）-（2x—1）.

3

2.（2x+3x—4）-（x—3）.

322

3.（x—2x—5）（x—2x—1）.

22

4.（x+y）（x—xy+y）.

【本讲教育信息】

教学内容：

单项式除以单项式、多项式除以单项式、多项式除以多项式

二.重点、难点

整式的除法与我们以前所学的整式的加法、减法、乘法有很多不同，特别是多项式除以多项式，虽然是选学内容，但多项式除以多项式在解决代数式求值，及复杂的因式分解都有很大的用处。

【典型例题】

［例1］化简求值:

（—加■+——

（一加+4卅只-—a2^）-（-解:

-'

=2/-4l2Z+—JT3

4

，其中-，=—上

1，丁二--时

1.]”3,

二2x（-/一4工一江（一4）十一冥（一4）原式

131

=2x-+8+-xl6=2:

442

[8?

/+5?

/+2（韧]叫

[例2]

A.宀

D.以上都不对

解析：

解这道题如用正规途径应对比等式左右两边系数从左边到右边少了而最后一项为1，所以所求代数式为■'

1'

O但这是一道选择题可以用代入法把

很快发现也是AO

说明：

同学们在做选择题时应选用较为灵活的方法。

［例3］化简卩

原式一1'

'

1」-'

-:

-■-

=⑷2-8x）三2兀-4

［例4］计算'

：

我们仿照小学学习的多位数除以多位数的法则建立多项式除以多项式的法则

丄

二，所以所求代数式的系数为2

A、B、C四个答案代入试试,

所以'

■'

■:

规则：

3x+2

2盂中2/6/+7兀+26;

?

4%

4x+2

仃42

1.先把除式与被除式按降幕排列，如果除式与被除式中有缺项，缺项的位置补0。

2.用被除式的第一项除以除式的第一项，得商式的第一项再用这个商式去乘以除式，再把积写在被除式下面

（同类项对齐），从被除式中减去这个积再把差当作新的被除式，按照上面的方法继续计算，直到得出余式为止。

［例5］计算.，I：

I■「_■*

丁十—

-"

亠S

-3x-fi

o-

此题已把除式与被除式按降幕排列好了先用被除式的首项一二除以除式的首项T得商式首项二：

，再用二；

乘

以-“二得’’'

1'

1把它写在被除式下面同类项对齐作减法得（-3.7-■:

），再把■■作为新的被除

式，用:

-二除以工得-匚再用-匚乘以-'

-：

得1一「一-'

；

写在"

下面作减法得0除完。

［例6］」■'

；

在用多项式除以多项式法则之前，我们观察被除式，发现被除式有缺项，如果忽视这个问题那么按法则去做，

则同类项不能对齐。

所以应该在缺项的地方补0。

2宀1

2^3+£

a3-

+6不+5

8

现在新的问题出来了，再用二厂除以九会得负指数，这是不行的，这时除法已经结束，我们仿照多位数除以多位数把2工—：

叫做余式。

所以》|-

如果多项式除以多项式有除不尽的情况，那么写成被除式=除式x商式+余式

余式的定义：

当在做多项式除以多项式的除法时，如果新的被除式的最高次项小于除式的最高次项，则这个

新的被除式为余式。

［例7］已知多项式-工丨二能被「-整除求卞值。

斗十2

卞一疋十?

/疋一引心女+”

X3—A2+去

…2石“十2五一石

口十0

•/多项式.「亠L「T能被二-整除

•••余式_■•••“-

［例8］已知」；

-'

■能被才一二整除，求八的值。

/-2t+（k44）

工+勺+斤乳+£

F+2F

-2x+上工+&

-2a-4z

（七+4）羞+6（A--F4）x+2*4-8

▼2氐-2

•••「：

二-能被•；

1整除

•••L-.

［例9］已知-V二-「求:

■■-'

'

-v"

:

->

-■-的值

分析：

设法把'

-/■.'

."

二匚二用含有二..1的代数式表示

2X+3

弘f_卩6/+7疋—弘+1998

6^3-2天宗-2jc

9^一缶十1998

9^-3^-3

2001

...「：

-」「：

I<

||I

•/「J..一「

.••:

.A-T”:

.-.-__"

..

在这里我们用'

■■'

■'

-，：

，'

<

除以、…〔，有些同学存在困惑■■」〔怎能做

除数，这里作除法是寻找两个多项式之间的关系，并不是除0这一点，同学们要好好体会。

【模拟试题】

（答题时间：

30分钟）

1•计算①（-羽/几“4/"

一、選擇：

1.（）若多項式A除以多項式B得商式為Q,餘式為R,則下列敘述何者恆正確

？

（A）A—R是Q的倍式

（B）A—R是B的因式

（C）A是B的倍式

（D）B是A的倍式

《答案》A

詳解：

由題意得：

A=BQ+R

（B）A—R=BQ,即A—R是B的倍式

（C）當R=0時，A才是B的倍式

（D）當R=0時，A是B的倍式，B是A的因式

故選（A）

2.（）若2x3+x2+mx—6為x—2的倍式，則2x3+x2+mx—6亦為下列何者的

倍式？

（A）x+3（B）x—3（C）2x+3（D）2x—3

《答案》C

因為2x3+x2+mx—6為x—2的倍式

所以x—2能整除2x3+x2+mx—6

用x—2去除2x3+x2+mx—6得到：

—6+2（m+10）=0

解得m=—7

2x3+x2+mx—6

=（x—2）（2x2+5x+3）

=（x—2）（x+1）（2x+3）

故選（C）

3.（）3x—13x2+ax—b是x2—2x+3的倍式，貝Ua+b=?

（A）152（B）44（C）38（D）2

《答案》B

用x2—2x+3除3x3—13x2+ax—b

得：

a—23=0，—b+21=0

所以a=23，b=21

故a+b=44,選（B）

4.（）若（x+2）和（2x+3）都是8x3+mx2+17x+n的因式，試求n=?

（A）—6（B）6（C）—12（D）12

（x+2）（2x+3）=2x2+7x+6

用2x2+7x+6除8x3+mx2+17x+n得：

n—3（m—28）=0

又m=26

解得n=—6，故選（A）

5.（）若（x+2）和（2x+3）都是8x3+mx2+17x+n的因式，則Um=?

（A）26（B）—26（C）30（D）—30

《答案》A

（x+2）（2x+3）=2X+7x+6

用2x2+7x+6除8x+mx2+17x+n得:

—7—7（m—28）=0

解上式得：

m=26,故選（A）

6.（）若2x25xa不是2x—1的倍式，則下列哪一個不可能是a的值？

（A）—3（B）—1（C）1（D）3

用2x—1去除2x25xa得餘式為a+3

因為2x25xa不是2x—1的倍式

所以餘式a+3不可能為0

即a值不可能為一3

二、填充：

1.已知x+2與4x+1都是8x3—2x2—41x—10的因式，則因式分解8x3—2x2—41x

—10=。

《答案》（x+2）（4x+1）（2x—5）

（x+2）（4x+1）=4点+9x+2

用4/+9x+2除8x3—2x2—41x—10

得商式為2x—5

所以8x3—2x2—41x—10=（x+2）（4x+1）（2x—5）

2.如圖，翊寧做了一個多項式直式除法，發現多項式2x—3是多項式4x3+ax2+

9x+b的因式，其中部分係數以a、b、c、d、e、俵示，則：

Lv+cjc+3

一

Zc+ex

（>

x+b

6耳—9

b—9=0,b=9

（2）2x?

+cx+3=2x?

—x+3是4x+ax+9x+b的因式

3.若x2—3x+m為5x3—9x2+nx—12的因式，貝Um=,n=

《答案》—2,—28

用x2—3x+m除5x3—9x2+nx—12

（n—5m）+18=0,—12—6m=0

解得：

m=—2,n=—28

4.已知x+x+1為x+k的因式，則：

（1）k=。

（2）因式分解x3+k。

《答案》

（1）—1⑵（X2+x+1）（x—1）

（1）用x2+x+1除x3+k

k+1=0,故k=—1

⑵用x2+x+1除x3+k得到的商式為x—1

所以x3+k=x3—1=（x—1）（x2+x+1）

5.若x—1與x—2皆為x3—6x2+kx—6的因式，則：

（2）因式分解x3—6x2+kx—6=。

《答案》

（1）11

（2）（x—1）（x—2）（x—3）

（1）（x—1）（x—2）=x2—3x+2

用x—3x+2除x§

-6x2+kx—6

（k—2）—9=0

k=11

⑵用x—3x+2除x—6x+kx—6

得商式為：

x—3

所以x—6x+kx—6=（x—1）（x—2）（x—3）

6.已知x3—x2+x—1有因式x2+1，則因式分解x3—x2+x—1=。

《答案》（x2+1）（x—1）

用x2+0x+1（缺項補0）除x3—x2+x—1

x—1

故x3—x2+x—1=（x2+1）（x—1）

7.若x3+mx2+nx+10為x—2與x+5的倍式，則：

（1）（m,n）=。

32.,

（2）x+mx+nx+10的因式分解為。

《答案》

（1）（2,—13）

（2）（x—2）（x+5）（x—1）

（1）（x—2）（x+5）=x2+3x—10

用x2+3x—10除x3+mx2+nx+10

（n+10）—3（m—3）=0

10—10（m—3）=0

m=2,n=—13

故（m,n）=（2,—13）

⑵用x2+3x—10除x3+2x2—13x+10

得商式為X—1

所以x+2x—13x+10=（X2+3x—10）（x—1）

=（x—2）（x+5）（x—1）

8.已知3x3—11x2+27x—14是x2—3x+7的倍式，則因式分解3x3—11x2+27x

—14=。

《答案》（x—3x+7）（3x—2）

用x—3x+7除3x—11x+27x—14

3x—2

即3x3—11x2+27x—14=）（x2—3x+7）（3x—2

9.設2x+1是4x3+mx—6的因式，則：

（1）m=。

3.,

（2）x—2是否為4x+mx—6的因式？

答：

。

（3）因式分解4x3+mx—6=o

《答案》⑴一13

（2）是

（3）（2x+1）（x—2）（2x+3）

（1）用2x+1除4x3+Ox2+mx—6（缺項補0）

一6—（m+1）=0

m=—13

⑵用x—2除4x3+0x2—13x—6（缺項補0）

得商式為4x2+8x+3，餘式為0,整除

故）x—2是4x3+mx—6的因式

⑶由⑵知：

4x3—13x—6=（x—2）（4x2+8x+3）

用2x+1除4x2+8x+3

得商式為2x+3,餘式為0

即4x2+8x+3=（2x+1）（2x+3）

故4x3—13x—6=（2x+1）（x—2）（2x+3）

10.若x2—x—1是多項式2x3—5x2—ax+3的因式，則Ua=。

《答案》—1

用x2—x—1除2x3—5x2—ax+3

得（—a+2）—3=0

故a=—1

11.設x+1及2x—3都是6x+ax—13x+b的因式，貝U2a+b=。

《答案》—2

（x+1）（2x—3）=2«

—x—3

用2x2—x—3除6x+ax—13x+b

13

一4+（a+3）=0，b+（a+3）=0

22

a=5，b=—12

故2a+b=2>

5+（—12）=—2

12.若多項式（x—2）（x3+2x2+4x+8）有因式x2+4,則此多項式可因式分解為—

《答案》（x—2）（X2+4）（x+2）

用x2+0x+4（缺項補0）除x3+2x2+4x+8

x+2

所以x3+2x2+4x+8=（x2+4）（x+2）

故（x—2）（x3+2x2+4x+8=（x—2）（x2+4）（x+2）

13.若x3+ax2—3x+b為x2+2x+1的倍式，則：

（1）a=。

（2）b=。

《答案》

（1）0

（2）—2

用x2+2x+1除x3+ax2—3x+b

一4—2（a—2）=0,b—（a—2）=0

a=0,b=—2

14.欲使x2—3x+1為x—4的倍式，則必須在x2—3x+1中加上常數k,則k=

。

《答案》—5

用x—4除x2—3x+1+k

得餘式為：

k+5

因為x—3x+1為x—4的倍式

所以k+5=0

故k=—5

三、計算：

1.若x$—2x+b為3x‘—2x2+ax+12的因式，則:

（1）a、b的值分別為何？

（2）因式分解3x3—2x2+ax+12=?

《答案》

（1）a=1,b=3

⑵（x2—2x+3）（3x+4）詳解：

344

1-2+卜TI2-

3-h+3A

4+（w-3A）+12

4-^8皿

（1）因為x$—2x+b為3x‘一2x?

+ax+12的因式所以x2—2x+b可以整除3x3—2x2+ax+12即（a—3b）—（—8）=0

a—3b=—8……

（1）

12—4b=0b=3……

（2）

將

（2）式代入

（1）式中，解出a=1

（2）由上面的除法可知

（3x3—2x2+ax+12）珂x2—2x+b）=3x+4

也就是說3x—2x+ax+12可以因式分解為（x—2x+3）（3x+4）

2.若2x2—3x+b是2x3—7x2+ax+2的因式，則：

（1）a、b之值分別為何？

（2）承上題，請因式分解2x‘—7x2+ax+2。

《答案》

（1）a=5,b=—1

（2）（2x2—3x—1）（x—2）

⑴

x—2

X-筋+b）ca+2_

2/二3亡+bx

一心+（◎—亦+2一4屮十dr-2片

（u—〃一6Jlv+（2+2/?

）

2x—3x+b是2x—7x+ax+2的因式

2x2—3x+b能整除2x'

—7x$+ax+2

o.ab60a5

則

22b0b1

（2）v2x3—7x2+ax+2=（2x2—3x+b）（x—2）

又a=5,b=—1

:

.2x3—7x2+5x+2=（2x2—3x—1）（x—2）

3.已知6x3—11x2—19x—6是x—3與2x+1的倍式，則因式分解6x3—11x2—19x

—6=?

《答案》（x—3）（2x+1）（3x+2）

因為（x—3）（2x+1）=2x2—5x—3

而且6x3—11x2—19x—6是x—3與2x+1的倍式

所以6x3—11x2—19x—6是2x2—5x—3的倍式

又6x3—11x2—19x—6=（2x2—5x—3）（3x+2）

所以6x—11x—19x—6可以因式分解為（x—3）（2x+1）（3x+2）

4.已知x2+x—1是2x3+3x2—x—1的因式，則因式分解2x3+3x2—x—1=?

《答案》（x2+x—1）（2x+1）

因為x2+x—1是2x3+3x2—x—1的因式

所以x2+x—1可以整除2x3+3x2—x—1

又（2x3+3x2—x—1）珂x2+x—1）=2x+1

所以2x3+3x2—x—1可以因式分解為（x2+x—1）（2x+1）

5.已知x+2是x+bx—6的因式，貝Ub=?

1-3

1+2^6

1+2

（/>

-2）-6

-3-6

（方+1）+0

.,2.,

因為x+2是x+bx—6的因式

所以x2+bx—6能被x+2整除

即b+1=0,解出b=—1

6.已知「二］_，求；

十_

7.确定a的值使多项式-■'

■!

-能被：

—匚除余数为1。

8.求「J二「-1--除以宀+的商式和余数